拉格朗日方程的應(yīng)用及舉例08講(20210103100943)

1、拉格朗日方程的應(yīng)用及舉例拉格朗日方程有以下幾個(gè)特點(diǎn)：（1）拉格朗日方程適用于完整系統(tǒng)，可以獲得數(shù)目最少的運(yùn)動(dòng)微分方程，即可以建立與自由度數(shù)目相同的n個(gè)方程，是一個(gè)包含 n個(gè)二階常微分方程組，方程組的階數(shù)為2n。求解這個(gè)方程組可得到以廣義坐標(biāo)描述的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程。（2）拉格朗日方程的形式具有不變性。對(duì)于任意坐標(biāo)具有統(tǒng)一的形式，即不隨坐標(biāo)的選取 而變化。特別是解題時(shí)有徑直的程序可循，應(yīng)用方便。（3 ）所有的理想約束的約束反力均不出現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)微分方程中。系統(tǒng)的約束條件愈多，這個(gè)特點(diǎn)帶來的便利越突出。（4）拉格朗日方程是以能量的觀點(diǎn)建立起來的方程，只含有表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和表征主動(dòng)力作用 的廣義力，避開了

2、力、速度、加速度等矢量的復(fù)雜運(yùn)算。（5）拉格朗日方程不但可以建立相對(duì)慣性系的運(yùn)動(dòng)，還可以直接建立相對(duì)非慣性系的動(dòng)力學(xué)方程，只要寫出的動(dòng)能是絕對(duì) 運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能即可，至于方程所描述的運(yùn)動(dòng)是對(duì)什么參考系的運(yùn)動(dòng)，則取決于所選的廣義坐 標(biāo)?？v觀拉格朗日方程，看出分析力學(xué)在牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)上，提出嚴(yán)密的分析方法，從描 述系統(tǒng)的位形到建立微分方程都帶有新的飛躍。我們還應(yīng)看到，雖然拉格朗日方法在理論 上和應(yīng)用上都有重要的價(jià)值，但是，牛頓力學(xué)的價(jià)值并未降低，特別是它的幾何直觀性和 規(guī)格化的方法使人樂于應(yīng)用，由于計(jì)算機(jī)的廣泛使用，牛頓一歐拉方法又有所發(fā)展。我們 將會(huì)看到，用拉格朗日方程求解，在獲得數(shù)量最少的運(yùn)動(dòng)微分方

3、程時(shí)，其求導(dǎo)過程有時(shí)過 于繁瑣，并有較多的耦合項(xiàng)。應(yīng)用拉格朗日方程建立動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，應(yīng)首先建立以廣義坐標(biāo) q和廣義速度q表示的動(dòng)能函數(shù)和廣義力 Q。為此，首先討論動(dòng)能的計(jì)算和廣義力的計(jì)算，在此基礎(chǔ)上，再討論拉 格朗日方程的應(yīng)用。一、動(dòng)能的計(jì)算對(duì)于系統(tǒng)的動(dòng)能，可以寫出關(guān)于廣義速度 q的齊次函數(shù)的表達(dá)式。在實(shí)際計(jì)算中，應(yīng)用 理論力學(xué)的有關(guān)知識(shí)就可以建立以廣義坐標(biāo)和廣義速度所表達(dá)的動(dòng)能函數(shù)。例1-1 已知質(zhì)量為m,半徑為r的均質(zhì)圓盤D， 沿OAB直角曲桿的AB段只滾不滑。圓盤的盤面和曲 桿均放置在水平面上。 已知曲桿以勻角速度 1繞通過 O點(diǎn)的鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求圓盤的動(dòng)能。解：取廣義坐標(biāo)x和，x為圓盤

4、與曲桿接觸點(diǎn)到 曲桿A點(diǎn)的距離， 為曲桿OAB的轉(zhuǎn)角， =1t。C的速度和相對(duì)于質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)應(yīng)用柯尼希定理求圓盤的動(dòng)能。為此，先求圓盤質(zhì)心系的角速度。若以曲桿 OAB為動(dòng)參考系，C為動(dòng)點(diǎn),r x,ex 1，c. x2X2再應(yīng)用剛體繞二平行軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合成方法,圓盤的角速度為i 1于是圓盤的動(dòng)能為1 m(x2x212)1 2mr4若將動(dòng)能表達(dá)式展開，得到T -mx41 mr21X1 mr4可以看出，圓盤的動(dòng)能包含廣義速度x的二次項(xiàng)，廣義速度 x的一次項(xiàng)和它的零次項(xiàng)。二、廣義力的計(jì)算概括地說，廣義力有三種計(jì)算方法：1）根據(jù)廣義力的定義，有NXyiZiQjFiz - Fiy - Fiz -j 1,2,

