儲油罐的變位識別與罐容表標定數學建模論文

1、2010高教社杯全國大學生數學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從a/b/c/d中選擇一項填寫）： a 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設置

2、報名號的話）： 所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜?參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 教練組 日期： 2010 年 9 月 13 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2010高教社杯全國大學生數學建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：儲油罐的變位識別與罐容表標定摘要通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，通過預先標定好

3、的罐容表，可得到罐內油位高度與儲油量的變化關系。但許多儲油罐使用一段時間以后，由于地基變形等原因，使罐體的位置發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉，從而導致罐容表發(fā)生改變。按照有關規(guī)定，需要定期對罐容表進行重新標定。因而建立儲油罐變位后儲油量與油高及變位參數（縱向傾斜和橫向偏轉）之間的一般關系，對罐體儲油量的真實計算及加油站的經營管理具有重要意義。對于問題一，本文先建立沒有變位時的罐體儲油量和油位高度的關系，將計算值與實際值進行比較，進行圖形仿真和誤差分析，從而檢驗模型的可靠性和準確性。對于發(fā)生縱向傾斜后的橢圓型儲油罐，在油液面低于柱體右端最低點和高于左端最高點，及兩者之間，儲油量與油位高度有不同的關系式，

4、因而我們分了三段積分處理，得出儲油量與油位高度的函數關系式。用建立好的函數關系式計算出給定油位探針監(jiān)測高度的儲油量，和實際儲油量進行圖像曲線對比，并進行誤差分析，從而驗證建立的函數關系式的準確性。在用建立好的模型對變位和未變位的兩種情況的儲油量隨探針監(jiān)測油位高度變化的曲線進行對比并列表分析，從而得出罐體變位后同一監(jiān)測高度，變位后罐容體的實際儲油量比原先罐容表上標定的值小，并計算出罐體變位后油位高度間隔1cm的罐容表標定值。對于問題二，本文利用幾何關系，將橫向偏轉修正，以消除其對儲油量的影響，將問題歸結為只需要計算縱向偏轉對儲油量的影響，將儲油量的計算分成三部分：圓柱體和左右球冠體，圓柱體可直接

5、積分得到，球冠體通過柱面坐標變換，將二重積分轉換為定積分，然后利用微分中值定理近似計算該定積分。三者相加得到整個儲油量體積，且和問題一一樣分為油液面低于圓柱體部分右端最低點和高于左端最高點，及兩者之間三段，再整合為一個函數關系式。得出的計算值與實際數據比較，進行誤差分析，從而用線性擬合的方法對函數關系式進行修正使其與實際值的誤差更小。最后利用循環(huán)迭代并結合矩形套定理，逐步縮小范圍，以確定偏轉角，以使誤差在一定精度范圍內符合實際值，最后將得到的偏轉角，代入建立的函數關系式，用以模擬檢驗，得出結果與實際相符。之后我們給出了油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。最后，本文對模型進行了進一步的討論和改

6、進，對問題二建議制定出不同的對應儲油量體積增長的拐點的表，只要根據實際數據利用二階差分近似求得拐點位置，只需查表即可得到。關鍵字：罐容體儲油量 分段積分 微分中值定理 線性擬合 循環(huán)迭代一、 問題的背景通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內油位高度等數據，通過預先標定的罐容表（即罐內油位高度與儲油量的對應關系）進行實時計算，以得到罐內油位高度和儲油量的變化情況。許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發(fā)生改變。按照有關規(guī)定，需

7、要定期對罐容表進行重新標定。二、 問題的提出與重述 由于地基變形等原因，使罐體的位置發(fā)生變位，從而導致罐容表不能顯示實際的儲油量，罐容表誤差過大而不能正常使用，造成加油站油品虛假盈虧。這樣，就給加油站經營管理帶來一些問題。如造成加油站虛假盈虧，無法對油品數量進行正確的監(jiān)控和管理，以及年底盤底或新舊站長變更時，無法進行正常的油品庫存交接。因而需要對罐容表進行重新標定。圖1是一種典型的儲油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖3是罐體橫向偏轉變位的截面示意圖。請你們用數學建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題。 （1）為了掌握罐體變位后對

