高中的數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)與積分知識(shí)點(diǎn)

1、 標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用高中數(shù)學(xué)教案導(dǎo)數(shù)、定積分一課標(biāo)要求：1導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（1）導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義 通過對(duì)大量實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時(shí)變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵；通過函數(shù)圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c，y=x，y=x ，y=x ，y=1/x，y=x 的導(dǎo)數(shù)；23 能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如f（ax+b）的導(dǎo)數(shù)； 會(huì)使用導(dǎo)數(shù)公式表。（3）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；

2、能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 結(jié)合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)最大值、最小值；體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性。（4）生活中的優(yōu)化問題舉例例如，使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用。（5）定積分與微積分基本定理 通過實(shí)例（如求曲邊梯形的面積、變力做功等），從問題情境中了解定積分的實(shí)際背景；借助幾何直觀體會(huì)定積分的基本思想，初步了解定積分的概念； 通過實(shí)例（如變速運(yùn)動(dòng)物體在某段時(shí)間內(nèi)的速度與路程的關(guān)系

3、），直觀了解微積分基本定理的含義。（6）數(shù)學(xué)文化收集有關(guān)微積分創(chuàng)立的時(shí)代背景和有關(guān)人物的資料，并進(jìn)行交流；體會(huì)微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價(jià)值。具體要求見本標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)文化的要求。二命題走向?qū)?shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容，是解決實(shí)際問題的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，研究函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性、極值和最值是高考的熱點(diǎn)問題。在高考中考察形式多種多樣，以選擇題、填空題等主觀題目的形式考察基本概念、運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，也經(jīng)常以解答題形式和其它數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合起來，綜合考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值.三要點(diǎn)精講1導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x 處有增量0dx ，那么函數(shù)y相應(yīng)地

4、有增量dy=f（x +dx ）0dydx之間的平均變化率，即f（x ），比值0叫做函數(shù) y=f（x）在 x 到 x +0dx0dydxx f x( + d ) - ( )f x=00 。dx如果當(dāng)dx 0 時(shí)，dy有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x 處可導(dǎo)，并把這個(gè)極0dx限叫做f（x）在點(diǎn)x 處的導(dǎo)數(shù)，記作 f（x ）或 y|0。0x=x0文案大全 標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用dydxf (x + dx) - f (x )lim=lim即 f（x ）=0。00dxdx0dx0說明：dydxdydxdx 0（1）函數(shù) f（x）在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，是指0時(shí)，有極限。如果不存在極限，就說函數(shù)在點(diǎn) x 處不可導(dǎo)，或說

5、無導(dǎo)數(shù)。0（2）dx是自變量 x在 x 處的改變量，0dx 0時(shí)，而dy是函數(shù)值的改變量，可以是零。由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù) y=f（x）在點(diǎn) x 處的導(dǎo)數(shù)的步驟（可由學(xué)生來歸納）：0（1）求函數(shù)的增量dy=f（x +0dx）f（x ）；0dydx( + d ) - ( )f xx f x（2）求平均變化率=；00dxdydxlim（3）取極限，得導(dǎo)數(shù) f(x )=0。dx02導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù) y=f（x）在點(diǎn) x 處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線 y=f（x）在 點(diǎn) p（x ，f（x ）0處00的切線的斜率。也就是說，曲線 y=f（x）在 點(diǎn) p（x ，f（x ）處的切線的斜率是 f（x ）。00

6、0相應(yīng)地，切線方程為 yy =f/（x ）（xx ）。0003常見函數(shù)的導(dǎo)出公式（）(c) = 0（c為常數(shù)）（）(x ) = n xnn-1（）(sin x) = cos x（）(cos x) = -sin x4兩個(gè)函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則法則 1：兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)， v) = u v .即： (u法則 2：兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù),加上第一個(gè)(uv) = u v + uv .函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：(cu) = c u + cu = 0 + cu = cu若 c 為常數(shù),則 .即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常(c

7、u) = cu .數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：法則 3兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，文案大全 標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用uv - uv u （v 0）。再除以分母的平方：= v v2的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解求導(dǎo)回代。(x )形如 y=f j法則：y| = y| u|uxx5導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用f (x)f (x)（1）一般地，設(shè)函數(shù)y= f (x)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，如果 f (x) 0，則為增函數(shù)；為常數(shù)；(x) 0f (x)f (x) = 0為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有如果 f，則，則（2）曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為 0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為 0；曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率

