初中函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)75490

1、千承培訓(xùn)學(xué)校函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（掌握函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖像）（一）平面直角坐標(biāo)系1定義：平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡(jiǎn)稱(chēng)為直角坐標(biāo) 系2、各個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)的特征：第一象限：（+，+）第二象限：（-，+）第三象限：（-，-）第四象限：（+，-）3、坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征:點(diǎn)P(x,y)，則x0,y0;點(diǎn)P(x,y),則xv0,y 0;點(diǎn)P(x,y),則xv0,yv 0；點(diǎn)P(x,y),貝Ux0,yv 0；x軸上的點(diǎn)，縱坐標(biāo)為零；y軸上的點(diǎn)，橫坐標(biāo)為零；原點(diǎn)的坐標(biāo)為（0 , 0）。兩坐標(biāo)軸的點(diǎn)不屬于任何象限。4、點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)特征：已知點(diǎn) P（m, n）.關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是（m,-

2、n）,橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)反號(hào)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是（-m,n）縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)反號(hào)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是（-m,-n）橫，縱坐標(biāo)都反號(hào)5、平行于坐標(biāo)軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征:平行于x軸的直線上的任意兩點(diǎn)：縱坐標(biāo)相等;平行于y軸的直線上的任意兩點(diǎn)：橫坐標(biāo)相等。6、各象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：第一、三象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等。第二、四象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。7、點(diǎn)P （x,y ）的幾何意義：點(diǎn)P （x,y ）到x軸的距離為|y| ,點(diǎn)P （x,y ）到y(tǒng)軸的距離為|x| 。點(diǎn)P （x,y ）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為.x2 y28、兩點(diǎn)之間的距離：Y軸上兩點(diǎn)為 C（，yi）、

3、D（，%）|CD| I y2 yi Ii22已知 A（xi，yi）、B（X2,y2）AB|=、(X2 Xi)(y2 yi)9、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知A(xi, yi)、B(X2, y2)M 為 AB 的中點(diǎn)則：M=( 一Xi2y2yi)210、點(diǎn)的平移特征:在平面直角坐標(biāo)系中,將點(diǎn)（X,y向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度,可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（X-a , y）;將點(diǎn)（X,y向左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度,可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（X+a , y）;將點(diǎn)（X,y向上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度,可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（X，y + b）;將點(diǎn)（X,y向下平移b個(gè)單位長(zhǎng)度,可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x, y b）。注意：對(duì)一個(gè)圖形進(jìn)行平移，這個(gè)圖形上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都要發(fā)生

4、相應(yīng)的變化；反過(guò)來(lái), 從圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)的加減變化，我們也可以看出對(duì)這個(gè)圖形進(jìn)行了怎樣的平移。（二）函數(shù)的基本知識(shí):基本概念1、變量:在一個(gè)變化過(guò)程中可以取不同數(shù)值的量。常量：在一個(gè)變化過(guò)程中只能取同一數(shù)值的量。2、函數(shù)：一般的，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就把x稱(chēng)為自變量，把y稱(chēng)為因變量，y是X的函數(shù)。*判斷A是否為B的函數(shù)，只要看 B取值確定的時(shí)候，A是否有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)3、定義域：一般的，一個(gè)函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。4、確定函數(shù)定義域的方法：（1）關(guān)系式為整式時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)

5、；（2）關(guān)系式含有分式時(shí)，分式的分母不等于零；（3）關(guān)系式含有二次根式時(shí)，被開(kāi)放方數(shù)大于等于零；（4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時(shí)，底數(shù)不等于零；（5）實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)定義域還要和實(shí)際情況相符合，使之有意義。5、函數(shù)的圖像一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象.6、函數(shù)解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析式。7、描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖形的一般步驟第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值）；第二步：描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描 出表格中

6、數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)）；第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來(lái)）。8、函數(shù)的表示方法列表法：一目了然，使用起來(lái)方便，但列出的對(duì)應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù) 之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。解析式法：簡(jiǎn)單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個(gè)變化過(guò)程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系， 但有些實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。圖象法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。（三）正比例函數(shù)和一次函數(shù)1正比例函數(shù)及性質(zhì)一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，kz0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).注：正比例函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx （k 不為零）k不為零 x指數(shù)為1b取零當(dāng)k0時(shí)，直線y

7、=kx經(jīng)過(guò)三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當(dāng)k0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)一、三象限；k0, y隨x的增大而增大；k0時(shí)，向上平移；當(dāng)b0，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限；k0，圖象經(jīng)過(guò)第一、二象限；b0,圖象經(jīng)過(guò)第三、四象限直線經(jīng)過(guò)第一、二、三象限直線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限直線經(jīng)過(guò)第二、三、四象限注：y= kx+b中的k, b的作用：1、k決定著直線的變化趨勢(shì)k0 直線從左向右是向上的2、b決定著直線與y軸的交點(diǎn)位置b0 直線與y軸的正半軸相交 b0 , y隨x的增大而增大；k0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移 b個(gè)單位；當(dāng)b0, b02、 k0, b0 3 、 k0, b04

