二階復微分方程統(tǒng)解證明微分方程組有多個顯式解

1、中國科技論文在線二階復微分方程統(tǒng)解證明微分方程組有多個顯式解 于力1，李峰2，李春林3作者簡介：于力（）女，講師，電力，非線性微分方程通信聯(lián)系人：李春林（），男，高級工程師，非線性動力學. E-mail: 155242650801.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.5

2、Shenyang Institute of Engineering;Northeast Electric Power Research Institute Ltd;Home沈陽工程學院電力學院沈陽;東北電力科學研究院有限公司高壓實驗廠。沈陽虎石臺;遼寧省郵電科學研究所（關停）退休。110136;110023;11002313940304444;1552426508025611221;25611221;25611221沈陽市沈北新區(qū)蒲昌路號;沈陽市鐵西區(qū)貴和街6甲3，4-5-2;沈陽市鐵西區(qū)貴和街6甲3，4-5-2yulixxx;lifeng_mail力（）女，講師，電

3、力，非線性微分方程;李峰，1976年出生，男，電器。;李春林（），男，高級工程師，非線性動力學于力;李峰;李春林Yu Li;Li Feng;Li Chunlin李春林1.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51.51*|*譯著*|* R.Clark Robinson動力系統(tǒng)導論美機械工業(yè)出版社（2007年）；2*|*譯著*|*Willi-has Strrb.非線性系統(tǒng)手冊M電子工業(yè)出版社.2013年.3*|*專著*|*徐偉非線性隨機動力學的若干數(shù)值方法及應用M非線性動力學叢書17（2013年）4*|*專著*|*陸啟韶，彭臨平，楊卓琴.常微分方程與動力系統(tǒng)M.北京航空航天

4、大學出版社.2010年1月第一版.5*|*期刊*|*錢偉長.世界科學1994-10-30;6*|*期刊*|*谷超豪.自然雜志1995-12-15.7*|*期刊*|*張偉.科學評述：非線性動力學：對現(xiàn)實世界的一次寫真中國科學報.8*|*在線文獻*|*于力，李峰，李春林.二階微分方程封閉統(tǒng)一顯式解OL.2014-01-02.9*|*在線文獻*|* 于力;李峰;李春林;三階類微分方程統(tǒng)一解法中國科技論文在線（）已于2014年9月30日10*|*期刊*|*周繼磊；楊迪雄；Lorenz系統(tǒng)混沌軌道的概率分布特性數(shù)學的實踐與認識（2015年）第四十五卷第四期，11*|*期刊*|*官國榮；吳成茂；賈倩；一種

5、改進的高性能Lorenz系統(tǒng)構造及其應用。物理學報2015年第64卷第二期，|1|于力|Yu Li|沈陽工程學院電力學院沈陽|Shenyang Institute of Engineering|于力（）女，講師，電力，非線性微分方程|沈陽市沈北新區(qū)蒲昌路號|110136|yulixxx|256112212|李峰|Li Feng|東北電力科學研究院有限公司高壓實驗廠。沈陽虎石臺|Northeast Electric Power Research Institute Ltd|李峰，1976年出生，男，電器。|沈陽市鐵西區(qū)貴和街6甲3，4-5-2|110023|lifeng

6、_mail|25611221|*|3|李春林|Li Chunlin|遼寧省郵電科學研究所（關停）退休。|Home|李春林（），男，高級工程師，非線性動力學|沈陽市鐵西區(qū)貴和街6甲3，4-5-2|11002325611221階復微分方程統(tǒng)解證明微分方程組有多個顯式解|Differential equations with two order differential equations are proved to be more explicit.|- 14 -（1. 沈陽工程學院電力學院沈陽；2. 東北電力科學研究院有限公司高壓實驗廠。沈陽虎

7、石臺；3. 遼寧省郵電科學研究所（關停）退休。）摘要：首先，用二階和三階復微分方程統(tǒng)解公式證明，由一階微分方程所組成的二元和三元微分方程組具有多個顯式解。然后，用二階微分方程統(tǒng)解公式證明，必須同時滿足線性的、齊次的、純實函數(shù)解的三個條件的微分方程，數(shù)值解法才是正確的。結論1，一階微分方程組缺少必要的二階與三階導函數(shù)的約束條件；結論2，數(shù)值解法不能作為各種近似解法是否正確的判斷標準。啟示，用這樣的基礎理論進行應用研究，令人質(zhì)疑。關鍵詞：復微分方程；微分方程統(tǒng)解；微分方程組解法；數(shù)值解法；復動力系統(tǒng)；中圖分類號：0412.1Differential equations with two order

