復(fù)變函數(shù)第六章留數(shù)理論及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、精品文檔第六章留數(shù)理論及其應(yīng)用 1.留數(shù)1. （定理6.1柯西留數(shù)定理）：dz = 2 mJc=i2. （定理6.2）:設(shè)a為f的m階極點(diǎn),事（町（尸其中響：刃在點(diǎn)a解析，梓丄0，貝U3. （推論6.3）:設(shè)a為f（z）的一階極點(diǎn),Ref(z),a) = 2;(2) Q(z股有實(shí)零點(diǎn)于是有f(x)dx 2ui 工 Res(f(z)tauJrtiajt 0注：以fg可記為PM廣；x)dx丿；黔廠心型積分3. (引理6.2若爾當(dāng)引理)：設(shè)函數(shù)g(z)沿半圓周5=恥叫0彰丘充金走上連續(xù)，且lim鳥(niǎo)=0在里上一致成立。則limf幻(胡叫E = o rn4. (定理6.8):設(shè)車(chē)勿=話，其中P(z)及Q

2、(z)為互質(zhì)多項(xiàng)式，且符合條件:(1) Q的次數(shù)比P高;(2) Q無(wú)實(shí)數(shù)解；(3) m0則有2ni1X)Resff(2jeinfa特別的，上式可拆分成:及四. 計(jì)算積分路徑上有奇點(diǎn)的積分5. (引理6.3小弧引理)：S m詢lim(z-a)f(2)=Xr-+D于5r上一致成立，則有l(wèi)imf /wdz=i(02-五. 雜例六. 應(yīng)用多值函數(shù)的積分 3.輻角原理及其應(yīng)用即為：求解析函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)1.對(duì)數(shù)留數(shù):fM2. (引理6.4)：( 1)設(shè)a為f(z)的n階零點(diǎn)，貝U a必為函數(shù)的一階極點(diǎn)，并且(2)設(shè)b為f(z)的m階極點(diǎn)，貝U b必為函數(shù)的一階極點(diǎn)，并且Res3. (定理6.9對(duì)數(shù)留數(shù)定理)

3、：設(shè)C是一條周線，f(z)滿足條件：(1) f(z)在 C的內(nèi)部是亞純的；(2) f(z)在 C上解析且不為零。則有票內(nèi)零點(diǎn)佃極點(diǎn)個(gè)數(shù)=|2jrtJ f(z)2ji注1:當(dāng)條件更改為：(1) f在Int(C)+C上解析；(2) C上有&0,有P(f) -0即毗譏f(z)注2:條件可減弱為：f(z)連續(xù)到邊界C,且沿C有f(z)工04. (輔角原理)：N行Q - P (ffC)gear 時(shí)2n5. (定理6.10魯歇(Rouche)定理)：設(shè)C是一條周線，函數(shù)f(z)及 滿足條件:(1) 它們?cè)贑的內(nèi)部均解析，且連續(xù)到 C;(2) 在 C上，|f(z)| 増|則函數(shù)f(z)與f(z)+甲(z)在C內(nèi)部有同樣多(幾階算幾個(gè))的零點(diǎn)，即N( ,C)