平面幾何基礎(chǔ)知識

1、平面幾何基礎(chǔ)知識(基本定理、基本性質(zhì)) 中線定理 三線定理 垂線定理 角平分線定理 重心：三角形的三條中 線的交點 三角形 四心 垂心：三角形的三條高 內(nèi)心：三角形的角平分 線的交點 線的交點 外心：三角形的三條中 線的交點 內(nèi)接圓 外接圓 三角定理 正弦定理 余弦定理 1.中線定理：設(shè) ABC的邊 BC的中點為 P, 則有 ： AB2 AC2 2AP2 BP2 ，中線長： 2 2 2 2b 2c a 2 2.垂線定理： AB CDAC AD BC BD , bc 高線長： sin A csin B bsinC a 3. 角平分線定理： 三角形的一個角的平分線對邊所成的兩條線段與這 個角的兩邊

2、對應(yīng)成比例。 4. 重心性質(zhì)：設(shè) G為 ABC 的重心， 1) 2) 3) 連結(jié) AG，并延長交 BC 于 D,則 AG:GB=2 ：1 1 SABGSBCGSACGS ABC 3 2 2 2 2 2 2 BC2 3GB2 CA2 3GB2 AB2 3GC2 2 2 21 2 2 2 GA2GB2GC231 AB2BC2CA2 2 2 2 2 2 2 2 PA2 PB2 PC2 GA2 GB2 GC2 3PG2（P為ABC 內(nèi)任意一點） （4）三 角 形 內(nèi)到三 頂 點 距離 的 平方 和 最小 的 點 是重心 ， 即 GA2 GB2 GC2 最小 （5）三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點是重心。

3、 5. 垂心性質(zhì)： （1）三角形任一頂點的距離等于外心到對邊距離的兩倍 （ 2）垂心關(guān)于 ABC 的三邊的對稱點均在 ABC 的外接圓上。 （ 3） ABC 的垂心為 H,則 ABC, ABH,BCH,ACH 的外接圓 是等圓。 6. 內(nèi)心的性質(zhì)：設(shè) I 為 ABC 的內(nèi)心，則： （1）I 到 ABC 三邊的距離相等 （2）BIC=90+1A,AIC=90+ 1B,AIB=90+1C 222 （ 3） A 平 分 線 交 BC 于 D, 交 ABC 外 接 圓 于 點 K, 則 AI AK IK b c ID KI KD a 7. 外心性質(zhì)： （1）外心到三角形各頂點距離相等 （2）銳角三角形

4、的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外切圓半 徑之和。 8. 梅涅勞斯定理 定理 ：一條直線與 ABC的三邊 AB、BC、CA所在直線分別交于點 D、 E、F，且 D、E、F 均不是 ABC的頂點，則有 AD BE CF 1 DB EC FA 梅涅勞斯定理的逆定理 定理 ：在 ABC的邊 AB、BC上各有一點 D、E，在邊 AC的延長線 上有一點 F，若 AD BE CF DB EC FA 1， 那么， D、E、 F三點共線 9. 塞瓦定理 定理 ：在 ABC內(nèi)一點 P，該點與 ABC的三個頂點相連所在的三 條直線分別交 ABC三邊 AB、BC、CA于點 D、 E、F，且 D、E、F 三點均不

5、是 ABC的頂點， 則有 AD BE CF 1 DB EC FA 塞瓦定理的逆定理 定理 ：在 ABC三邊 AB、BC、CA上各有一點 D、E、F，且 D、E、 AD BE CF F 均不是 ABC的頂點，若 DB EC FA 1 ，那么直線 CD、AE、BF 三線共點 10. 托勒密定理 A E 定理 ：凸四邊形 ABCD是某圓的內(nèi)接四邊 形，則有 AB CD + BCAD = ACBD 托勒密定理的逆定理 C A C 定理：如果凸四邊形 ABCD滿足 ABCD+ BCAD = AC BD，那么 A、B、C、D四點共圓 托勒密定理的推廣 定理 ：如果凸四邊形 ABCD的四個頂點不在同一個圓上，那么就 ABCD + BCAD ACBD 11. 西姆松定理 定理：從 ABC外接圓上任意一點 P向 BC、CA、AB或其延長線 引垂線，垂足分別為 D、E、F，則 D、E、F 三點共線 12. 歐拉定理 定理 ：設(shè) ABC的重心、外心、垂心分