8、為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正；（3）一般地，在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù) f(x)在a，b上必有最大值與最小值。求函數(shù)(x)在(a，b)內(nèi)的極值； 求函數(shù)(x)在區(qū)間端點(diǎn)的值(a)、(b)； 將函數(shù)(x)的各極值與(a)、(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。6定積分（1）概念設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn) axxx xxb 把區(qū)間a，b01i1inn等分成 n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間x ，x上取任一點(diǎn)（i1，2，n）作和式 if (i1iini1)x（其中x為小區(qū)間長度），把 n即x0時(shí)，和式 i 的極限叫做函數(shù) f(x)在區(qū)間inn(x)d

9、xf (x)dx lim fa，b上的定積分，記作： fb，即b( )x。iaani=1這里，a與 b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù) f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式。110dxx dxx基本的積分公式：c； m +1 （ q， m1）；c m dxlnxmm +1xaxsin xdxcosxcc； e dx x c； a dx c；sinxc；xexcos xdxlna（表中 c均為常數(shù)）。（2）定積分的性質(zhì)(x)dx = k f (x)dxb kfb（k為常數(shù)）；aa(x) g(x)dx = f (x)dx g(x)dxb fbb；aa

10、a文案大全 標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用(x)dx = f (x)dx + f (x)dxb fcb（其中 acb) 。aac（3）定積分求曲邊梯形面積由三條直線 xa，xb（ab），x軸及一條曲線 yf（x）b=f (x)dx。(f(x)0)圍成的曲邊梯的面積sa如果圖形由曲線 yf(x)，yf(x（) 不妨設(shè) f(x)f(x)1122120），及直線 xa，xb（ab）圍成，那么所求圖形的面積(x)dx - f (x)dxsss曲邊梯形 amnb bfb。曲邊梯形 dmnc12aa四典例解析題型 1：導(dǎo)數(shù)的概念12例 1已知 s= gt ，（1）計(jì)算 t從 3秒到 3.1秒 、3.001秒 、 3.0001秒

11、.各段內(nèi)2平均速度；（2）求 t=3秒是瞬時(shí)速度。 3,3.1 ,dt = 3.1- 3 = 0.1,dt解析：（1）指時(shí)間改變量；11ds = s(3.1) - s(3) = g3.1 - g3 = 0.3059. ds 指時(shí)間改變量。2222ds 0.3059v = 3.059 。dt1其余各段時(shí)間內(nèi)的平均速度，事先刻在光盤上，待學(xué)生回答完第一時(shí)間內(nèi)的平均速度后，即用多媒體出示，讓學(xué)生思考在各段時(shí)間內(nèi)的平均速度的變化情況。dtdsdtdsdtdt變化而變化， 越小，（2）從（1）可見某段時(shí)間內(nèi)的平均速度隨越接近ds于一個(gè)定值，由極限定義可知，這個(gè)值就是dt 0時(shí)，的極限，dt11(3 +

12、dt) - g3ds22s(3 + dt) - s(3)2g2lim d limt = limv=dtdtdx0dx0dx01= g lim （6+ =3g=29.4(米/秒)。dt)2dx04例 2求函數(shù) y=的導(dǎo)數(shù)。x2444dx(2x + dx)dy =-= -解析：，(x + dx)2xx (x + dx)222dy2x + dx= -4，dxx x( + d )x22文案大全 標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用dydx2x + dx 8 lim= lim - 4=- x。x2x x( + d )23dx0dx0點(diǎn)評(píng)：掌握切的斜率、 瞬時(shí)速度，它門都是一種特殊的極限，為學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的定義奠定基礎(chǔ)。題型 2：導(dǎo)數(shù)的基

13、本運(yùn)算1 1= x(x + + )的導(dǎo)數(shù)；例 3（1）求 y2x x31= ( x +1) (-1)的導(dǎo)數(shù)；（2）求 yxxx= x - sin cos（3）求 y的導(dǎo)數(shù)；22x2（4）求 y=的導(dǎo)數(shù)；sin x3x - x x + 5 x - 92（5）求 y的導(dǎo)數(shù)。x12q y = x +1+ y = 3x - .解析：（1）（2）先化簡, y13= x 1,2x2x311-1 = -x + x-11- x +2 2xx-11-1-3 = -=1+ . yxx2222x 2 x （3）先使用三角公式進(jìn)行化簡.1xxy = x - sin cos = x - sin x222111 y =

