微專題定點定值問題教師版

1、圓錐曲線中一類定點定值問題 概念與用法 圓錐曲線中的定點、定值問題是高考命題的一個熱點，也是圓錐曲線問題中的一個難點解決這 個難點的基本思想是函數(shù)思想，可以用變量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線 方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等不受變量所影響的一個值，就是要求的定值具體地說，就是將要證明或 要求解的量表示為某個合適變量的函數(shù)，化簡消去變量即得定值. 解答此類問題的基本策略有以下兩種： 1、 把相關(guān)幾何量的變元特殊化，在特例中求出幾何量的定值，再證明結(jié)論與特定狀態(tài)無關(guān). 2、把相關(guān)幾何量用曲線系里的參變量表示，再證明結(jié)論與求參數(shù)無關(guān). 課前預(yù)習(xí)： 1、 已知直線I方程為(3m+2)x+

2、(2-m )y+8=0，當(dāng)m變化時，直線I恒過定點(-1,3) 2 2 2、已知圓 C:(x1 ) +(y 2 ) =25,kZ,直線 I : kx y +1k = 0與圓 C 的交點個數(shù) 2 2 3、 直線y= kx+ 1與橢圓+ y = 1恒有公共點，貝V m的取值范圍是 . m 1且m5 5 m 4、 已知定圓A: (x+ 1)2+ y2= 16,圓心為A,動圓M過點B(1,0)且和圓A相切，動圓的圓心 M的軌跡記為 2 2 c.則曲線c的方程是. x+y=1 43 5、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2 y2 -4x =0 .若直線y二k(x 1)上存在一點P，使過P所作的 圓

3、的兩條切線相互垂直，則實數(shù) k的取值范圍是 【答案】-2.2,2 . 2 LJ 6、已知直線y=ax+3與圓x2 y2 2x-8 =0相交于A, B兩點，點P(xD,y)在直線y=2x上，且PA=PB,則x 的取值范圍為 答案:(-1,0) U (0,2) 2 8、 過拋物線y=2px P焦點F的直線與拋物線交于 A,B兩點，過點A,B分別作準(zhǔn)線的垂線 AA1 ,BB1, y y 例2、已知橢圓C :二 2 =1(a b 0)的左、右焦點分別為 F1、F2，過F2作直線I與橢圓C交于點M、 a b x22 垂足分別為 A1,B1，則A1F+B1F=2p 2 2 9、 (選做)已知橢圓字+詁=1

4、 (ab0),過點P(m,n)分別作斜率為 心也 的動直線AB、CD與橢圓依次交于 A、 B、C、D四點若M、N分別是弦AB、CD的中點，則k1 kmn時，直線MN恒過定點 例1、 (1) x2 在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓 4 設(shè)M為圓F上一點，滿足MFlMF=1 2 y-1的左、右焦點分別為 ，求點M的坐標(biāo) F與 F，圓 F : x-力 y2 =5 (1) (2)若P為橢圓上任意一點，以 P為圓心、0P為半徑的圓P與圓F的公共弦為 QT,求證：點F到直線QT PM (2) 的距離FH為定值。 若橢圓C的離心率為-，右準(zhǔn)線的方程為x = 4 , M為橢圓C上頂點，直線I交右準(zhǔn)線于點 P，求

5、 2 1 的值； PN 當(dāng)a2 b4時, M在定直線上. 設(shè)M為橢圓C上第一象限內(nèi)的點，直線 l交y軸于點Q , RM _ FQ，證明：點 _C a 18. (1)設(shè) F2(c,0)，貝U 2 a 4 2 2 2 所以橢圓C的方程為y 1, 43 則直線I的方程為y二3(x -1)，令x =4，可得P(4, -3 3), 辛 一 3(x -1), 聯(lián)立 22 x y 1 43 11 所以丄 PM PN y= kx+ b 由 y2c，得(k2 + 4)x2 + 2kbx + b2 4= 0, y + x2= 1 4 ，得 5x _20 ,所以 M(0, .3) , N(E,_b), 455 2

6、2kbb2 4 貝H X1+ X2 = , X1X2=, k2+ 4k2+ 4 .(0 4)2 (、3 3,3)2 (8-4)2 (-；33 3)2 55 y$2e(Z+ b)(kx2+ b) 由 X1X2 + -= 0，得 X1X2+= 0 , 整理得：2b2 k2= 4，所以 Saob= t |b|AB = 2 ,1 + k2 如 (X1+ X2)2 - 4X1x2 (2)設(shè) M(X0,y)(X0 0,y0 0) , F2(c,0)，則直線 l 的方程為 y(x-c), 怡一c |b“4k2-4b2+ 16 =姮=1 k2+=繭=1， 令x =0，可得Q(0, cy、 丿， X0 - c

