電磁場理論復(fù)習(xí)題

1、第12章 矢量分析 宏觀電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律1.設(shè)：直角坐標(biāo)系中，標(biāo)量場 uxy yzzx的梯度為A，貝y M( 1 , 1 , 1)處A =2ex 2ey 2ez5A02.已知矢量場Ae?x ( y z)? 4 xy2gxz ,則在(1, 1, 1)處 A 93.亥姆霍茲疋理指出，右唯一地確疋個矢量場(場量為A),則必須同時給定該場矢量的旋度A 及散度A4.寫出線性和各項同性介質(zhì)中場量D、E、B、H、J所滿足的方程(結(jié)構(gòu)方程)：DE, BH , JE。5.電流連續(xù)性方程的微分和積分形式分別為JSdSqL和Jt6.設(shè)理想導(dǎo)體的表面 A的電場強(qiáng)度為E、磁場強(qiáng)度為B，則(a)E、B皆與A垂直。(b)

2、E與A垂直，B與A平行。(c)E與A平行，B與A垂直。(d)E、B皆與A平行。答案：B7.兩種不同的理想介質(zhì)的交界面上,(A)rE1rE2 ,rH1rH2(B)E1 nE2n,HmH2n(C)E1tE2t,H1tH2t(D)E1tE2t,HmH2n答案：C8.設(shè)自由真空區(qū)域電場強(qiáng)度 E eyE0s in( cot BZ(V/m)，其中E0、s、B為常數(shù)。則 空間位移電流密度 Jd (A/m2)為：(a) eyE0cos( st B Z(b) ?y oE0 cos( st9.已知無限大空間的相對介電常數(shù)為x4，電場強(qiáng)度E 0 cos (V/m)，其中0、d為常數(shù)。則x d處電荷體密度 為:(c)

3、(d)答案：d10. 已知半徑為R0球面內(nèi)外為真空，電場強(qiáng)度分布為2 ( er cosRo3 (? 2cos re sin )e sin )(r Ro)(r Ro)求(1)常數(shù)B;( 2)球面上的面電荷密度；(3)球面內(nèi)外的體電荷密度。Sol. (1) 球面上由邊界條件E1tE2t 得：2 . sin RoRo3 sinB2Ro(2)由邊界條件D1nD2ns 得:6 ocosRoso( E1nE2n)o C1rE2r)(3)由D得:E1 (r2Er)1(E sin )o(roor2ro rsino(r即空間電荷只分布在球面上。Ro)Ro)11. 已知半徑為R)、磁導(dǎo)率為的球體，其內(nèi)外磁場強(qiáng)度分

4、布為2(? cos ? sin ) (r Ro)H A3(E2cos ? sin ) (r Ro) r且球外為真空。求(1)常數(shù)A；( 2)球面上的面電流密度 Js大小。)sinSol.球面上(r=R): H r為法向分量；H為法向分量(1)球面上由邊界條件B1nB2n 得:H1ro H 2r ARoo(2)球面上由邊界條件H1tH2tJ s得Js (H1 H2 )|r R,(2第3章 靜電場及其邊值問題的解法1.靜電場中電位與電場強(qiáng)度E的關(guān)系為E;在兩種不同的電介質(zhì)(介電常數(shù)分別為 q和(g )的分界面上，電1位 1滿足1的n邊22杲1條件為。2.設(shè)無限大真空區(qū)域自由電荷體密度為p ,則靜電

5、場：E0E =。23.電位和電場強(qiáng)度E滿足的泊松方程分別為2E、。1 24. 介電常數(shù)為的線性、各向同性的媒質(zhì)中的靜電場儲能密度為WmE25. 對于兩種不同電介質(zhì)的分界面，電場強(qiáng)度的 切向 分量及電位移的法向 分量總是連續(xù)的。6. 如圖，E1 E2分別為兩種電介質(zhì)內(nèi)靜電場在界面上的電場強(qiáng)度，30 ，貝y360 ，1巳|疋2丨。7.理想導(dǎo)體與電介質(zhì)的界面上，表面自由電荷面密度s與電位沿其法向的方向?qū)?shù) 的n關(guān)系為8.如圖，兩塊位于x = 0和密度x = d處無限大導(dǎo)體平板的電位分別為d)的電荷(設(shè)內(nèi)部介電常數(shù)為Sol.0、U0，其內(nèi)部充滿體)。(1)利用直接積分法計算0 x a各點的電位分布。S

