第八屆華杯賽決賽二試試題及解答

1、第八屆華杯賽決賽二試試題及解答1. 計算：F+2?滬+M 少+畢 2000a +200f11+1x22x33x42000x20012. 已知1+2+3+n的和的個位數(shù)為3,十位數(shù)為0,百位數(shù)不為0。求 n的最小值。3.如右圖所示的四邊形 ABCD中，/ A二/ C=45 , / ABC=105 , AB=CD=15厘米，連接對角線BQ求四邊形ABCD勺面積。4.四個不同的三位數(shù)，它們的百位數(shù)字相同，并且其中有三個數(shù)能整除這四個數(shù)的和。求這四個數(shù)。5.10個隊進行循環(huán)賽，勝隊得2分，負隊得1分，無平局。其中有兩隊 并列第一，兩隊并列第三，有兩個隊并列第五，以后無并列情況。請計 算出各隊得分.6.

2、 n張卡片，每張上寫一個不為0的自然數(shù)，彼此不同，小李和另外(n-1) 個小朋友做游戲，每人任意取一張，共取 n次，每次各人記下自己取得 的數(shù)字后，仍將卡片放回，最后各人計算自己取得的數(shù)字和作為得分，并按得分多少排名。已知小李n次取得的數(shù)字各不相同，其余的小朋友的得分彼此不相同，他們（不包括小李）得分之和為2001。問n等于多少？小李最高能是第幾名？20001. 4000+二一.2. n的最小值為37.3. 四邊形ABCD勺面積是112.5平方厘米.4.這四個數(shù)是108, 1仃，135, 180.5略6. n= 4,小李最高是第二名.1223342001 + 20002000 20011 .解

3、：原式=(22 ,I3 (32 J22 (42丄羅+(20012 *20002 +11x21x22x32x3丿3x4j12000x20012000 x 2001J因為上式中分母為12000的同分母的兩個分數(shù)之和，都是 2,所以原2000 2000式=2X2000+工:-=4000 +二-.2.解：因為1+ 2 + 3+ n =+1)2 ，要使個位為3, nx( n+1)的個位應為6,在1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11這些連續(xù)數(shù)中，兩個連續(xù)數(shù)個位的積為6的，只有2X3= 6, 7X8= 56,考慮到百位不 為0, n的值可能為17, 22, 27, 32, 37

4、, 42,，從小到大試算，1 刃x蓋+ 2+ 3+ 37=1= 7O3.n的最小值為37.3 .解：將厶DCB切下，令DC與AB重合，拼接到厶ABD上，得到四邊形AEBD因為/ ABE=/ DC= 45，所以，BE/ AD 又 AE= DB 所以四邊形AEBD是等腰梯形.再作AF丄BE交BE于F,并將 AEF切下，令AE 與BD重合，拼接成四邊形 AFBD則AFBD是正方形，它的對角線 AB=15x1515厘米，所以這個正方形的面積，也即原圖形的面積是1 = 112.5平方厘米4 .解：設(shè)這4個數(shù)分別為A B、C、D,和為S, S能被A B C整除, 設(shè) S- A=匚，S+ B=匕，S+ C=

5、 ，并設(shè) Av Bv C,貝 V 5 * 1 (匸、-1、上均為整數(shù)）.下面我們說明W6,3.如果5 6,設(shè)為7, 即設(shè) S-A=7,A=一S,B+C+D=S A=一S,2B、C D中至少有一個不小于S,這與A、B、C、D的百位數(shù)字相同相1矛盾，所以匚W6;同樣地，如果-V3,設(shè)為2,即C= S,則A+ B1 + D= S C= 1 S, A、B、D中至少有一個不大于S,也與A B C、D 的百位數(shù)字相同相矛盾，所以3.又因為A、B、C、D不相同，即匚、只能是 5、4、3 或 6、5、4,但當 6= 6、二=5、1= 4 時，DS S_ S 23=S（ A+ B+ C）= S（+ 1 + -）

6、=二 S,也與 A B、C、D 的百 位數(shù)字相同相矛盾，所以，二、1、上只能是5、4、3.此時，S必為3X 4X 5= 60的倍數(shù).設(shè) S= 60K，貝U A= 12K, B= 15K, C= 20K, D= 13K,但 A B、C、D為百位數(shù)字相同的三位數(shù)，故 K= 9,即A= 108, B= 135, C= 180, D= 117. 本題有唯一解.5.解：10個隊進行循環(huán)賽，每隊打9場，共賽45場.每場3 分,共45X3 =135分.因為有兩個第一名，最高得分最多為仃分，最低得分至少為9分，如果按兩個仃分，兩個16分，兩個15分，其余分別為9、10、11、12分計算，共138分，將第二名改

7、為15分，第三名改為14分，第七名改為 13分，貝U 17X2+ 15X2+ 14X2+ 13+11 + 10+ 9= 135;當然也可能是 16X 2+ 15X 2+ 14X 2+ 13 +12+11 + 9= 135;第一種情況是可能的，如：123456789101121111111221111111131222111114221211111522112211162222111117222212111822222221192222222211022222222217171515141413111096.解：設(shè)卡片上的數(shù)字為、：、【、,每發(fā)一輪卡片，所有小 朋友（包括小李）的得分和是1 +二+ 1 + 5 ,取n次后，所有小 朋友（包括小李）的得分和是 nX（ 1 +；+ ），因為小李 n次取得的數(shù)字各不相同，小李的得分剛好等于+ ：+ +, n1 個小朋友的得分和為（n 1）X（4 + ： + I +、） = 2001 = 3X23X29.如果n 1 = 23,則n = 24,此時即便卡片上的數(shù)即便是取最 小的數(shù)，即從1取到24, n 1個小朋友的得分也應為 23X( 1 +2 + 3 + 24)= 69002001，與題設(shè)矛盾.故n 1只能取3,所以n= 4, 】+：+、= 23X29= 667.即小李的得分是 667，因為3X66