8、 differential equations are proved to be more explicit.Yu Li1, Li Feng2, Li Chunlin3(1. Shenyang Institute of Engineering;2. Northeast Electric Power Research Institute Ltd;3. Home)Abstract: First of all, the two - and three - order differential equations are proved to have multiple explicit solutio

9、ns for the two - and three - differential equations. Then, with the two order differential equation, it is proved that it is necessary to satisfy the three conditions of the linear, homogeneous and pure real function solutions, and the numerical solution is correct. Conclusion 1, the first order dif

10、ferential equation group is lack of the necessary two order and three order derivative function. Conclusion 2, the numerical method can not be used as a variety of approximate method to determine whether the correct criteria. It is a question of applying the basic theory to the application.Key words

11、: Differential equation; differential equations; numerical solution; complex dynamical system;0引言就像代數(shù)方程的根可以代入代數(shù)方程使得恒等式成立一樣，復微分方程的解也應該用同樣的方法證明所求結果是否正確。對于非線性微分方程，“到19世紀末，人們認識到很多非線性微分方程根本沒有顯式解” 1，“幾乎所有的非線性方程都不能在封閉形式里求解” 2，“由于非線性問題的個性很強，目前尚沒有統(tǒng)一的求解方法” 3，高等學校研究生教材常微分方程與動力系統(tǒng)4書中提到的Lienord、Van der pol、Reylei

12、gh、Duffing、Hil、Mathiru方程等等，都沒有給出顯式解表達式，證明了權威斷言體現(xiàn)了求解微分方程的當前現(xiàn)狀。正如權威所述，“我們的辦法是用奇異攝動理論，就是正規(guī)的辦法行不通了用不正規(guī)辦法?？墒菙?shù)學上是不承認的” 5；“可以說，在許多新的非線性現(xiàn)象面前，我們的數(shù)學工具還是遠遠地不夠用的” 6；如果用近似解法做應用研究，正如“美國應用學家Holmes，Guckenheimer，Marsden和Wiggins等將分叉和混沌與經(jīng)典的非線性振動理論相結合，發(fā)展成為現(xiàn)代非線性動力學理論” 7。然而，混沌根本不是微分方程的解。以下用二階和三階復微分方程統(tǒng)解公式證明，（1）一階微分方程組存在多個

13、顯式解；（2）微分方程近似解法與數(shù)值解法是不可信的。對于“現(xiàn)代非線性動力學”來說，是致命的傷害。如果求解微分方程的解還有所謂的研究價值，應該引起相關領域權威重視。1.0二階與三階復微分方程統(tǒng)一顯式解公式二階和三階復微分方程的統(tǒng)解展開來描述，有如下三個不同層次：1、二階和三階復微分方程統(tǒng)解可以求解所有二階和三階微分方程，稱為統(tǒng)解；2、可變結構函數(shù)被唯一確定，統(tǒng)解求出的是確定結構函數(shù)的復微分方程顯式解集合；3、初始值和結構函數(shù)參數(shù)值確定，所求的復微分方程符號顯式解是唯一顯式解。1.1二階復微分方程固定框架可變結構統(tǒng)一表達式和統(tǒng)解表達式二階微分方程可表成：x+2*Kp(t,x,x)x+Wp(t,x,

14、x)2x=H(t)；符號簡化：Kp(t,x,x)用Kp；Wp(t,x,x)2用Wp，H(t)=H，表成：x+2*Kp*x+Wp2*x=H。其中x=u+jv,結構函數(shù)Kp、Wp、H是復函數(shù)。定義二階復微分方程統(tǒng)解表達式初始值符號：x(0)=N0,x(0)=N1；定義統(tǒng)解表達符號：X0為位移解，X1為速度解，X2為加速解；統(tǒng)解表達式8如下：X0=BL(N0*CH+N0*Kp/Ws*SH+N1/Ws*SH-H/Wp2*Kp/Ws*SH-H/Wp2*CH）+H/Wp2X1=BL(N0*Ws*SH-N0/Ws*Kp2*SH+N1*CH-N1/Ws*Kp*SH+H/Ws*SH) X2=BL-N0*Wp2(