14、x - sin x = x - (sin x) = 1- cos x.222(x ) sin x - x * (sin x) 2xsin x - x cos x222（4）y=；sin xsin x223-12q 3x x9x（5） y231y*（x ）x x ）* x *（ ）x 3113(-222222921x(1+ ) -1。x2點(diǎn)評(píng)：（1）求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡，然后求導(dǎo)，這文案大全 標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)；（2）有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡，然后進(jìn)行求導(dǎo)有時(shí)可以避免使用商的求

15、導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量。例 4寫出由下列函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)：（1）y=cosu,u=1+x 2（2）y=lnu, u=lnx解析：（1）y=cos(1+x 2 )；（2）y=ln(lnx)。)點(diǎn)評(píng)：通過對(duì) y=（3x-2 2 展開求導(dǎo)及按復(fù)合關(guān)系求導(dǎo)，直觀的得到 y =y .u .給出xux復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并指導(dǎo)學(xué)生閱讀法則的證明。題型 3：導(dǎo)數(shù)的幾何意義例 5（1）若曲線 ya 4x - y - 3 = 0= x4 的一條切線l 與直線 x + 4 -8 = 0y垂直，則l 的方程為（）b x + 4y - 5 = 0 c4x - y + 3 = 0d x + 4y + 3 = 0= x +

16、 x +1（2）過點(diǎn)（1，0）作拋物線 y的切線，則其中一條切線為（）22x + y + 2 = 0（b）3x - y + 3 = 0+ 4y -8 = 0x + y +1 = 0x - y +1 = 0（d）（a）（c）l 4x - y + m = 0y = x4 在某一點(diǎn)的，即解析：（1）與直線 x垂直的直線 為導(dǎo)數(shù)為 4，而 y = 4x3 ，所以 y x4 在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為 4，此點(diǎn)的切線為 x y=4 - -3 = 0，故選 a； = 2 +1x y( , )+11=x +x +（2）yx，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線的斜率為 2x0，且y0，20000- x - x -1= (2x +

17、1)(x - x )于是切線方程為 y，因?yàn)辄c(diǎn)（1，0）在切線上，可解得x2000000或4，代入可驗(yàn)正 d正確，選 d。點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)值對(duì)應(yīng)函數(shù)在該點(diǎn)處的切線斜率。pp例 6（1）半徑為 r的圓的面積 s(r) r ,周長 c(r)=2 r，若將 r看作(0，)上2p的變量，則( r )2 r ，式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周p1 121長函數(shù)。對(duì)于半徑為 r的球，若將 r看作(0，)上的變量，請(qǐng)你寫出類似于的式子：2 2；式可以用語言敘述為：。1=y = x2 在它們交點(diǎn)處的兩條切線與（2）曲線 y和x 軸所圍成的三角形面積x是。444r ， 又（ p r） 4p3r 故式可

18、填（ p r） 4pr ，用語解析：（1）v 球p32232333言敘述為“球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)?！?；1=和 y x2 在它們的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1，1)，兩條切線方程分別是 y=x+2（2）曲線 yx文案大全 標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用3和 y=2x1，它們與 軸所圍成的三角形的面積是 。x4點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可以和幾何圖形的切線、面積聯(lián)系在一起，對(duì)于較復(fù)雜問題有很好的效果。題型 4：借助導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)性、極值和最值例 7（1）對(duì)于r上可導(dǎo)的任意函數(shù) f（x），若滿足（x1）f （x）0，則必有（）af（0）f（2）2f（1）(x)在 內(nèi)的圖象如圖所示，(a,b)，導(dǎo)函數(shù) f (x) (a,b)（2）函

19、數(shù) f的定義域?yàn)殚_區(qū)間在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn)（b2個(gè) c3個(gè)(x)則函數(shù) fa1個(gè)（3）已知函數(shù) f x）d 4個(gè)1+ x( )y = f x，討論 的單調(diào)性；（）若( )0=e-ax 。（）設(shè) a1- x( ) ( ) 0,1f x 1，求a 的取值范圍。對(duì)任意 x恒有解析：（1）依題意，當(dāng) x1時(shí)，f（x）0，函數(shù) f（x）在（1，）上是增函數(shù)；當(dāng)x1 時(shí)，f（x）0，f（x）在（，1）上是減函數(shù)，故 f（x）當(dāng) x1 時(shí)取得最小值，即有 f（0）f（1），f（2）f（1），故選 c；(x)在 內(nèi)的圖象如圖所示，(a,b)，導(dǎo)函數(shù) f (x) (a,b)（2）函數(shù) f的定義域?yàn)殚_區(qū)