6、ol.空間電荷對導(dǎo)體表面上部空間場分布的影響等效于：無限大接地導(dǎo)體平面 +接地導(dǎo)體球邊界條件：平面 球面0使平面0，弓I入鏡像電荷：z d, qq0使球面 0,弓I入鏡像電荷：2aazi, qiq。ddaz2|zaaa 訂。1d，q2|z|qz軸上z a各點的電位：1q。qq2q4 0|z d |z Z1zZ2z dq。12a314 0|z d|z2d24 azd2 211.已知接地導(dǎo)體球半徑為 R），在x軸上關(guān)于原點（球心）對稱放置等量異號電荷+q、-q ,Sol. (1)引入兩個鏡像電荷:q1R） 需qq2R0R2，2q2斗q) q,X2RoR02R022R02（3） x軸上x2R）各點的

7、電場強(qiáng)度。位置如圖所示。利用鏡像法求（ 1）鏡像電荷的位置及電量大?。唬? ）球外空間電位;(2)(x,y,z)14 0q Rqi Riq2R2(略)RR 、(x2Ro)22y2z ，Ri,(x Ro/2)2 y2 zR2. (xRo/2)22 2y z，R2 2 2.(x 2Ro)y z(3) x軸上x2R各點的電場強(qiáng)度：E ? qq/2q/2q(x 2 Ro)2(x R/2)2(x R/2)2 (x 2R。)212. 如圖所示，兩塊半無限大相互垂直的接地導(dǎo)體平面，在其平分線上放置一點電荷q,求(1)各鏡像電荷的位置及電量；(2)兩塊導(dǎo)體間的電位分布。Sol. ( 1)q1 qo ， ( a

8、,o, o)q2qo ， (0,a, o)q3qo，(a, 0,o)(2)(x,y,z)qoqq2q34 oRoR1R2R3(略)其中:Rox2(ya)22 zR1(xa)22y2 zR2X2(ya)22 zR3(x a)2y2 z2第4章恒定電場與恒定磁場1. 線性和各項同性的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)部電荷體密度等于_0，凈余電荷只能分布在該導(dǎo)電媒質(zhì)的表面上。2. 線性和各項同性的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中，J _0； D _0。3. 在電導(dǎo)率不同的導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上，電場強(qiáng)度E和電流密度J的邊界條件為：E1tE2t、J1nJ2n24. 在電導(dǎo)率為 的導(dǎo)電媒質(zhì)中，功率損耗密度pc與電場強(qiáng)度大小PE的關(guān)系為。5. 恒

9、定磁場的矢量磁位 A與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的關(guān)系為 B A ； A所滿足的泊松方程為2 AJ。6. 對線性和各項同性磁介質(zhì)（磁導(dǎo)率設(shè)為）,恒定磁場（磁場強(qiáng)度大小為H ）的磁能121 h 2dV密度Wm日, V空間磁能W = V 2 口 。7.已知恒定電流分布空間的矢量磁位為：A exx2y eyy2x亀Cxyz, C為常數(shù)，且A滿足庫侖規(guī)范。求（1）常數(shù)C ; （2）電流密度J ; （3）磁感應(yīng)強(qiáng)度 B。（直角坐標(biāo)系中：a（?x（az5y( axaz) 5z( ay ax)yzzxxySol. (1)庫侖規(guī)范：A0 -AxAy2xy 2xy Cxy 0 C4xyz(2)由2AjJ , AxX2y ey

10、y2x,4xyz 得:J2A12a22a22a21-e2y ?y2x（3） B Ae4xz 4yz 8z（y2 x2）8.習(xí)題 在平板電容器的兩個極板間填充兩種不同的導(dǎo)電媒質(zhì)（1, 1和2, 2）,其厚度分別為d1和d2。若在兩極板上加上恒定的電壓 U。試求板間的電位、電場強(qiáng)度 豈、電流密度了以及各分界面上的自由電荷密度。Sol.用靜電比擬法計算。用電介質(zhì)（和 ）替代導(dǎo)電媒質(zhì)，靜電場場強(qiáng)分別設(shè)為E、E2E1 d1E2 d2U 0E12U 02小11d 2D1 D 21E12 E2E2ex1U02d11d2(d1 x d2)電位移：D1 D 21E1(x)E1x2U0_x(0x dj2d 1 1