15、CH-Kp/Ws*SH)+N1/Ws(Kp2+Ws2)SH-2*N1*Kp*CH-H*Kp/Ws*SH+H*CH其中：Ws=(Kp2-Ws2)1/2 ；BL=e(-Kp*t) ；SH=sinh(Ws*t)，CH=cosh(Ws*t)。統(tǒng)解表達式中用X0、X1、X2表示，原因是結構函數(shù)中可能含有待解變量x、x、x，運算顯式解隨時間變化的復函數(shù)值的時候，便于循環(huán)迭代。求解二元一階微分方程組，可以把方程組轉(zhuǎn)換成二階微分方程，首先用統(tǒng)解公式求出X0、X1、X2表達式，然后代入微分方程組，求出微分方程組的符號顯式解表達式：X0、X1（方程組解X和X）,Y0、Y1（方程組解Y和Y）。1.2三階復微分方程統(tǒng)

16、一表達式及統(tǒng)解 三階微分方程固定框架可變結構統(tǒng)一表達式9：x+3*M*x+3*K2*x+W3*x=0 定義三階復微分方程統(tǒng)解表達式初始值符號：x(0)=N0,x(0)=N1，x(0)=N2；統(tǒng)解符號：X0位移解，X1速度解，X2加速解，X3加速變化率。統(tǒng)解表達式太長略去。求解一階三元微分方程組，可以把方程組轉(zhuǎn)換成三階復微分方程，首先用統(tǒng)解公式求出X0、X1、X2、X3表達式，然后代入微分方程組，可求出微分方程組的符號顯式解：X0、X1（方程組解X和X）,Y0、Y1（Y和Y），Z0、Z1（Z和Z）。2統(tǒng)解證明一階微分方程組有多個顯式解 一階微分方程組可以轉(zhuǎn)換成二階或三階復微分方程求解。二階或三階

17、微分方程也可轉(zhuǎn)換成方程組求解。這是常見的微分方程求解方法。統(tǒng)解方法證明，由一階微分方程組成的微分方程組具有多解現(xiàn)象。多個顯式解代入方程組，都能證明方程解是正確的。這種多解現(xiàn)象告訴人們，如果有多解而只求出一個解來，不一定就是所研究系統(tǒng)的正確解。2.1舉例一階二元微分方程組的多解現(xiàn)象常微分方程與動力系統(tǒng)4書中176頁，例子如下：x=y+ax3； y=-x+ay3；轉(zhuǎn)換成二階微分方程，用統(tǒng)解公式求解:取結構函數(shù)（1）如下：X+a*(a*x03-x)3/x1x+(13*a*x*x)x=0；Kp=1/2a(a*x03-x)3/x1；Wp=(13*a*x*x)1/2。取結構函數(shù)（2）如下：X+a*(a*x

18、03-x)3/x-3*a*x2x+x=0；Kp=1/2a(a*x03-x)3/x-3*a*x2；Wp=1。首先，不同結構函數(shù)（1）和（2）分別代入統(tǒng)解公式，求出X0、X1、X2與之對應的不同顯式解，然后代入微分方程組，求出微分方程組Y的顯式解：Y0=X1-a*X03；Y1=-X0+a*Y03。這樣，可以求出同一微分方程組對應不同結構函數(shù)的兩組顯式解：對應結構函數(shù)（1）顯式解：X0(x)，X1(x)，Y0(y)，Y1(y)。對應結構函數(shù)（2）顯式解：X0(x)，X1(x)，Y0(y)，Y1(y)。結構函數(shù)（1）的系統(tǒng)固有頻譜是由“瞬時頻率”組成的連續(xù)頻譜。結構函數(shù)（2）的系統(tǒng)固有頻譜是單一頻率；

19、把三次方表達式“打開”，會組合成更多種結構函數(shù)形式，會有多種顯式解，代入方程組都能證明是正確的。2.1.1選取結構函數(shù)（1）結構函數(shù)（1）Kp，Wp代入統(tǒng)解公式所求顯式解表達式太長，代入方程組檢驗太繁瑣，略去。以下用可視化方程組等號兩邊曲線重合方法，和任取時間點的方程解數(shù)據(jù)代入方程組兩種方法證明方程解是正確的。結構函數(shù) Wp=(13*a*x*x)1/2 表明，系統(tǒng)固有基準圓頻率為 1 瞬時頻率變化由表達式 3*a*x*x控制。如圖2.方程組等號兩邊曲線重合檢驗方法如圖3。令初始值：a=0.2，x(0)=0.1，x(0)=0.1，可視化曲線： 圖1 方程解x，y曲線。 圖2 Wp曲線和Kp曲線。