8、罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為的縱向變位兩種情況做了實驗，實驗數據如附件1所示。請建立數學模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。（2）對于圖1所示的實際儲油罐，試建立罐體變位后標定罐容表的數學模型，即罐內儲油量與油位高度及變位參數（縱向傾斜角度a和橫向偏轉角度b ）之間的一般關系。請利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數據（附件2），根據你們所建立的數學模型確定變位參數，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。進一步利用附件2中的實際檢測數據來分析檢驗你們模型的正確性與

9、方法的可靠性。 圖1 儲油罐正面示意圖 圖2 儲油罐縱向傾斜變位后示意圖圖3 儲油罐截面示意圖（b）橫向偏轉傾斜后正截面圖地平線垂直線油位探針（a）無偏轉傾斜的正截面圖油位探針油位探測裝置3m 圖3 儲油罐界面示意圖 圖4 小橢圓油罐截面示意圖三、 基本假設1. 假設油浮子始終處于水平狀態(tài)，并且油浮子的體積不記，視為質點；2. 假設油位探針是固定的，不發(fā)生任何轉動；3. 忽略外界因素對儲油罐內部的影響并排除儲油罐的機械故障；4. 假設油位不受溫度、壓力等因素的影響；5. 假設油位探針檢測液位控制靈敏，罐容表標定無誤；6. 假設儲油罐容器壁光滑平整，沒有凹凸現(xiàn)象；7. 忽略儲油罐內各器件所占的體

10、積。四、 模型的主要符號變量說明問題一的主要符號說明：v：無變位時橢圓形儲油罐的儲油量；v1：橢圓型儲油罐變位后，底部部分覆蓋時的儲油量；v2：橢圓型儲油罐變位后，底部覆蓋頂部未覆蓋時的儲油量；v3：橢圓型儲油罐變位后，底部覆蓋頂部部分覆蓋時的儲油量；：橢圓型儲油罐的總體積；：探針監(jiān)測到的油位高度；：橢圓型儲油罐變位后，底部部分覆蓋時，油位與底部的相交線離左端的距離；：橢圓型儲油罐變位后，頂部部分覆蓋時，油位與頂部的相交線離左端的距離；問題二的主要符號說明： ：儲油罐總體積 ：油罐圓柱體部分的體積 ：左端球冠體體積 ：右端球冠體體積 ：油位探針監(jiān)測到的高度 ：橫向偏轉修正后的高度五、 問題的分

11、析題目中的第一問要求我們建立數學模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。我們首先建立了無變位時小橢圓形儲油量與油位高度的一般關系函數式，并用附件1中的數據檢驗模型的正確性，由此得到無變位情況下理論值與實際值的相對誤差a。由于小橢圓型儲油罐縱向變形后，在油量少到低于油位探針最底端時和油量多于探針與橢圓柱體頂部的交點時，不能寫出儲油量與油位高度對應函數關系式，對這兩種情況不做出具體的對應關系式?？v向變位后，在油液面低于柱體右端最低點和高于左端最高點，及兩者之間，儲油量與油位高度有不同的關系式，因而我們分了三段處理，得出儲油量與油位高度的函數關系式。將油

12、量理論值和實際值比較而得到相對誤差b，并和誤差a進行比較，檢驗建立的函數關系式的正確性，并用所得的理論計算公式對變位前后儲油量同一高度儲油量進行比較，從而得出罐體變位后對罐容表的影響以及油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。第二問要求我們對圖1所示的罐體建立變位后標定罐容表的數學模型，得出罐內儲油量與油位高度及變位參數（縱向傾斜角度和橫向偏轉角度）之間的一般關系式，并根據附件2的實際檢測數據，用所建立的模型確定變位參數。由于橫向偏轉不會引起油液面的變化，只會影響油位探針測得的油位高度，所以我們對縱橫向變位后的標定高度轉換成只有縱向變位時的油位標定高度，設為發(fā)生橫向偏轉后的油位探針測得的高度，為轉