11、 d2E1d11x ( 21 )d1 .E2(X djU 0(d1x d2)2d1 1d21 2U 0E 2dl1 d2靜電比擬：EE，JD, b,，則導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場2U01x(0 xd1)2d11d 21X(2 1)d1 2u(d1 x d2)2d 11d22U 02d1 1d 2E(x)exJ。2d11d 2(0 x d1)(di x d2)12U 02d 1 1d 212U 02小11d 2s x d1d222 1U0x)2d 11小2(122 1 )U 02 d11d2可知：非理想電容器兩極上的電荷密度為 才有電容定義。非等量巳目異號s x d1 d2只有理想電容器9. 一橫截面

12、為正方形的扇形均勻?qū)щ娒劫|(zhì)，其內(nèi)、外半徑分別為a、2a，電導(dǎo)率為如圖建立圓柱坐標(biāo)，若電位_ U。（常量）及 0 0。求（1）導(dǎo)電媒質(zhì)上電位分布2以及恒定電場的電場強(qiáng)度 E ；（2）該情況下導(dǎo)電媒質(zhì)的直流電阻R。Sol.由邊界條件可知，導(dǎo)電媒質(zhì)上電位僅與坐標(biāo)有關(guān)，即(1)d20 0 得:2U。（第 9題圖）edr 1 reez zJdS 2aj (a d ) 竺丄(ad) 4ln2Saa直流電阻：R UoI 2 aln210. 一橫截面為正方形的扇形均勻?qū)щ娒劫|(zhì)，其內(nèi)、外半徑分別為a、2a，電導(dǎo)率為如圖建立圓柱坐標(biāo)，若電位U0 （常量）及 20。求（1）導(dǎo)電媒質(zhì)上電位分布au2 a以及導(dǎo)電媒質(zhì)上

13、恒定電場的電場強(qiáng)度E ；（2）該情況下導(dǎo)電媒質(zhì)的直流電阻R。Sol.由邊界條件可知，導(dǎo)電媒質(zhì)上電位僅與坐標(biāo)有關(guān)，即（）/八2c1ddu(1)0 -dd由a U0及2a 0 得:0AlnB()u。, -ln ln2U2ln(2a)屮丄In 2（第 10題圖）EU。1r rJ dSSJ (aaUo2ln 2直流電阻:2ln 2第5章電磁波的輻射1.復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程中兩個旋度方程為2. 坡印亭矢量S的瞬時表示式是3. 自由空間中時變電磁場的電場滿足的波動方程為電磁場的情況下變?yōu)?合 k書 0。，平均值是2E2e0，這個方程在正弦4.在無損耗的均勻媒質(zhì)中，正弦電磁場的磁場滿足的亥姆霍茲方程為2H

14、 k2H 0，其中 _A。(A)k22(B)k22(C)k2(D)k22 2 2125. 在時變電磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B與位的關(guān)系為電場強(qiáng)度E與位的關(guān)系為E r彳6. 已知某一理想介質(zhì)4 0,5 0,0中)時諧電磁場的角頻率為，位移電流復(fù)矢量為Jd &Jcosa,a、J。皆為常數(shù)。則電場強(qiáng)度復(fù)矢量(A)exJ0nj zcos e(B)r J0ex-nj zcos ejaj40a(C) ex J0n j z sin e(D)r J0ex-sin n e 答案：Bjaj40a7. 電偶極子天線的功率分布與(a) sin2(c) cos2的關(guān)系為 a(b) sin(d) cos8.自由空間的原點處的場