20、圖3 方程組恒等式兩邊曲線重合檢驗。 曲線上某時間點數(shù)據(jù)代入方程組檢驗方法，用MATLAB函數(shù)表達式如下： 取時間點數(shù)值解數(shù)據(jù)：x0=X0(:,tx),x1=X1(:,tx),y0=Y0(:,tx),y1=Y1(:,tx),代入方程組檢驗表達式：F1=abs(x1-y0-a*x03)； F2=abs(y1+x0-a*y03)取時間點：tx=750；x0 =0.0784; x1 =0.1317; y0 =0.1316; y1 =-0.0779檢驗結果：F1 =8.8769e-018; F2 =6.0173e-0182.1.2選取結構函數(shù)（2）結構函數(shù)（2）可視化參數(shù)、初始值與上相同，關鍵區(qū)別是系

21、統(tǒng)固有頻譜為單一頻率： 圖4方程解x，y曲線。 圖5 Wp曲線和Kp曲線。圖6 方程組恒等式兩邊曲線重合檢驗。 2.2舉例一階三元微分方程組的多解現(xiàn)象Lorenz系統(tǒng)混沌軌道的概率分布特性10論文中認為，“混沌是確定性非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的有序的偽隨機運動”。還認為“系統(tǒng)主要圍繞平衡點S+和S-運動”。一種改進的高性能Lorenz系統(tǒng)構造及其應用11。論文中介紹，“1963年，大氣學家Lorenz給出著名Lorenz方程”。之后衍生出L系統(tǒng)，Tee系統(tǒng)，Bao系統(tǒng)等等.統(tǒng)解認為上述方程屬于同類。以下舉例L系統(tǒng)方程的多解現(xiàn)象。方程組如下：x=-a*x+a*y; （3）y=c*y-x*z; （4）z=-

22、b*z+x*y; （5）轉(zhuǎn)換成三階微分方程：x+(a+b-c)x- x*x/x +(ab-bc-a*x/x+c*x/x)x+x2*x+ax3-abcx=0；取結構函數(shù)組合（6）：x+(a+b-c-x/x)x+(ab-bc-a*x/x+c*x/x)x+(x*x+ax2-abc)x=0；取結構函數(shù)組合（7）：x+(a+b-c-x/x)x+(ab-bc-a*x/x+c*x/x+x2)x+(ax2-abc)x=0；取結構函數(shù)組合（8）：x+(a+b-c)x+(ab-bc-x/x-a*x/x+c*x/x+x2)x+(ax2-abc)x=0；首先，不同結構函數(shù)代入三階微分方程統(tǒng)解公式，求出不同顯式解X0、

23、X1、X2、X3，然后，代入方程組（3）、（4）、（5）可求出Y0、Y1、Z0、Z1。至此，L方程組的顯式解：X0、X1，Y0、Y1，Z0、Z1全部求出。以下分別可視化三種結構函數(shù)曲線。三種形式的結構函數(shù)W、K、M各不相同，運行規(guī)律必然不同。結論的正確性，用三種顯式解代入方程組，證明是正確的。2.2.1統(tǒng)解結構函數(shù)組合(6)：結構函數(shù)：M=1/3(a+b-c-x/x)，K=1/3(ab-bc-a*x/x+c*x/x)1/2，W=(x*x+ax2-abc)1/3. 代入統(tǒng)解公式求出顯式解X0、X1、X2、X3，再代入Lu方程組求出方程組符號顯式解：Y0=(X1+a*X0)/a； Y1=(X2+a

24、*X1)/a；Z0=(c*Y0-Y1)/(X0)； Z1=-b*Z0+X0*Y0；Lu方程組符號顯式解全部求出：X0、X1、Y0、Y1、Z0、Z1。取初值：a=1；b=1000；c=70；N0=20；N1=15；N2=10；可視化解在復平面曲線，極坐標曲線，解檢驗曲線： 圖7 x，y，Z解復平面曲線。 圖8 方程組X,Y,Z實部的相圖曲線。 圖9 方程解X曲線。 圖10 方程解Y曲線。 圖11 方程解Z極坐標曲線。 圖12 方程組恒等式兩端曲線重合。2.2.2統(tǒng)解結構函數(shù)組合(7)：結構函數(shù)：M=1/3(a+b-c-x/x)，K=1/3(ab-bc-a*x/x+c*x/x+x2)1/2，W=(