13、換成只有縱向偏轉的油位探針測得的高度，由于探針必經過探針所在圓柱橫截面的圓心，如圖5，有：， 圖 5所以把研究儲油量與油位高度及參數，的函數關系轉變?yōu)橹谎芯績τ土颗c油位高度及參數的關系。則研究方法和問題一類似，也要分為三段，油液面低于圓柱體部分右端最低點，油液面高于圓柱體部分左端最高點 和介于兩者之間的三段儲油量和油位高度的關系式。其中對圓柱體部分和左右球冠體分別積分求油量體積，三部分油量體積相加得出三段儲油量和油位高度的關系式，綜合得出儲油量與油位高度及變位參數的關系式，得出計算值，并與實際值比較，進行誤差分析。然后運用線性擬合的方法對v進行修正，再利用附件2中的數據，用二分法原理，對，劃一

14、個比較寬的范圍，結合閉矩形套定理編程，求出附件2的數據所對應的參數，從而得出關系式。由此可求出儲油量的理論值，結合實際數據進行誤差分析，驗證函數關系式的可靠性，從而給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。 六、 問題一的模型建立與求解xxyxya-ab-b圖6由于對于特定的橢圓型儲油罐，當其所處狀態(tài)(變位或未變位)確定時，對于進油和出油的研究都一樣，所以本問題只用進油這一情況進行分析。研究對于圖4的小橢圓型儲油罐，我們首先建立無變位時罐內儲油量與油位高度的函數關系式。建立如圖6所示的坐標系，設橢圓的長半軸為，短半軸為b,得橢圓方程：，則：，設儲油量的體積為v,橢圓柱體的長度為l，油

15、位高度為h，則：其中a=1.78/2=0.89m，b=1.2/2=0.6m，l=2.45m。把附件1工作表“無 變位進油”中的油位高度一欄的高度值代入式，計算出儲油量的理論值，計算matlab程序見附件一（part1），實際值與理論計算值隨油位高度變化的圖像見圖7。從圖7可以看出實際值和理論計算值的曲線吻合的比較好。又將對應高度的實際值與計算值列入excel表中并計算理論計算的儲油量與實際儲油量的差值，并算出理論計算的儲油量對實際儲油量的相對誤差。其計算結果見附件二（sheet1），現(xiàn)截取其中十行見下表一。從附件二(sheet1)中的計算結果可以看出，對于同一油面高度，理論計算的儲油量對實際儲

16、油量的相對誤差=，其相對誤差的最大值為3.4917316%，最小值為3.486559%，總體平均誤差為3.4883831%,近似為3.488%，說明無變位情況下計算值和實際值的相差比例可以看成常數。圖和表的結果說明了理論公式的科學性，同時也說明了積分求理論公式這種方法的合理性。從而得出了未變位時小橢圓罐的罐容表每隔1cm的標定值，程序見附件一（part2），結果見附件二(sheet2)，表二給出了罐容表的部分理論標定值。而計算所得的相對誤差結果可以為橢圓型儲油罐變位后罐容表的重新標定提供參考依據。圖7表一油位高度/mm理論計算儲油量/l實際儲油量/l理論值-實際值/l（理論值-實際值）/實際值

17、159.02322.882631210.88260.034880128176.14374.63336212.6330.03489779192.59426.364941214.36490.034866262208.50478.131846216.13180.034917316223.93529.851951217.85190.034866992238.97581.605856219.60580.034885765253.66633.35261221.3520.034888889268.04685.08166223.0810.034865559282.16736.846871224.84680.0

18、34897191296.03788.577776226.57770.034878871表二油位高度/m理論計算儲油量/l油位高度/m理論計算儲油量/l油位高度/m理論計算儲油量/l油位高度/m理論計算儲油量/l0.1163.59 0.41199.31 0.72489.15 13659.88 0.2450.27 0.51621.00 0.82910.84 1.13946.55 0.3803.54 0.62055.07 0.93306.61 1.24110.15 橢球型儲油罐發(fā)生傾角為=4.10縱向變位后，在油液面低于柱體右端最低點和高于左端最高點，及兩者之間，儲油量與油位高度有不同的關系式，因而

