知識點一導數(shù)與函數(shù)的單調性

1、精品文檔1函數(shù)的單調性：在某個區(qū)間(a,b )內，如果f (x) 0,那么函數(shù)y f (x)在這個區(qū)間內單調遞增；如 果f (x) 0，那么函數(shù)y f (x)在這個區(qū)間內單調遞減如果f (x) 0，那么函數(shù)y f (x)在這個區(qū)間上是常數(shù)函數(shù)注：函數(shù)y f (x)在(a,b)內單調遞增，貝U f (x) 0， f (x) 0是y f(x)在(a,b)內單調遞增的 充分不必要條件2函數(shù)的極值：曲線在極值點處切線的斜率為0，并且，曲線在極大值點左側切線的斜率為正，右側為負；曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正.一般地，當函數(shù)y f(x)在點滄處連續(xù)時，判斷f(xo)是極大(小)值的方法是：(

2、1) 如果在X。附近的左側f(x)0，右側f(x)0，那么f(x0)是極大值.(2) 如果在xo附近的左側f(x)0，右側f(x)0，那么f(x0)是極小值.注：導數(shù)為0的點不一定是極值點知識點一：導數(shù)與函數(shù)的單調性方法歸納：在某個區(qū)間(a,b )內，如果f (x)0,那么函數(shù)y f (x)在這個區(qū)間內單調遞增；如果 f (x)0，那么函數(shù)y f (x)在這個區(qū)間內單調遞減如果f (x) 0，那么函數(shù)y f (x)在這個區(qū)間上是常數(shù)函數(shù) 注：函數(shù)y f (x)在(a,b)內單調遞增，貝U f (x) 0 , f (x) 0是y f(x)在(a,b)內單調遞增的 充分不必要條件例1】(B類)已知

3、函數(shù)f(x) x3 bx2 cx d的圖象過點P(0, 2)，且在點M( 1, f ( 1)處的切線 方程為6x y 70 (i)求函數(shù) y f(x)的解析式；(n)求函數(shù)y f(x)的單調區(qū)間【解題思路】注意切點既在切線上，又原曲線上函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上遞增可得：f(X) 0 ；函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上遞減可得：f (x) 0.3【例2】(A類)若f (x) ax x在區(qū)間1,1上單調遞增，求 a的取值范圍【解題思路】利用函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上遞增可得：f(x) 0 ;函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上遞減可得：f (x)0得出恒成立的條件，再利用處理不等式恒成立的方法獲解a【例

4、3】(B 類)已知函數(shù) f (x) In x,g(x) (a 0),設 F(x) f (x) g(x).x(i)求函數(shù) F(x)的單調區(qū)間；1(n)若以函數(shù)y F(x)(x (0,3)圖像上任意一點P(x。，y。)為切點的切線的斜率 k ?恒成立，求實數(shù)a的最小值【課堂練習】321. ( B ) 已知函數(shù)f (x) ax bx的圖像經過點M(1,4)，曲線在點M處的切線恰好與直線 x 9y 0垂直.(I)求實數(shù)a,b的值；(n)若函數(shù)f (x)在區(qū)間m,m 1上單調遞增，求 m的取值范圍.1 2 1 22.( B類)設函數(shù)g(x) - x2ax2 bx(a,b R)，在其圖象上一點P (x,

5、y)處的切線的斜率記32為 f(x).(1) 若方程f(x) 0有兩個實根分別為2和4,求f (x)的表達式；2 2(2) 若g(x)在區(qū)間1,3上是單調遞減函數(shù)，求ab的最小值3. (A類)已知函數(shù)f(x) x2 minx (m 1)x, m R 當 m 0時，討論函數(shù) f(x)的單調2例一解析】(i)由f(x)的圖象經過P(0, 2)，知d 2 ,所以f(x)3x2bx cx 2.所以f (x)3x22bx c.由在M ( 1,f(1)處的切線方程是6x y 70 ,知 6 f( 1) 70,即 f( 1)1, f( 1) 6.3 2b c6,2b c3所以即解得b c 31 b c2 1

6、.b c0.故所求的解析式是f(x)x323x3x2 .2n)因為 f (x) 3x 6x3令 3x2 6x 30 ,即2 x2x 10,解得 x112,x212.當 x 12 或 x 1.2 時，f(x) 0 ,當 1x 1,2 時，f a2_x 0,故f(x)x33x23x2在(，12內是增函數(shù)，在1、2,1 、邁內是減函數(shù)，在12,)內是增函數(shù).2例二【解析】Q f (x) 3ax 1又f (x)在區(qū)間1,1上單調遞增f (x)23 ax 10在1,1上恒成立丄在x 1,1時恒成立.3x故a的取值范圍為3例三解析】In aFa,在a,上單調遞增(II)當x。由F x0,a，二 F0, a

7、上單調遞減.x的單調遞減區(qū)間為0,a，單調遞增區(qū)間為a,x 3 , k F x0護0x3恒成立Xo1x Xomax1時，x0 x取得最大值-.2 21. 1-a, amin=2 2321，【解析】(I) f(x) ax bxM (1,4) a b 4課堂練習；的圖象經過點/ f (x) 3ax2 2bx ,二 f (1) 3a 2b1由已知條件知f(1)()1即3a 2b 99” ab4 口a 1解得：3a2b9b 3(n)由(I)知322f (x) x 3x , f (x) 3x 6x令 f (x)3x26x0則x2或x 0函數(shù) f(x)在區(qū)間m,m 1上單調遞增, 1(, 2U0,)m 0

