8種輔助線做法

1、全等三角形問題中常見的輔助線的作法 （有答案 ）總論：全等三角形問題最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，構(gòu)造二個(gè)角之間的相等1. 等腰三角形“三線合一”法 ： 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題2.倍長(zhǎng)中線： 倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形3. 角平分線在三種添輔助線4. 垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端5. 用“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法” ： 遇到有二條線段長(zhǎng)之和等于第三條線段的長(zhǎng)，6.圖形補(bǔ)全法： 有一個(gè)角為 60度或 120度的把該角添線后構(gòu)成等邊三角形7.角度數(shù)為 30、60度的作垂線法： 遇到三角形中的一個(gè)角為 30度或60度，可以從角一邊上一

2、點(diǎn)向角的另一邊作垂線，目的是構(gòu)成 30-60-90 的特殊直角三角形，然后計(jì)算邊的長(zhǎng)度與角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角。 從而為證明全等三角形創(chuàng)造邊、角之間的相等條件。常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，二個(gè)角之間的相等。1)遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”法構(gòu)造全7 / 4等三角形 2)遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” 法構(gòu)造全等三角形 3)遇到角平分線在三種添輔助線的方法， （ 1）可以自角平分線上的某一點(diǎn)

3、向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折” （ 2）可以在角平分線上的一點(diǎn)作該角平分線的垂線與角的兩邊相交，形成一對(duì)全等三角形。 （ 3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點(diǎn)相等長(zhǎng)度的位置上截取二點(diǎn)，然后從這兩點(diǎn)再向角平分線上的某點(diǎn)作邊線，構(gòu)造一對(duì)全等三角形。4)過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5） 截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法， 具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)， 是之與特定線段相等， 再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明 這種作法，適合于證明線段的和、 差、倍、分等類的題目6） 已知某線段的垂直平分

4、線， 那么可以在垂直平分線上的某點(diǎn)向該線段的兩個(gè)端點(diǎn)作連線，出一對(duì)全等三角形。特殊方法： 在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)， 常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等例1、（“希望杯”試題）已知，如圖如圖，如圖，1.以ZBAD(1)ABC中，AB=5 AC=3則中線AD的取值范圍是ABC中，E、F 分別在 AB AC上，DEI DF,ABC中，BD=DC=AP E是DC的中點(diǎn)，求證:AABC的兩邊AB、AC為腰分別向= NCAE =90：連接 de , M、N 分別是 BC、DED是中點(diǎn)，試比較AD 平分/ BAE.C外作等腰rMABD和等腰R

5、t也ACE ,的中點(diǎn).探究：AM與DE的位置及數(shù)量關(guān)系.如圖 當(dāng)凸ABC為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是（2）將圖中的等腰r2ABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 日（0日90）后，如圖所示,（1）問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由.E二、截長(zhǎng)補(bǔ)短1、如圖， MBC 中，AB=2AC AD平分 N BAC，且 AD=BD 求證：CD! AC2、如圖，AD/ BC EA,EB分別平分/ DAB, / CBA CD過點(diǎn) E,求證;AB= AD+BC3、如圖，已知在 LABC 內(nèi)，NBAC =60，也C =40, p,Q分別在BC, CA上,4、5、并且AP, BQ分

6、別是NBAC , NABC的角平分線。求證:BQ+AQ=AB+B P如圖，在四邊形 ABCD中, BC BA,AD= CD BD 平分 N ABC，求證： NA+ NC=180如圖在 ABC中，AB AC / 1 = / 2 , P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-AC PB-PC應(yīng)用:ABCCBD,AJJ =七C, n.例1ABC的角平分線，直線 MNL AD于A.E為MN上一點(diǎn)， ABC周長(zhǎng)記為求證Pb Pa.例2如圖，在 ABC的邊上取兩點(diǎn) D E,且BD=CE求證：AB+AOAD+AE.Pb.iu豹 r YTt PM 士形. Ar? / BC , aA 是 MjP f 一一！刃哉.若 二打

7、 匚nK：=期嚴(yán).判昭 4 O卜.兒匹！.曲&旳苑系丼L陸珂伽繪. 孵：三、平移變換OE=OD(1)說明F,AD、CE 分別是/ BAC、/ BCA四、借助角平分線造全等1如圖，已知在 ABC中，/ B=60A ABC的角平分線 AD,CE相交于點(diǎn) Q 求證:2、如圖， ABC中，AD平分/ BAC DGL BC且平分 BC, DE1AB于 E, DF丄 AC于 F.BE=CF的理由；(2)如果 AB=a , AC=b，求 AE、BE的長(zhǎng).應(yīng)用：1、如圖，OP是/ MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。 請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：(1) 如圖，在 ABC中，/ ACB是直角，/ B=60的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由。(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問，你在M五、旋轉(zhuǎn)DABE+DF=EF求囲AF的度數(shù).(1)中所得結(jié)論是否仍BDAD例1正方形ABCD中, E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為圖SD上的一點(diǎn),3FAC例2 D為等腰Rt人ABC斜邊AB的中點(diǎn)，DM! DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,