19、我們分了三段處理，得出儲油量與油位高度的函數關系式（坐標系見圖8）：圖8 由以上數據可得，(1).在油液面低于柱體右端最低點時，設z0為柱體底部部分覆蓋時，油位與底部的相交線離柱體左端的距離，由題中圖4可知z00.4m時，油位探針不能檢測到油，所以此時油位探針檢測到的油位高度h值為：h=0。又柱體長度l=2.45m， 所以對于 0.4 z02.45，對于z處的油截面有，由此導出： 即：（0.4 z00.4m時，油位探針不能監(jiān)測到儲油量的值，此處不予考慮，所以z10.4m。因而有： （為油位離柱體頂部的距離），則：對于z處的油截面：（為z處油位離柱體頂部的距離），所以可得y的積分下限為 ： 由上

20、可得此時儲油量的表達式：式中為橢圓柱體的總體積，即：所以此處0z10.4, h1.2,即1.1713mh1.2m.以上將橢圓柱體傾斜縱向變位時儲油量與油位高度的關系分為三段進行考慮,得出了儲油量與測得的油位高度的關系式、。而題目中附件1的工作表“傾斜變位進油”油位高度一欄油位高度的范圍為：，工作表“傾斜變位出油”油位高度一欄油位高度的范圍為：，所以對附件1中的數據只需用函數關系式：（0.1469mh1.1713m）。首先建立對應于式的體積積分函數v=tuo（h,），程序見附件三。把附件一工作表“傾斜變位進油”油位高度一欄的數據代入公式計算，得出儲油量的理論計算值，其計算的matlab程序見附件

21、四。在加油過程中，理論值和實際值隨高度變化的圖像見圖9。從圖9可以看出理論計算值和實際值的吻合效果很好。同時，將對應高度的實際值與計算值列入excel表中并并計算理論計算的儲油量與實際儲油量的差值，并算出理論計算的儲油量對實際儲油量的相對誤差。其計算結果見附件五，現(xiàn)截取其中一部分，見下表三。從下表三和附件五知相對誤差有一個波動范圍，相對誤差的最大值為4.587221%，最小值為1.2719502%，平均誤差值為3.2303292%。此處的平均誤差與橢圓型儲油罐無變位時的平均誤差值3.4883831%很接近，這說明從整體上看，理論計算值與實際值產生的誤差是一樣的，即產生誤差的原因是一樣的?？v向變

22、位后，從附件五的誤差數值和油位高度可以看出誤差數值隨油位高度呈現(xiàn)出先升后降的趨勢，這可能是由于橢圓型儲油罐發(fā)生縱向變位后，沿z軸各處液位深度不一致及油罐壁厚各處不完全均勻引起的。圖9表三油位高度/mm理論計算儲油量/l實際儲油量/l理論計算值-實際值（理論計算值-實際值）/實際值411.29999.1649962.8636.30490.037705274423.451047.4491012.8634.5890.034149833438.331107.1651062.8644.30480.041684512450.541156.6511112.8643.79070.039349694463.91

23、211.2631162.8648.40330.041624357892.923033.332962.7370.60040.023829509904.343078.763012.7366.03020.021917065917.343129.9493062.7367.21910.021947446929.93178.843112.7366.11030.021238688941.423223.1653162.7360.43530.019108587954.63273.2333212.7360.50320.018832333968.093323.7243262.7360.99420.018694222

24、980.143368.1413312.7355.4110.016726688從以上對結果的分析可以知道，以上建立的函數關系式可以用來對罐體變位后儲油量的計算。可用以上公式、對罐容體進行重新標定。在時，對變位和沒有變位時同一高度的儲油量比較的圖10，matlab程見附件六。由圖10可以看出變后油位探針監(jiān)測同一油位高度時，變位前的儲油量大于變位后的儲油量。所以需要對罐容表進行重新標定。首先建立對應于式的體積積分函數v1=tuo1（h,）（見附件七）和式的體積積分函數v3=tuo3（h,）（見附件八），再分別編寫程序算出對應的v1值，0.1469mh1.1713m對應的v2值（v2和附件三中的v等價

25、），1.1713mh1.2m.對應的v3的值，程序見附件九。從而得出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值，標定值見表四。綜合圖形和表格可以看出，在誤差允許的范圍內，該模型計算得到的結果具有可行性，進而可以說明該模型是正確可靠的。從而問題一得到解決。表四油位高度/m儲油量/l油位高度/m儲油量/l油位高度/m儲油量/l油位高度/m儲油量/l0.001.67440.30595.24520.601798.5240.903072.4270.013.5310.31630.14620.611841.7970.913112.0010.026.26350.32665.58080.621885.1310