15、源在 函數(shù)和A。t時刻發(fā)生變化，此變化將在b時刻影響到r處的位9.(a) t -c在球坐標(biāo)系中,(a).2 sinr(b) t ;(c) t ;(d)任意c電偶極子的輻射場(遠(yuǎn)區(qū)場)的空間分布與坐標(biāo)的關(guān)系是2 sinsinsin(b)- (c)1(d)-rrr10. 一均勻平面波垂直入射至導(dǎo)電媒質(zhì)中并在其中傳播，則(A)不再是均勻平面波。(B)空間各點電磁場振幅不變(C)電場和磁場不同相。(D)傳播特性與波的頻率無關(guān)。答案：C11. 下列電場強(qiáng)度所對應(yīng)的電磁波為線極化方式的是eoyrezJ ze je o o y y re re z z e e o o rexrrr 0 D12、已知真空中某時

16、諧電場瞬時值為E(x,z,t)復(fù)矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。3ySin(10 x) cos( t kzz)。試求電場和磁場解：所給瞬時值表示式寫成下列形式E(x,z,t) ReySin(10 x)e jkzzej t因此電場強(qiáng)度的復(fù)矢量表示為E(x, z)ey sin(10 x)e Jkzz由麥克斯韋方程組的第二個方程的復(fù)數(shù)形式可以計算磁場強(qiáng)度的復(fù)矢量為x, z)E)exyEyezEyJ 0xzexJ 0E&zk& si n(10010x) ezcos(10 x) eJ 0功率流密度矢量的平均值Sav等于復(fù)坡印廷矢量的實部，即e(Rfor*N/VeR1- 2色限eR1- 2刑碉4； e

17、zEyH：)1Ren(20 ：) gsin2(10 ：)2 j 00ezsin2(10 x)2 013、已知真空中時變場的矢量磁位為A(z,t) ：A0 cos( t kz)求：(1)電場強(qiáng)度E和磁場強(qiáng)度H ; (2)坡印廷矢量及其平均值。解：(1)把矢量磁位的瞬時值表示為A(z,t) ReexAoe JkzeJ t則矢量磁位的復(fù)數(shù)形式為A(z)?Ae jkz根據(jù)磁場強(qiáng)度復(fù)數(shù)形式H&與矢量磁位復(fù)數(shù)形式J&之間關(guān)系可以求出exeyezH（z）丄（0ey( jkAo)e jkz磁場強(qiáng)度的瞬時值為根據(jù)麥克斯韋方程組的第一個方程 間關(guān)系為H(z,t)rey(kAo)cos( t I 2： J& j D

18、&，此時 jkz )電場強(qiáng)度與磁場強(qiáng)度之ezx yHxHyzHz 2 Ar k Aojkz3 e電場強(qiáng)度的瞬時值為r& tE( z,t) ReE&ejtexcos(t kz )2（2）坡印廷矢量為(t kz 2)空 cos2( t kz -)2坡印廷矢量的平均值為丄Re(E& H*)2第6章、均勻平面波的傳播1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11、則它們，相位相差_ 均勻平面波垂直入射到理想導(dǎo)體表面上, 相位相差的振幅 相同/2。反射波電場與入射波電場的振幅相等均勻平面波從空氣垂直入射到無損耗媒質(zhì)r 2.25, r 1，0表面上，則電場反1/ 5射系數(shù)為在自由空間傳播的均勻平面波的電場

19、強(qiáng)度為E &100cos20 z V / m，則波的，波長為0.1mr 100X方向的線極化波 ，對應(yīng)的磁場為Ht 20 z A/m ，平均坡印r 50002ezW/mw 377。傳播方向為_+z，頻率為 3X 109 Hz，波的極化方式為沿亭矢量Sav為Sav均勻平面波電場方向的單位矢量eE、磁場方向的單位矢量eH以及傳播方向的單位矢量e三者滿足的關(guān)系是eneE eH損耗媒質(zhì)的本征阻抗為，表明損耗媒質(zhì)中電場與磁場在空間同一位置存在兩個同頻率、同方向傳播，極化方向相互垂直的線極化波的合成波為圓極化波,著 相位差，損耗媒質(zhì)中不同頻率的波其相速度不同，因此損耗媒質(zhì)又稱為 色散 媒質(zhì)。丄設(shè)海水的衰減