20、間(x)(a,b)內(nèi)有極小值的點(diǎn)即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)的點(diǎn)，其導(dǎo)數(shù)值為由函數(shù) f在開區(qū)間負(fù)到正的點(diǎn)，只有 1個(gè)，選 a。ax +2a2（3）：()f(x)的定義域?yàn)?,1)(1,+).對(duì) f(x)求導(dǎo)數(shù)得 f (x)=e(1x)2ax。2x2()當(dāng) a=2 時(shí), f (x)=e , f (x)在(,0), (0,1)和(1,+ )均大于2x(1x)20, 所以 f(x)在(,1), (1,+).為增函數(shù)；()當(dāng) 0a0, f(x)在(,1), (1,+)為增函數(shù).；a2a2a2()當(dāng) a2時(shí), 01, 令 f (x)=0 ,解得 x= 1, x=2；aaa當(dāng) x變化時(shí), f (x)和 f(x

21、)的變化情況如下表:xa2(1,+)(,1)aa2a2,)aaf (x)f(x)文案大全 標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用a2a2f(x)在 ( , ), (,1), (1,+ )為 增 函 數(shù) , f(x)在 (aaa2a2,)為減函數(shù)。aa()()當(dāng) 0f(0)=1；12a2()當(dāng) a2時(shí), 取 x=0(0,1),則由()知 f(x )1且 e 1，ax1x1+x1+x得：f(x)=e ax1. 綜上當(dāng)且僅當(dāng) a(,2時(shí),對(duì)任意 x(0,1)恒有1x1xf(x)1。點(diǎn)評(píng)：注意求函數(shù)的單調(diào)性之前，一定要考慮函數(shù)的定義域。導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)原函數(shù)增減。 (x) = x -3x + 2-1,1上的最大值是（例 8（1）

22、f(a)232在區(qū)間）(b)0(c)2(d)42x -3(a -1)x +1,其中a 1.（）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）討（2）設(shè)函數(shù)f(x)=論f(x)的極值。32( ) = 3 - 6 = 3 ( - 2)x x x( ) =0，令 f x 可得 x0或 2（2舍去），當(dāng)解析：（1） f xx2( )( )1x0，當(dāng) 0x1時(shí)， f x 1( ) = 6 - -1 x x a( ), ( )， f x f x 隨 的變化情況如下表：當(dāng) a時(shí)， f xxx-1( -1,+)aaa-f+0f (x)極大值極小值(x) (-,0) 上單調(diào)遞增；在(0,a -1)上單調(diào)遞減；在(a -1,+)在從

23、上表可知，函數(shù) f上單調(diào)遞增。（）由（）知，當(dāng)a=1( )時(shí)，函數(shù) f x 沒有極值；當(dāng)a 1( ) x = 0時(shí)，函數(shù) f x 在文案大全 標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用處取得極大值，在 x= a -1處取得極小值1- ( -1)3 。a點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。題型 5：導(dǎo)數(shù)綜合題(x) = -x3+ 3x + 2例 9設(shè)函數(shù) f分別在 x、x 處取得極小值、極大值 .平面上點(diǎn)xoy12a、b 的坐標(biāo)分別為（x ,f (x )）、（x ,f (x )），該平面上動(dòng)點(diǎn) p 滿足 pa pb= 4 ,點(diǎn)q 是點(diǎn) p1122關(guān)于直線 = 2(

24、- 4)的對(duì)稱點(diǎn).求yx(i)求點(diǎn) 、 的坐標(biāo)；a b(ii)求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程.q( ) = (- + 3 + 2) = -3 + 3 = 0x ；= 1或 = -1解析： ()令 f xx3xx2解得x當(dāng) x -1時(shí), f (x) 0， 當(dāng)-1 x 0，當(dāng) 。x 1時(shí)， f (x) 0= -1x = 1取 得 極 大 值 , 故所 以 , 函 數(shù) 在 x處 取 得 極 小 值 , 在x = -1, x = 1, f (-1) = 0, f (1) = 4。12所以, 點(diǎn) a、b的坐標(biāo)為 a(-1,0), b(1, 4)。(m,n) q(x, y)， ，（） 設(shè) p() ()pa pb =