26、.923151.2340.039.97480.33701.52560.631928.5130.933190.110.0414.75630.34737.95840.641971.9310.943228.6120.0520.69080.35774.85770.652015.3720.953266.7220.0627.85420.36812.2030.662058.8240.963304.4210.0736.31630.37849.97470.672102.2750.973341.6910.0846.14240.38888.15370.682145.7130.983378.5110.0957.393

27、50.39926.72170.692189.1260.993414.8620.1070.1270.40965.66080.702232.51.003450.720.1184.39680.411004.9540.712275.8241.013486.0640.12100.25410.421044.5840.722319.0861.023520.870.13117.74750.431084.5350.732362.2731.033555.1140.14136.9230.441124.7910.742405.3721.043588.7690.15157.81840.451165.3360.75244

28、8.3721.053621.8080.16180.25910.461206.1550.762491.2591.063654.20.17203.99940.471247.2340.772534.021.073685.9150.18228.90660.481288.5570.782576.6431.083716.9180.19254.88490.491330.1110.792619.1151.093747.1710.20281.85770.501371.8810.802661.4231.103776.6360.21309.76080.511413.8540.812703.5521.113805.2

29、660.22338.53870.521456.0150.822745.4911.123833.0130.23368.14260.531498.3520.832787.2251.133859.8190.24398.52850.541540.8510.842828.741.143885.6180.25429.65670.551583.4990.852870.0221.153910.3320.26461.49060.561626.2830.862911.0571.163933.8590.27493.99670.571669.190.872951.831.173956.0560.28527.14380

30、.581712.2080.882992.3261.183976.510.29560.90240.591755.3230.893032.5311.193995.3921.204012.599圖10七、 問題二的模型建立與求解1體積公式推導由以上問題分析式可得：發(fā)生縱向偏轉和橫向偏轉時的油位探針監(jiān)測高度h0轉換為只有縱向變位時的油位探針監(jiān)測高度h，有： 則以下只需建立只有縱向變位時儲油量與油位高度的數學模型?？v向偏轉下儲油量與油位高度的關系式建立如下： 圖11如圖11（儲油罐發(fā)生變位后的等價示意圖）所示， 表示油位探針與圓柱體左端面的距離，表示油位探針與圓柱體右端面的距離，h1，h2分別表示液面與

31、圓柱體左端面、右端面的交線到圓柱體底部的距離，則有： 6由圖1和題目中的數據可得：，r為球冠體的半徑，r為圓柱體橫截面的半徑，由r=1.5求得r=1.625m。圖11中為油液面與左球冠體的交線和油液面與圓柱體左端面的交線的高度差，設d為球冠體球心到對應圓柱體端面的距離，則d=r-1=0.625m，由勾股定理：，所以可以得到和的關系式。同理，可得到和的關系式：我們把實際儲油罐體積分為三部分計算，在問題的分析中已有說明，即為中間圓柱體、左球冠體、右球冠體體積的計算。（1）中間圓柱體體積的計算：由圖12所示的油面和圓柱體左右端面都相交的情況簡單容易計算體積，所以先計算這種情況下的體積。如下所示。其他

32、較復雜的情況油面低于圓柱體右端面最低點和油液面高于圓柱體左端面最高點時的情況，在計算總體積時計算。 圖12 圖13油面法向量為,且油面過點,由幾何關系（如圖13）有,故油面方程為:如圖13，分別為左、右端面的y軸坐標值，又，則可得圓柱體部分儲油量為：，記為。（2）左球冠體、右球冠體體積的計算。為了方便計算左球冠體、右球冠體儲油的體積，如圖14，我們把這每一側的球冠體的體積用一平行于平面的截面切割成兩部分，且兩截面與圓柱體底部的距離分別為h1，h2。這兩部分體積我們分別形象地稱之為、。首先計算下圖14左球冠體陰影部分的體積的公式: 圖14 圖15由幾何關系有（圖15）:又斜面過點,斜面的單位法向