20、常數(shù)為，則電磁波在海水中的穿透深度為，在此深度上電場的振1幅將變?yōu)檫M(jìn)入海水前的e在良導(dǎo)體中，均勻平面波的穿透深度為_a(b)(c)在無源的真空中，已知均勻平面波的E E0e j z和H H0ejz，其中的E0和H0為常矢量，則必有 _c， ezE00； (b)ezH0 0； (c)E0 H&00； (d)E0H0 0以下關(guān)于導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播的電磁波的敘述中，正確的是_b(a) 不再是平面波(b) 電場和磁場不同相(c) 振幅不變(d) 以TE波的形式傳播已知空氣中存在電磁波的電場強(qiáng)度為E eyE0 cos(6 108t 2 z) V/m試問：此波是否為均勻平面波？傳播方向是什么？求此波的頻率、波

21、長、相速以及對應(yīng) 的磁場強(qiáng)度H。相位和方向均相解：均勻平面波是指在與電磁波傳播方向相垂直的無限大平面上場強(qiáng)幅度、 同的電磁波。電場強(qiáng)度瞬時式可以寫成復(fù)矢量E&= eyEoejkzE& ez，此波為均勻平面波。該式的電場幅度為Eo，相位和方向均不變，且E& ez 0傳播方向為沿著z方向。由時間相位 t 6108t6 108波數(shù)k2波長2 彳1 m k相速vp空310 m/spdt k由于是均勻平面波，因此磁場為1rZW( ez波的頻率f 3 108HzE12、在無界理想介質(zhì)中，均勻平面波的電場強(qiáng)度為exzejkzZWexEsi n(2108t2 z)，已知介質(zhì)的r 1，求r，并寫出H的表達(dá)式。解

22、：根據(jù)電場的瞬時表達(dá)式可以得到2 108，k2 ，而電場強(qiáng)度的瞬時式可以寫成復(fù)矢量為exE0e j2 rckc波阻抗為ZW40，則磁場強(qiáng)度復(fù)矢量為)eyE。40j2j2因此磁場為E。Hey0sin(2108t 2z)13、銅的電導(dǎo)率 5.8 107S/m， r r 1。求下列各頻率電磁波在銅內(nèi)傳播的相速、 波長、透入深度及其波阻抗。(1) f 1 MHz ； (2) f 100 MHz ； (3) f 10 GHz解：已知0 10 9 F/m和0410 7 H/m，那么361 1.044 10182 f r 0 f(1)當(dāng)f 1MHz時， 1.044 10121,則銅看作良導(dǎo)體，衰減常數(shù)和相位

23、常數(shù)分別為15.132jf 15.132 103相速：Vp 4.152 10 f 0.4152 m/s波長:4.152 10 4 m透入深度： 丄6.6 10 5 m波阻抗：Zw 忙(1 j) 2.61 107(1 j)廠 2.61 10 4(1 j) 當(dāng)f 100MHz時， 1.044 10101，則銅仍可以看作為良導(dǎo)體，衰減常數(shù)和相位常數(shù)分別為；.15.132. f 15.132 104相速： j 4.152 10 4 f 4.152 m/s波長： 4.152 10 5 m透入深度：丄 6.6 10 6 m波阻抗：ZW(1 j) 2.61 10 7(1 jf 2.61 10 3(1 j)

24、當(dāng)f 10 GHz時， 1.044 1081，則銅看作良導(dǎo)體，衰減常數(shù)和相位常數(shù)分別為.-15.132、. f 15.132 105相速：Vp 4.152 10 4, f 41.52 m/s波長：224.152 10 6 m透入深度：丄6.6 10 7 m波阻抗：Zw 廠(1 j) 2.61 10 7(1jf 2.61 10 2(1 j)14、海水的電導(dǎo)率4S/m， r 81， r 1，求頻率為10 kHz、10 MHz和10 GHz時電磁波的波長、衰減常數(shù)和波阻抗。解:已知0丨109 F/m 和0 410 7H/m，那么109。36f 9(1)當(dāng)f10 kHz 時，1 8109 -1051，則海水可看作良導(dǎo)體， 衰減常數(shù) 和f 99相位常數(shù)分別為23.9710 3,f 0.397相速：vp 1.58210 f1.582105波長： 15.83 m 透入深度： -2.52 m波阻抗：Zw. 2 (1 j) 0.31610 3(1 j)._f 0.099(1 j)當(dāng)f 10MHz時，和相位常數(shù) 分別為8 10288.891，則海水也可近似看作良導(dǎo)體