8、或 m 12 即 m 0或 m 32,解析】(1 )根據導數(shù)的幾何意義知f(x) g (x) x2 ax b由已知-2、4是方程x2 ax b 0的兩個實根2 4aa 22由韋達定理，f(x) x2 2x 82 4bb 8(2) g(x)在區(qū)間1 ,3上是單調遞減函數(shù)，所以在1, 3區(qū)間上恒有f(x)g (x) x2 ax b 0,即f (x)x2 ax b 0在1,3恒成立這只需滿足f( 1)0即可也即f(3) 0b 13a 9a b 1而a2 b2可視為平面區(qū)域a b 內的點到原點距離的平方,b 3a 9其中點(一2, 3)距離原點最近，所以當a2時,a2 b2有最小值13b 32mx (

9、m 1)x m (x 1)(x m)3，【解析】 f (x) x (m 1)xxx( 1)當1 m 0時，若x 0, m時，f (x)0, f (x)為增函數(shù)；x m,1 時，f (x)0, f (x)為減函數(shù)；x 1, 時，f (x)0, f (x)為增函數(shù).(2)當 m 1 時，x 0,1 時，f (x)0, f (x)為增函數(shù)；x 1, m 時，f (x)0, f(x)為減函數(shù);x m,時，f (x) 0, f (x)為增函數(shù)知識點二：導數(shù)與函數(shù)的極值最值方法歸納：1求函數(shù)的極值的步驟：(1) 確定函數(shù)的定義域，求導數(shù) f (X).(2) 求方程f(x)0的根用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將

10、函數(shù)的定義域分成若干小開區(qū)間，并列成表格檢查f(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f (x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么f (x)在這個根處無極值2.求函數(shù)在a,b上最值的步驟：(1)求出f (x)在(a,b)上的極值(2) 求出端點函數(shù)值 f(a), f(b).(3) 比較極值和端點值，確定最大值或最小值注:可導函數(shù)y f(x)在x x。處取得極值是f(x0) 0的充分不必要條件.1【例4】(A類)若函數(shù)f (x) mcosx sin 2x在x處取得極值，則m .24【解題思路】若在X。附近的左側f(x) 0,右側

11、f (x) 0,且f(x。) 0,那么f(x。)是f (x)的極大值；若在X0附近的左側f(x) 0,右側f(x) 0,且f(X) 0,那么f(X0)是f (x)的極小值【解析】因為f (x)可導，且f (x)msinx cos2x,所以f ( ) msin cos 0 ,解得m 04421驗證當m 0時，函數(shù)f (x) sin2x在x處取得極大值24【注】 若f (X)是可導函數(shù)，注意 f(X0) 0是X0為函數(shù)f (X)極值點的必要條件要確定極值點還需在X0左右判斷單調性 例5】(B類)已知函數(shù)f xf x0 1(I)求的單調區(qū)間；(II)求 在區(qū)間上的最小值在(,k 1)上遞減，在【解析

12、】(I) f(X)(X k 1)e，令 f (x)0 x k 1 ；所以(k 1,)上遞增；(II)當k 1 o,即k 1時，函數(shù)在區(qū)間0,1上遞增，所以f(x)minf (0)當0 k 11即1 k 2時，由(I)知，函數(shù)f x在區(qū)間0,k 1上遞減，(k1,1上遞增，所k 1以 f (x)minf (k 1) e .當11即k 2時，函數(shù)f x在區(qū)間0,1上遞減，所以f(x)min f(1)(1 k)e【例6】(B類)設x1,x2 是 f xalnx bx x函數(shù)的兩個極值點.(1)試確定常數(shù)a和b的值;(2)試判斷1,x2是函數(shù)的極大值點還是極小值點，并求相應極值【解析】(1) f2bx

13、1,a 2b 10由已知得:2316故在x(2) x變化時.f (x), f(x)的變化情況如表:f(x)4.( A類)設22ax(-若f(x)在3)上存在單調遞增區(qū)間,求a的取值范圍5.(b 類)設 f(x)lnx, g(x)f(x) f (x).(1)求g(x)的單調區(qū)間和最小值;1(2)討論g(x)與g(x)的大小關系;x(0, 1)1(1, 2)2f，x0+0f x極小值極大值1處,函數(shù)函數(shù)気234x取得極大值35x取極小值6 ；在x 2處,6. (C 類)已知函數(shù) f(x) x3 3ax2(3 6a)x 12a 4(a R)(I )證明：曲線yf (x)在x0的切線過點(2,2);2

14、( )課堂練習；4，【解析】f(x)在3上存在單調遞增區(qū)間,即存在某個子區(qū)間(m, n)(|,)使得f (x) 2 f (x) x由2a(x 2)2 1242a2 f (x)在區(qū)間3)上單調遞減，則只需0即可.2 2 1 f ( ) 2a 0 a 由 39解得 9 ,1(2、a ()所以，當9時，f(x)在3上存在單調遞增區(qū)間f (x) In x,g(x)5,解】(1)由題設知1Inx g (x)x，二x 1x2 令 g (x) o 得 x=1當x ( o, 1)時，g (x) v o, g(x)是減函數(shù)，故(o, 1)是g(x)的單調減區(qū)間因此，x=1是g(x)的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以g(x)的最小值為g(1)1g()In xxh(x) g(x)g(1). 1 In x x -h(x)(x 1)22x，設xx，則x當x1時，h(1)10 加 g(x)g()0，即x，當x(0,1) (1,)時，h(x)0因此，h