33、量為，故斜面方程為: 圖16 經柱面坐標變換,代入方程得 在z坐標確定時,由圖16中幾何關系得: ，為柱面坐標下的積分上限；，為的積分下限利用對稱性, 由于縱向偏角不會太大,故很小,為了便于計算，利用微分中值定理做近似計算有:上述結果記為:同理可得右球冠體的：近似為：記為，且等價于，所以程序里用代替，以便于編程。圖19然后計算下圖17的陰影部分體積,由文獻容器內存留液體體積與液位高度函數關系3有: (本題中為1m,為3m)，c為球冠體的厚度，d為圓柱體的底面直徑，h油罐體水平時的油面高度。最后根據上述兩半部分公式,對儲油罐兩端球冠體進行平行罐體分割后再計算儲油罐兩端球狀體的體積:左球冠體體積（

34、圖18）：，記為 (因為也由唯一確定)右球冠體體積（圖19）： ，記為 圖17 圖18從上面可以看出中間段、左球冠狀、右球冠狀儲油體積計算的表達式都可以實現(xiàn)。（3）總體積的計算經過問題分析，可以明顯地得到油面和實際儲油罐的對應函數關系分成如下圖20所示的三種情況:圖20 情形i（圖21）: 圖21：由圖中幾何關系有:積分下限，；積分上限，,且，即為油液面與罐體頂部交線所在位置到圓柱體左端面的距離。即: :公式不變化,情形ii:所有,同原公式帶入情形iii（圖22）: 由幾何關系,積分上限為：:公式不變化, 圖22 : 為0綜合以上三種情況可得：,2體積函數的修正利用以上公式用matlab計算體

35、積，由于油罐開始標記時并未發(fā)生偏轉（見題目的附件2），因此可認為顯示高度與顯示體積即為兩種偏轉角皆為0時的對應值。將油位高度代入理論公式，并與實際值進行比較，計算程序見附件十，得出理論儲油量與實際儲油量的比較圖，見圖23：圖23 圖23中紅線為計算值，藍線為實際值。從圖中可以看出兩者有誤差，誤差來源可能是在計算體積中應用微分中值定理產生的，設這一誤差為。因此對計算函數進行平移修正為： （單位：m3）其中為待定系數。為了求得該系數，則原公式變?yōu)椋?，則y為線性函數。在無變位情況下，將代入各部分儲油量體積計算公式，從而得出y值，再利用matlab中的polyfit函數對y與擬合，從而得到，程序見附

36、件十四。再將油位高度代入修正后的理論公式，并與實際值進行比較，得出理論儲油量與實際儲油量的比較圖，見圖24： 圖24從圖24可以看出修正后的函數與實際數據吻合得很好，因而修正后的計算公式可以用來確定變位罐容體的變位參數和罐容表值的重新標定。3偏轉角的計算簡記前述體積計算公式為：。利用二分法的原理，對平面劃一范圍不斷四等份搜索偏轉角。具體算法如下：（1） 取題目中的附件2中的一組油高，記為。對應累計出油為。又在理論上，從到的累計出油為： 。則總誤差為； （2） 取定區(qū)域為，四等份，取每一小區(qū)域的中點 ，計算。（3） 比較的大小，把總誤差最小的點所在的小區(qū)域的四個頂點賦給，返回（2）繼續(xù)計算直到總

37、誤差達到足夠的精度停止。在以上算法中，記步驟（3）第j次重復得到的區(qū)域為，必有，邊長以的速度收斂到0，由閉矩形套定理必定能收斂到一個點。利用附件十六的搜索數據（由原題提供的附表二計算得到）及附件十一提供的程序，循環(huán)10次，計算得：，將，代入修正后的體積計算公式與附表二提供的數據比較如圖25、圖26，程序見附件十五。所有具體的數值與相對誤差見附件十二（一次性補充進油前的數據）與附件十三（一次性補充進油后的數據），部分數據如表五。從圖25、圖26可知理論計算值和實際數據幾乎重合。而從附件十二中可得相對誤差的最大值為4.05%,最小值為0，平均值為0.533%;附件十三可得相對誤差的最大值為4.61