25、ax2-abc)1/3. 取值相同：a=1；b=1000；c=70；N0=20；N1=15；N2=10；可視化相同項目曲線： 圖13 x，y，Z解復平面曲線。 圖14 方程組X,Y,Z實部相圖曲線。 圖15 方程解X曲線。 圖16 方程解Y曲線。 圖17 方程解Z極坐標曲線。 圖18 方程組恒等式兩端曲線重合。2.2.3統(tǒng)解結構函數(shù)組合(8)：結構函數(shù)：M=1/3(a+b-c)，K=1/3(ab-bc-x/x-a*x/x+c*x/x+x2)1/2，W=(ax2-abc)1/3. 取值相同：a=0.8； b=1000；c=70；N0=20；N1=15；N2=10；可視化方程組解復函數(shù)曲線和方程組

26、解曲線等號兩邊重合曲線： 圖19 x，y，Z解復平面曲線。 圖20 方程組恒等式兩端曲線重合。2.3一階微分方程組多解小結一階多元微分方程組的各個方程之間的相互關系，隱含著二階或三階導函數(shù)關系，統(tǒng)解方法得出以下結論：一、轉(zhuǎn)換成二階或三階微分方程求解時，與二階或三階相對應的速度、加速度控制函數(shù)有多種組合，方程組表達式不能唯一確定，決定了方程組有多種顯式解；二、方程組的一階導數(shù)等于零，轉(zhuǎn)換成的二階或三階導函數(shù)自然不存在。所求“平衡點S+和S-”，或稱“不動點”，或稱“吸引子”，其實是方程組顯式解的斷點，不能跨越的定義域邊界，系統(tǒng)不可能圍繞“平衡點”運動。3不經(jīng)經(jīng)驗的微分方程解不具有科學價值數(shù)值解法

27、在近似解法中具有“權威性”。以下舉例證明，如果微分方程近似解不檢驗，用來認識、理解、描述動力系統(tǒng)規(guī)律，是不科學的。舉例如下：3.1.最簡單的根方程：x=ax；3.2.線性非齊次方程：x+100x=100cos(10t-/2)。3.3.非線性微分方程：x=ax-bx3；3.1舉例1最簡單的簡諧根方程所有二階復微分方程都是由根方程x=ax派生出來的。根方程解是錯誤的，派生的復雜方程的解都將是錯誤的。方程組形式：x=y； y=ax，首先用統(tǒng)解公式求出符號顯式解：取初始值，令x(0)=1, x(0)=1.符號顯式解如下：x0 =cosh(t*a1/2)+sinh(t*a1/2)/a1/2；x2 =co

28、sh(t*a1/2)*a+sinh(t*a1/2)*a1/2；顯式解代入微分方程，證明方程解是正確的，檢驗方法有如下三種形式：1.統(tǒng)解符號顯式解代入方程檢驗證明方程解是正確的。2.統(tǒng)解曲線代入方程恒等式兩邊重合檢驗證明方程解是正確的。3.統(tǒng)解數(shù)值數(shù)據(jù)代入方程恒等式兩邊檢驗證明方程解是正確的。微分方程解檢驗方法1.顯式解x0、x2代入簡諧方程：x-ax=0。顯然：x2-a*x0=0;顯式解代入一階微分方組,求出方程組符號顯式解x0，x1，y0，y1如下：y0=x0=cosh(t*a1/2)+sinh(t*a1/2)/a1/2;y1=ax0=a*cosh(t*a1/2)+a*sinh(t*a1/2

29、)/a1/2;統(tǒng)解方法：可視化方程組復函數(shù)解曲線如圖21和圖22。微分方程解檢驗方法2：方程組恒等式兩邊曲線重合檢驗方法如圖23。數(shù)值解法：x=y； y=ax；用MATLAB科學計算軟件ode數(shù)值解法求解。當a大于零，方程解指數(shù)式發(fā)散。顯然不遵守能量守恒定律。如圖24： 圖21方程解實部與虛部曲線。 圖22 方程解復函數(shù)曲線。 圖23 方程解曲線在等號兩邊重合檢驗。 圖24 數(shù)值解法：指數(shù)式發(fā)散。微分方程解檢驗方法3.取時間點tx=500曲線上點的數(shù)據(jù)，代入方程組檢驗：tx=500：x0=X0(:，tx) ，x1=X1(:，tx) ，y0=Y0(:，tx) ，y1=Y1(:，tx) ，方程組絕

