最新定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用——求體積匯編

1、4.2定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用（二）復(fù)習(xí)：（1）求曲邊梯形面積的方法是什么？（2）定積分的幾何意義是什么？（3）微積分基本定理是什么？引入：我們前面學(xué)習(xí)了定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用一一求面積。求體積問(wèn)題也是定積分的一個(gè)重要應(yīng)用。下面我們介紹一些簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)幾何體體積的求法。1. 簡(jiǎn)單幾何體的體積計(jì)算問(wèn)題：設(shè)由連續(xù)曲線y = f（x）和直線x = a，x=b及x軸圍成的平面圖形（如圖甲）繞 x軸分析:旋轉(zhuǎn)如何求v ?yl: : 1.0圖乙在區(qū)間a,b內(nèi)插入n -1個(gè)分點(diǎn),使a =滄：:治：x2: xnJ 0)x 十 y -6 = 0得:0 2 6.y2二8x與直線x y - 6 = 0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)所求幾何體

2、的體積為：2/26264兀 112応7 -( .8x)2dx二(6 - x)2dx = 16二七33規(guī)律方法：解決組合體的體積問(wèn)題，關(guān)鍵是對(duì)其構(gòu)造進(jìn)行剖析，分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何體體積的和或差，然后，分別利用定積分求其體積。練習(xí)2：求由直線y =2x，直線X =1與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解:旋轉(zhuǎn)體的體積:(2dx2Jr4 - 3-類(lèi)型三：有關(guān)體積的綜合問(wèn)題:例3：求由曲線y冷x2與y云所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。思路：解題的關(guān)鍵是把所求旋轉(zhuǎn)體體積看作兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體體積之差。畫(huà)出草圖 確定被積函數(shù)的邊界 確定積分上、下限-;用定積分表示體積-；求定積分解:

3、曲線y=2x2與廠懇所圍成的平面圖形如圖所示:設(shè)所求旋轉(zhuǎn)體的體積為VI !21 2:y=j2x0根據(jù)圖像可以看出V等于曲線丫=殛，直線x = 2與x軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)1 2周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積（設(shè)為V ）減去曲線yx2直線x = 2與x軸圍成的平面圖形繞x軸2旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積（設(shè)為V2）y 二：二（、亦2dx =2二0 xdx 二 2 2 x2 二 4 -2 C 2 V Vx2兀4dx x dx =48 二 12二4虧飛反思:結(jié)合圖形正確地把求旋轉(zhuǎn)體體積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求定積分問(wèn)題是解決此類(lèi)問(wèn)題的一般方法。練習(xí)3：求由y二. x 1，y = 2x2以及y軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得

4、旋轉(zhuǎn)體的體積。解：由*得:x =3y =23V (x 1)dx -oS 81誤區(qū)警示：忽略了對(duì)變量的討論而致錯(cuò)1例：已知曲線y二x, y 和直線y=0，x二a（a 0）。試用a表示該四條曲線圍成的平x面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積。思路：掌握對(duì)定積分的幾何意義，不要忽視了對(duì)變量 a的討論。 2|y = x解：由1y =-x由示意圖可知:要對(duì)a與1的關(guān)系進(jìn)行討論:1 當(dāng) 0：a 汨時(shí)，V 二 a：（x2）2dx 二af兀一1M丿dx =5 a1 當(dāng) a 1 時(shí)，V 二二(x2)2dx J05二 a(0 .： a 叮).所得旋轉(zhuǎn)體的體積為.V二55 _a(a 6 :追本溯源:利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積問(wèn)題的關(guān)鍵在于:(