38、%,最小值為0，平均值為0.591%。從圖和這些數據可得求得的兩偏轉角精度很高，可靠性和準確性很好，可以用來對題中附件2所對應的變位罐容體的罐容表的重新標定。因而，將，這組偏角代入校正后的罐容體儲油量計算公式，即可得出高度與體積的關系，程序見附件十七，罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值見表六。 圖 25（一次性補充進油前的數據。紅點為計算數據，藍叉為實際數據）圖26(一次性補充進油后的數據,紅點為計算數據，藍叉為實際數據)表五顯示高度(m)實際數據(l)計算數據(l)相對誤差2.6243149.09149.250.0010731772.620768.4568.7460.004324

39、3242.6103199.27198.040.006172532.606670.0570.7230.0096074232.5996136.36135.650.0052068062.5876232.74233.890.0049411362.582107.97109.190.0112994352.579649.2448.9810.0052599512.575480.6581.8250.0145691262.5695120.29119.040.0103915542.5641108.24106.860.0127494462.559883.4686.2260.0331416252.5485229.932

40、29.944.34915e-052.5396181.7180.520.0064942212.528238.52239.380.0036055682.5216131.79132.430.0048562112.5102238.33238.358.39173e-052.508242.9243.3040.0089468782.5001171.34170.960.002217813表六（變?yōu)楹蠊奕荼碇匦聵硕ㄖ担└叨?m)體積(l)高度(m)體積(l)高度(m)體積(l)0180331167042441220.1450131.1193042.1467590.21125.11.2219772.2493130

41、.32258.61.3247062.3517680.43730.71.4274772.4541050.55460.31.5302732.5563000.67401.81.6330812.6583300.79521.91.7358842.7601660.8117941.8386692.8617670.9141951.9414202.963078363976同時，為便于比較計算結果，這里給出無變位時儲油罐的罐容表每隔10cm的儲油量標定值，見表七，程序只需將附件十七中的都換成0即可。表七（無變位時罐容表理論計算值）高度(m)體積(l)高度(m)體積(l)高度(m)體積(l)0133.2811858

42、52461790.1693.151.1212532.1487690.217741.2239832.2512650.33192.61.3267582.3536470.44876.71.4295622.4558940.56780.31.5323822.5579830.68869.51.6352012.6598870.7111171.7380062.7615710.8134991.8407812.8629900.9159941.9435102.964071364630綜上圖形和表格可以看出，在同一油位高度下計算得到儲油罐的油量容積和實際儲油罐的油量容積吻合的很好，因此在誤差允許的范圍內，該模型計算得

43、到的結果具有一定的可行性，進而可以說明該模型是正確可靠的。八、模型的進一步討論和改進對問題一的改進：橢圓型儲油罐縱向變位后，從附件五的誤差數值和油位高度可以看出誤差數值隨油位高度呈現(xiàn)出先升后降的趨勢。雖然計算值和實際值的誤差很小，但為了計算更準確，更接近實際，我們對誤差隨監(jiān)測油位高度的變化進行了多項式擬合，發(fā)現(xiàn)三次擬合效果最好。擬合圖形和散點圖見圖27（散點為附件五中的（理論計算值-實際值）/實際值，藍線為擬合曲線），從圖中可以看出擬合效果很好。因而設誤差隨油位高度變化的函數關系式為。有理論計算函數關系式為：，又，為使矯正后的結果更接近實際值，因而可近似得到 （v理論-v矯正）/ v矯正=f(h),導出。由以上公式重新標定罐容表的值將更準確。 圖27對問題二的改進： 在前述模型建立的的函數后，對于問題（2）中求偏轉角度的解答是通過不斷迭代嘗試搜索，只能逐步逼近，方法上不夠簡潔，且需要計算機幫助。由于偏轉角的不同，導致罐體位置的變化，會影響油量進出與高度升降的速度，即關于有拐點位置。同時又有時的即為拐點。因此，我們可以改進偏轉角度的方法，以簡化尋找的難度。首先在偏轉角的一定范圍內計算不同高度的油的體積，在進行一次數值差分，再重復進行二次插分，用以代替二階導數，最小的點即為拐點。以建立偏轉