30、對值檢驗：F1=abs(x1-y0)；F2=abs(y1-a*x0)tx =500：x0 =-0.9974 + 0.0227i， x1 =-0.9974 + 0.2269i，y0 =-0.9974 + 0.2269i， y1 =-9.9742 + 0.2269i，F(xiàn)1 =0， F2 =0。為節(jié)省篇幅，以下方程解檢驗只取方程等號兩邊曲線重合方法。3.2舉例2最簡單非齊次微分方程所以舉例微分方程：x+100x=100cos(10 t /2)，是因為這是最簡單的非齊次微分方程，所見高校教科書解法都存在兩個錯誤：1. 線性微分方程通解結構定理是錯的。非齊次微分方程都不能用“疊加原理”；2. 強迫項頻率

31、與系統(tǒng)頻率相同產(chǎn)生振幅巨大的共振現(xiàn)象，是反能量守恒的低級錯誤。系統(tǒng)抗干擾定律指出，進入系統(tǒng)的外部干擾（強迫項）值，是系統(tǒng)固有頻譜的平方分之一。系統(tǒng)頻率越高，強迫項對系統(tǒng)影響越小，抗干擾能力越強，只要同頻就共振顯然是錯誤的。振幅大小遵守抗干擾定律，實際是能量守恒定律的另種表現(xiàn)形式。首先轉(zhuǎn)換成一階方程組形式如下：x=y； y=-100x+100cos(10t-pi/2)。令：x(0)=x(0)=0，用數(shù)值解法可視化結果如下，方程齊次解是三角函數(shù)，強迫項還是三角函數(shù)，支撐系統(tǒng)發(fā)散的能量何來，很明顯是錯誤的： 圖25 數(shù)值解x，y曲線。 圖26 數(shù)值解x，y相圖。然后用統(tǒng)解方法求解：Kp=0,Wp=1

32、0,H=100cos(10t-pi/2)代入統(tǒng)解公式：x0=-cos(10*t)*sin(10*t)+sin(10*t)；x2=100*cos(10*t)*sin(10*t)。把顯式解代入方程，很容易驗證方程解是正確的?？梢暬缦拢?圖27 方程解實函數(shù)曲線。 圖28 方程解相圖。3.3舉例3最經(jīng)典Duffing方程Duffing方程是在簡諧根方程x=ax的基本上增加（bx3）所得。研究者眾多。因為根方程解是錯誤的，因此，雙井勢能、首次積分曲線、平衡點、吸引子、混沌都是錯誤的結論。便于認識理解Duffing方程，取無阻尼無強迫項形式如下兩種：x=x-x3；對于方程組：x=y； y=x-x3；

33、（9）x=x3 -x；對于方程組：x=y； y=x3-x； （10）兩種類型的二階微分方程表達式：x+Wp2x=0；其中結構函數(shù)Kp=0，H=0，Wp如下：方程（9）Wp2=(x2-1)；方程（10）Wp2=(1-x2)；取x(0)=N0;x(0)=0,兩種類型的有共同顯式解。區(qū)別在于Wp函數(shù)虛實不同：x0 =cosh(t*(-Wp2)1/2)*N0；x2 =-cosh(t*(-Wp2)1/2)*Wp2*N0；顯實解符號表達式代入方程：x2+Wp2x0=0，證明方程等號兩邊都為零。顯式解也可以代入方程組求出方程組的符號解表達式：X=x0；Y=x1；代入方程組第一個方程是：x=y，x1=x1，自然等號兩邊相等；代入方程組第二個方程是：Y=-Wp2x，x2=-Wp2x0，等號兩邊相等。3.3.1統(tǒng)解方法證明方程解曲線形式相同，區(qū)別是虛實函數(shù)不同取初始值N0=0.1。統(tǒng)解方程（9）可視化曲線，方程解x實函數(shù)，y虛函數(shù)： 圖29 方程解x實函數(shù)，y虛函數(shù)。 圖30 方程組兩端曲線重合檢驗。取初始值N0=0.1。統(tǒng)解方程（10）可視化曲線，方程解x，y都是實函數(shù)： 圖31方程解x實函數(shù)y實函數(shù)。 圖32 方程組兩端曲線重合檢驗。3.3.2數(shù)值解法求解兩種Duffing方程方