7、所以 AOB的面積為定值. cy 由 RM _ FQ 可知，kM k y X0c 1,整理得 y。2 =x。2 -c2 , c 又 c2 = a2 2 2 -b =2a -4, 聯(lián)立 2 y 2 x。 .y 2 a 皿 _(2a2 -4), 2，解得 4 - a2 1y0 Xo 2 a 5 2 2 ， =2丄 2 14分 所以點M在定直線x些=2上. 2 2 例3.設(shè)A(X1, y) B(X2, y0是橢圓字+器 =0且橢圓的離心率 e=-，短軸長為2, O為坐標(biāo)原點 1 (ab0)上的兩點，已知向量 X1 m= b X2 (1) 求橢圓的方程； (2) 若直線AB的斜率存在且直線 AB過橢圓

8、的焦點F(0, (3) 試問： AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明; c)(c為半焦距)， 如果不是，請說明理由 求直線AB的斜率k的值; 2 才 + x2= 1(2) 2 (3)當(dāng)直線AB的斜率不存在時，即X1 = X2, y1 = y2, 2 由 m-n = 0，得 X12弓 4 =0，即 y12= 4x12, X12+ 片=1, 又A(X1, y1)在橢圓上，所以 所以 |X1= 2, ly1=2, 所以 SxAOB = 2兇|“1一 y2|= |X1| |y1 |= 1 , 當(dāng)直線AB的斜率存在時：設(shè)直線 AB的方程為 y= kx + b, 課后作業(yè)： 2 2 1已知橢圓x4

9、+ 2 = 1上的兩個動點P, Q,設(shè)P(xi, yi), Q(x2, Y2)且xi + X2= 2則線段PQ的垂直平分線恒 過定點A的坐標(biāo)是 2 2 2、設(shè)Fi、F2分別是橢圓務(wù)+ 士 = 1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點 M的坐標(biāo)為(6,4)，貝V PM + PFi 2516 的最大值為.15 3、 已知兩點M( 3,0), N(3,0)，點P為坐標(biāo)平面內(nèi)一動點,且|MN| |MP|+ MN NP= 0,則動點P(x, y)到點M(- 3,0)的距離的最小值為. 3 2 2 4、 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C： X2 y2 =1(a b 0)經(jīng)過點M (3、2八2)，橢圓

10、的離心 a b 率e = S? , F1、F2分別是橢圓的左、右焦點. 3 (1) 求橢圓C的方程； (2) 過點M作兩直線與橢圓 C分別交于相異兩點 A、B . 若直線MA過坐標(biāo)原點0,試求 MAF2外接圓的方程； 若乙AMB的平分線與y軸平行，試探究直線 AB的斜率是否為定值？若是，請給予證明；若不是，請 說明理由 解：(1)由 er 3 2 X 4 9 2 y 1 I 4 (說明：該圓的一般式方程為 X2 -矢2 x y2 整 2 2 故：MAF?的外接圓的方程為 _ 125 4 10分 y-20 = 0) 設(shè)直線MA的斜率為k, An，% , B X2，y?，由題直線 y = kx2

11、一 32k 22 364 MA與MB的斜率互為相反數(shù)，直線 MB的 斜率為-k.聯(lián)立直線MA與橢圓方程: 22L2 整理得(9k2+1)x2+1對2k(13k)x+16N2 10&18=0，得 所以x2二 x1 18 2 3k2 k 3 - 1823k2 k_32，整理得 X2-X1=362k 3 -108k =9k21 23.2八2 、1 9k2 19k 1 ng 2 32k- kx2、0-3力kik 沁 12 2k y2 - y1 _ 9k2 1 x? - X1 36 2k 12、* 今 9k +1 , 5、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 所以 9k2 1 102k2匸 x2 x126.2

12、13 分 9k +1 x16、2k 2 9k 1 為定值 16分 2 中，已知A , B , C是橢圓豈=1(a b 0)上不同的三點, a b 2 B(-3,-3), C在第三象限，線段 (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； BC的中點在直線OA上. 22 a -b 2 + y_ 9b2 b2 x2 2 c 2 a 2 a 18 又橢圓過點M (3 -一 2, , 2)，則 8 22 ，得a = 9b ,故橢圓方程為 9 2 2 2=1 , 9b b -1 2 2 x_+l 解得宀4，所以橢圓的方程為36 V1 記MF1F2的外接圓的圓心為T 因為koM =,所以MA的中垂線方程為y=-3x, 3 又由

13、 M(3.2, 2), F2 4、2,0，得 MF1 的中點為2 12 2丿 所以MF?的中垂線方程為y = x -3、2，由 y = _3x ，而 kMF2 = T , “2928分 所以圓T的半徑為4 2 - 3 2 4 55 (2)設(shè)點 C(m, n) (m ： 0,n： 0)，貝U BC 中點為3 由已知，求得直線 OA的方程為x-2y = 0，從而m=2n-3 . . 2 2 又點C在橢圓上， m2n =27 由，解得n =3 （舍），n = _1 ,從而m = -5 所以點C的坐標(biāo)為（-5, _1） (3)設(shè) P(x,yo) , M(2yi，yJ , Ndy) P,B,M三點共線， 心 y0 3，整理, P,C,N三點共線， 2y-3 X)亠 3 丫2 1 yo 1 2y25 x05 ，整理, yi