微積分(上)復習資料_公式

1、微積分(上)復習資料一一公式 1函數 11初等函數： 常量函數y=c(c) 無函數y=H(a) 指數函數y=0(aO,aO) 對數函數唾耳0,曲0) 三角函數 M = sin珅 |y = cos% y = tan 無 y = cotx y = arccos 尢=cos 一 丨無 一 1 反三角函數A = arcsin x = s】n 兀| y = arctan x = tan -1 x y = arccot x = cot1 x 12三角函數公式 1 兩角和公式 sui(A + B) = sui A cos B+cos A sin B sin(A -B) = sm A cos B - cos

2、A sin B cos(力 + 3) = cos A cos B - sin A sm B cos(A -B) = cos A cos B + sin 4 sm B tan(A 一 B)= tail A - tail B 1 +tan A tan B tan(A + B) = tan A + ianB 1-tan A tan cg4 + B)=coSc?！?1 cot B + cot 4 cot(A-=CoMcOt + 1 cot B-cotA 2 二倍角公式 sm2A = 2smAcos A cos2A = cos2 A-sm2 A = l-2sm2 A = 2cos2 A-l tan 2A

3、 = 2 tan A 1-tan2 A 3半角公式 A cos= 2 11 + cosA V2- A /I-cos A sin A tan = J= 2 v 1 + cos A 1 + cos A A /1 + cos A sin A cot= J= 2 v 1-cosA 1 - cos A 4和差化積公式 suirt + sin/? = 2sm a + b I- cos a-b F sind-sinb = 2cos sm a-b F cosa + cosb = 2cos a + ba-b cos 2 2 cosa-cosb = -2sin a + b T a-b sin 2 tan 6/+

4、tan/?= Sill ( + /?) cos acosb 5積化和差公式 sin o sin b = 一 丄cos (a + b)-cos (o 一 b) cosacosb = cos(a + b) + cos(d-b) sin a cos b =丄sm (a + b) + sm (a-/?) cos a sin b =丄sm ( + /?)- sin (a 一 b) COS Cl = 1+tan2 2 6萬能公式 2 tan 2 sina = 1 +tan2 2 7平方關系 SUl2 x+cos2 X=1 sec2 x-tan2 x = l esc2 x-cov x = l 8倒數關系 t

5、aiixcotx = l secx cosx = l C5cx-smx = l 9商數關系 sin x tanx = cosx cosx cot x = sm x 【特殊角的三角函數值】 -兀 一 3 - n si X 2 cos % X 2 tan x cot % 不存在 不存在 0不存在 2極限 21數列極限四則運算 若數列電i與囤為收斂數列, 則招泄如1也如也是收斂數列，且 lim (an 土 bj = lim an 土 lim bu n-00；l-0071T8 lim (a“ /J=lim an - lim bn rwco71T871T8 ) 2.2函數極限運算 定理1四則運算法則 (

6、1) lim f(x) 9(尢)=lim /(%) lim g(x) = AB XXqX-XoXT lim /(%) - (x) = lim /(x) - lim g(x) = A- B XXqXTXXq lim r(x) lim 竺= .x-*x0 A :M g(K) lim g(x) B 癥0） x-xou KF。 (B 定理2復合函數極限 ，反三Z在囤有定義 limfu) = u0 B ifo 設函數IE三巫回是函數M = e（x）L 亙的復合函數。 limfg(x) =/(u0) XT lim(p(x) = u0 因為,所以定理結論也也可寫成 mfg) *伽 g) lim /(x) 推

7、論3若卜%|存在,C為常數，則 lim “(%) = C lim f (x) x-Xqx-x0 lim /(x) 推論4若卜%|存在,n為正整數，則 Zin? |/(%)：fl= limf(x)n X-XoXFo 23常用極限 lim亦=1 TOC limaictanx = ttr2 lull arc tan x = tty2limarc cotx = 0 AT” liin aic cot x = A-X liin ex = 8 耳一48 lull xv = 1 x-0* lull e r = 0 血嚴*+心嚴+% 5狀+“嚴+ 仏n = m bo 0n m （系數不為0的情況） A-x 2.

8、4常用曰時的等價無窮小 sin x兀| larcsin %x| tan xx| I arctan xx ， In (1 +兀)瑋| 乂 _ 1才| 1 _ cos兀 gx- 1-xln a (1 + 無) 一 1 處 3導數 31導數的四則運算法則 (iw) = u “ + 叫(Cu) = Cu|, 推廣|(uvw) = uPw + izi/vv + umv 反函數導數：w =劇或陡二吩 I； |dy _ dy du 復合函數導數：V=廠包）+ 0（x）1或肩=亦詞（鏈式法則） 3.2基本導數公式 3.3高階導數的運算法則 Q2*ln0* (13)(arcsmx) = 丁 y/1-X2 Q4)

9、(arccosx)=/ yjl-x2 t (15)( arctan x) =7 1 + . Q6)(aiccotx)= 1 + JT （4）論（對立創(chuàng)心心嚴 k=0 3.4基本初等函數的n階導數公式 兀1 2丿 cos (ox+ b) = a cos ax + b + n 1 ax + b (w)t 19 代(1)! (ax+b)n (7) ln(ar + /?)(n)=(-l) 5微分 5.1微分的四則運算 根據與導數的關系，所以與導數相同 5.2微分的近似計算中的應用 由函數增量與微分的關系by =廣（）朋+ “ 加二dy + “ 匈，其中叵回時 。叫 當畫1很小時，有匝三亟，閔此+ %）

10、= f（%） + f （%）%或當卜=無o 時有|心）Q 0）+ f （無0）（尢一諄 令匹日,得下列函數在原點附近的近似公式：卜x a tan X in咒=班 5.3微分公式與微分運算法則 (l)d(c) = O (3) d (sill x) = cos xdx (4) d (cos x) = - sill xdx d (tan x) = sec2 xdx d (cot x) = - esc2 xdx (7) d (sec x) = sec x- tail xdx (8) d (esc x) = 一 esc x cot xdx d ex = exdx 5.4微分運算法則 (1) d (u v

11、) = du dv d (z) = vdu + udv vdu 一 udv d- J lv； V d(cu) = cdu 5.5幾種常見的微分方程（課外知識） i可分離述的微分方程：牛=/G)g(y)，|久(x)&(y)加+Z：(x)g2(y)心=0 2. 齊次微分方程：=/(* 3. -般性非齊次微分方程：字+(x)y = g) 、=汁 g | Q(x)ePx / 1 dx = arcsni x + c yll-x2 J cscMx = ln|cscx - 13、 L dx = arc taiix + c 1 + jr X-X 23、shxdx = chx+c其中shx = 一-一為雙曲正弦函數（課外知識） 24. chxdx=shx + c其中chx = 一-一 為雙曲余弦函數（課外知識） &2下列常用湊微分公式 85分部積分法公式 形如J xneaxdx ,令a =疋,dv =嚴dx 形如Jf sinxdx令|=譏 dv = smxdx 形如 J cos xdx |令* =司,|dv = cosa 形如 | xn arctaii xdx ,令 u = arcta