5、,Ni 1qjqiqi我們可以按照這個(gè)公式來計(jì)算，但是，有時(shí)計(jì)算是繁冗的。2）我們知道，作用在系統(tǒng)上的諸主動(dòng)力對(duì)于任何虛位移元功之和等于諸廣義力對(duì)于相 應(yīng)的廣義坐標(biāo)的虛位移元功之和，即NnF i &ii 1對(duì)于完整系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)的變分q1,q2,變分為qj,而令其它坐標(biāo)變分均為零，即qjM 0,q1 = q2 =則上式為NF i旳Qj旳ji 1,qn是彼此獨(dú)立的。若給出某一廣義坐標(biāo)的qj-1 = qj +1 = = qn = 0Fisri于是Qji 1sqjj 1, 2, ,n由于系統(tǒng)的主動(dòng)力在給定的虛位移中元功之和Fii 1si的計(jì)算是我們熟悉的，則廣義力Qj對(duì)應(yīng)于和的廣義力以Q和Q_表示。

6、于是，ycacosSca sin SyD2 a cosbcosS D2as in Sbsi nXb2a si n2bsi nSB2 a cos S2bsin當(dāng)獲得變分，而保持不變，即=0時(shí)，AFsN(Xi SXiYi SiZi SZi)i 1解：系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度。依題意，取和并在o點(diǎn)用點(diǎn)的水平力,為廣義坐標(biāo),當(dāng)獲得變分，而(2Fi acos RasinS1C2F1acos=0時(shí),2P2asin )SPsin2 P2 sin2F1b cos SP2bsin SQj可較易地計(jì)算出。依次給出不同序數(shù)的坐標(biāo)變分的同時(shí)，令其它坐標(biāo)變分為零，則可依 次計(jì)算出與廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義力。這種方法是我們經(jīng)常應(yīng)用

7、的。3）若作用于系統(tǒng)上的主動(dòng)力有勢，則通過勢能函數(shù)即可求出廣義力。設(shè)勢能函數(shù)為 V,則可應(yīng)用式Vqj進(jìn)行廣義力的計(jì)算。例1-3 均質(zhì)桿OA和AB在A點(diǎn)鉸鏈連接， 鉸鏈支承。桿重分別為 P1和P2, F1為作用于B 試求對(duì)應(yīng)于和的廣義力。2F1b cosP2bsinST - mvO2 Jo三、拉格朗日方程的應(yīng)用應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，一般采用以下步驟：1）分析系統(tǒng)的約束條件，判斷系統(tǒng)的類型是否為完整系統(tǒng)，是定常還是非定常的，是 保守的還是非保守的。2）若系統(tǒng)為完整的，在確定其自由度數(shù)目后，選擇恰當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo)。3） 計(jì)算出以廣義速度表達(dá)的動(dòng)能T（q, q，t）、勢能V （q, t）

8、或廣義力Q （q, t），若主動(dòng)力有勢，計(jì)算出拉格朗日函數(shù)L（q， q，t）。4）列出拉格朗日方程。例1-4 半徑為R、質(zhì)量為m的圓環(huán)掛在一半徑為r的固定圓柱上。設(shè)圓環(huán)與圓柱間有足夠大的摩擦力阻止相對(duì)滑動(dòng)，試寫出圓環(huán)的 運(yùn)動(dòng)微分方程，并求微幅擺動(dòng)的周期。解：圓環(huán)具有一個(gè)自由度，是完整系統(tǒng)。取為廣義坐標(biāo)，圓環(huán)的動(dòng)能為其中V。 （R r） o，瞬心為A，則VoR于是T 2m(R r)2 2 2余昭 2 m(R r)2 2主動(dòng)力有勢，系統(tǒng)的勢能為V = mg (R r) cos2m(R r)2ddtV2m(R r)2mg(R r) sin代入拉格朗日方程，得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程:22m(R r) mg

9、(R r) si n02( R r) g sin 0考慮到微幅，有2(R)周期為2n2(R r)由于主動(dòng)力有勢，可以寫出拉格朗日函數(shù):2 2LTV m(R r) mg(R r)cos代入式（1-25 ）中同樣可以得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。2.已知擺線繞在固定圓柱上，尺寸如圖；求此擺的運(yùn)動(dòng)微分方 程選為廣義坐標(biāo)，選解這是單自由度保守系統(tǒng)， 零勢能位置，則1 2T -m(l R )2 2V mg( I Rsin)(I R )cos 將T、V代入保守系統(tǒng)的拉格朗日方程dt或?qū)⒗窭嗜蘸瘮?shù)L = TV代入如下形式的拉格朗日方程0d T T Vd _l dt皆可得運(yùn)動(dòng)微分方程(I2gsin 0r，質(zhì)量都是m