25、-1- m,-n 1- m,4 - n = m2 -1+ n2 - 4n = 4 ，1y - n1k = - ，所以pq= - 。2x - m2y + m x + n= 2= 2(x - 4)- 4m,n， 消 去又 pq 的 中 點(diǎn) 在 y上 ， 所 以得證22( ) ( )x -8+ y + 2= 9 。22點(diǎn)評(píng)：該題是導(dǎo)數(shù)與平面向量結(jié)合的綜合題。(x) = x - sin x0 1, = ( ), =1,2,3, .,數(shù)列a 滿足: a a f a n例 10已知函數(shù) fn1n+1n10 a a 1a a3 。明:()；()6n+1nn+1n證明: （i）先用數(shù)學(xué)歸納法證明0 a 1，1

26、,2,3,n(i).當(dāng) n=1時(shí),由已知顯然結(jié)論成立。(ii).假設(shè)當(dāng) n=k時(shí)結(jié)論成立,即0 a 1。k因?yàn)?0x 0,所以 f(x)在(0,1)上是增函數(shù)。文案大全 標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用(0) f (a ) f (1),即0 a 1-sin1 1又 f(x)在0,1上連續(xù)，從而 f時(shí),結(jié)論成立。.故 n=k+1kk+1由(i)、(ii)可知，0 a 1對(duì)一切正整數(shù)都成立。n又因?yàn)?0 1時(shí)，a a- = -sin - = -sin 0，所以a ，綜上所述aaa aaan+1nn+1nnnnnn0 a a 1。n+1n1（ii）設(shè)函數(shù)，g(x) = sin x - x + x3 0 1x6由（i）知，當(dāng)

27、0 1時(shí)，sin -2( ) + = 0.所以 g (x)在(0,1)上從而2222 222是增函數(shù)。又 g (x)在0,1上連續(xù),且 g (0)=0，所以當(dāng)0 0成立。x11(a ) 0,即sin a - a + a 0a a于是 g故3 。366nnnnn+1n點(diǎn)評(píng)：該題是數(shù)列知識(shí)和導(dǎo)數(shù)結(jié)合到一塊。題型 6：導(dǎo)數(shù)實(shí)際應(yīng)用題例 11請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m 的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為 3m 的正六棱錐（如右圖所示）。試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn) o 到底面中心o1的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的

28、能力。解析：設(shè) oo 為 x m,則由題設(shè)可得正六棱錐底面13 + (x -1) = 8 + 2x - x2 （單位：m）。邊長為22于是底面正六邊形的面積為（單位：m）：233 323 + (x -1) = 6( 8+ 2x - x ) =(8+ 2x - x )2 。22224帳篷的體積為（單位：m）：33 32132v (x) =(8+ 2x - x ) (x -1)+1 =(16+12x - x )2333( ) =v x(12-3x )2 ；求導(dǎo)數(shù)，得2( ) = 0令v x解得 x=-2(不合題意，舍去),x=2。文案大全 標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用當(dāng) 1x 0 ,v(x)為增函數(shù)；當(dāng) 2x4時(shí)，v

29、(x) 0+ = 3+ 2x（ii）因?yàn)楹瘮?shù)h當(dāng) x時(shí)單調(diào)遞增，而 xxx222n+1nnn+1 4x + 2x = (2x ) + 2x2n+12，n+1n+1n+11x1xx xn 2xn+1 , =因此 xn-1 2 ( ) .所以 x，即n-12xn-1xn-2x12nn+1xnn1y+ x 2(x + x ),= + , .又因?yàn)?x2令 y xnx 則22n+12nnn+1nnyn+1n11= x + x = 2, ( ) = ( ) .因?yàn)?y所以 y1yn-221n-22111n111 x + x ( ) ,( ) x ( ) .因此 x故2n-2n-1n-2222nnnn點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，以及不等式的證明，同時(shí)考查邏輯推理能力。題型 7：定積分例 13計(jì)算下列定積分的值文案大全 標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用pp3( -1)2x x(4 - )dx ；dx ；（3）( + sin )cos2xdx（1）；（4）；2（2） x5 xx dx2