10、，此機(jī)構(gòu)位于水平3.已知三均質(zhì)齒輪，半徑皆為面內(nèi)，若無重系桿受矩為M的力偶作用；求系桿的角加速度O解 這是單自由度非保守系統(tǒng)，選系桿的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，則有關(guān)的角速度和速度為VO22r, V034r該系統(tǒng)的廣義力為動(dòng)能為1 2 mvo221 mr22 1 22mvo322 211mr代入拉格朗日方程M222mrt = 0 時(shí)，x = 10cm， x= 0，求當(dāng)例1-9 試求例1-1中圓盤的運(yùn)動(dòng)微分方程。又，若x=20cm時(shí)，x為多少?例1-1 已知質(zhì)量為m,半徑為r的均質(zhì)圓盤D， 沿OAB直角曲桿的AB段只滾不滑。圓盤的盤面和曲 桿均放置在水平面上。已知曲桿以勻角速度1繞通過0點(diǎn)的鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試

11、求圓盤的動(dòng)能。解：由例1-1已求得動(dòng)能T為21 . 222、12XT m(x x 1 ) mr 1-2 4r水平臺(tái)為零勢面，則圓盤的勢能為V = 0系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù) L為LT莎*x212) 1mr42x1 _ rL1xmxmr1x2rdL13L2mxmxmx,-m 1 xdtx22x代入拉格朗日方程，有32x1 x 02由于系統(tǒng)是非定常的，雖然作用于圓盤上的主動(dòng)力有勢，但并不存在能量積分，由于拉格 朗日函數(shù)L不顯含時(shí)間t，系統(tǒng)有廣義能量積分。由動(dòng)能表達(dá)式得到T23mx2, T4-11mr 1x,21 2 2Tom 1 x21 2 2 mr 14圓盤的廣義能量積分為T 2 To +V=常數(shù).于

12、是得到32 12 2 1 2 2 ,mxm1 xmr 1 h424整理后，有3 21 2 2mxm 1 x h142當(dāng) t = 0 時(shí)，xo =10cm , Xo = 0,則250 m 1于是有3 21x2 2 21 x50 142當(dāng) x = 20cm 時(shí)，x2200 1x 14.1 i cm/s例9質(zhì)量為m,半徑為r的圓環(huán)0豎立在一粗糙平面上。圓環(huán) 的邊緣上剛連一質(zhì)量為 m的質(zhì)點(diǎn)A。試寫出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：由圓環(huán)0和質(zhì)點(diǎn)A組成的系統(tǒng)只能在地面上作純滾動(dòng)，自 由度為1,取0A與鉛垂線的夾角 為廣義坐標(biāo)，以系統(tǒng)為研究對(duì)象, 0點(diǎn)處水平面為零勢能面，則系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能分別為于是有T J 22

13、1 2mr2mr2(2V1 2 1 2mv。mvA2 21 / 、2 1m(r ) m 2 22cos )mgr cos代入拉格朗日方程，導(dǎo)出2(2 cos )(例1-7 三角楔塊A可沿水平光滑面作直線(r2 2 2)(r )2(r ) cosmgr sing r)sin 01,H sin t的作用(H和 均為常量)。楔塊斜邊 BD 上有一質(zhì)量為 m2、半徑為r的圓柱體，沿 BD滾 動(dòng)而不滑動(dòng)，二彈簧的剛體系數(shù)分別為k1和。試建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。運(yùn)動(dòng)，楔塊 A的質(zhì)量為 m其上受有簡諧力 F =777777777777777777叫 解：系統(tǒng)具有二個(gè)自由度。取三角楔塊的位移X和圓柱體相對(duì)于楔塊的位移為廣義坐標(biāo)，二者均以其靜平衡位置為原點(diǎn)。 楔塊A作平動(dòng)，VA圓柱體作平面運(yùn)動(dòng)，質(zhì)心速度VC為角速度為系統(tǒng)的動(dòng)能1 m1 x2Vc 一 x22 2x cos-m2(x222x cos )1 m2r42m2)xm2 x cos系統(tǒng)的勢能Vm2g sin2ki(x10)21 k2(220)2