8、、 k04、直線y=kx + b(k豐0)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).直線y=kx與x軸、y軸的交點(diǎn)都是(0 , 0);(2) 直線y=kx + b與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為 y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0 , b).5、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：(1) 根據(jù)已知條件寫(xiě)出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；(2) 將x、y的幾對(duì)值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；(3) 解方程得出未知系數(shù)的值；(4) 將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式6、兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法：方法：聯(lián)立方程組求 x、y例題：已知兩直線 y = x+6 與y = 2x-4交于點(diǎn)P,求P點(diǎn)的坐標(biāo)？

9、7、直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關(guān)系(1 )兩條直線平行：k仁k2且bl b2(2) 兩直線相交：ki k2(3) 兩直線重合：ki=k2且bi=b2平行于匸軸(或重合)的直線記作【，；特別地，“軸記作直線-8、正比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系一次函數(shù)y=kx + b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線 y=kx平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度而 得到(當(dāng)b0時(shí)，向上平移；當(dāng) b0或ax+b0 ( a, b為常數(shù)，a豐0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大(小)于0時(shí)，求自變量的取值范圍11、一次函數(shù)與二元一次方程組(1) 以二元一次方程 ax+by=c的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組

10、成的圖象與一次函數(shù)y= - x -的b b圖象相同.盼 b ga0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限，同一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)k0 時(shí)，函數(shù)在 x0上同為減函數(shù)；k0時(shí)，函數(shù)在 x0上同為增函數(shù)。定義域?yàn)?xm 0;值域?yàn)?yz 0。3. 因?yàn)樵趛=k/x（k m0）中，x不能為0, y也不能為0,所以反比例函數(shù)的圖象 不可能與x軸相交，也不可能與 y軸相交。4. 在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P, Q,過(guò)點(diǎn)P, Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1, S2,則S1= S2=|K|5. 反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它有兩條對(duì)稱(chēng)軸y=x y=-x

11、（即第一三，二四象限角平分線），對(duì)稱(chēng)中心是坐標(biāo)原點(diǎn)。6. 若設(shè)正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù) y=n/x交于A、B兩點(diǎn)（m n同號(hào)），那么A B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。7. 設(shè)在平面內(nèi)有反比例函數(shù)y=k/x和一次函數(shù) y=mx+n，要使它們有公共交點(diǎn)，則 n2 +4k m （不小于）0。（ k/x=mx+ n，即 mx2+nx-k=0 ）8. 反比例函數(shù) y=k/x的漸近線：x軸與y軸。9. 反比例函數(shù)關(guān)于正比例函數(shù)y=x,y=-x 軸對(duì)稱(chēng)，并且關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng) .（第5點(diǎn)的同義不同表述）10. 反比例上一點(diǎn) m向x、y軸分別做垂線，交于q、w,則矩形 mwqo （ o為原點(diǎn)）的面積為|k|11.

12、k值相等的反比例函數(shù)重合，k值不相等的反比例函數(shù)永不相交。12. |k|越大，反比例函數(shù)的圖象離坐標(biāo)軸的距離越遠(yuǎn)。（五）二次函數(shù)二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為 f（x）=ax2+bx+c（a 不為0）。其圖像是一條主軸平行于 y軸的拋物線。一般式（已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì) 疋、廠的值，通常選擇一般式.）y=axA2+bx+c（a 豐 0,a、b、c 為常數(shù)），頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （-b/2a , （4ac-bA2/4a）;頂點(diǎn)式（已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式.）y=a（x+m）A2+k（a 豐 0,a、 m k 為常數(shù)）或 y=a（x- h）A2+k（a 豐

13、0,a、 h、k 為常數(shù)）, 頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-m, k ）或（h,k ）對(duì)稱(chēng)軸為 x=-m或x=h，有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法 把一般式化成頂點(diǎn)式；交點(diǎn)式（已知圖像與尤軸的交點(diǎn)坐標(biāo)兀1、“2，通常選用交點(diǎn)式）y=a（x-x1）（x-x2）僅限于與 x軸有交點(diǎn) A （ x1 , 0 ）和B （ x2 , 0 ）的拋物線;拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)頂點(diǎn)拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為 P （ -b/2a, 4ac-bA2/4a ） ，當(dāng)-b/2a=0 時(shí)，P在y軸上；當(dāng) = bA2 -4ac=0 時(shí)，P在x軸上。開(kāi)口二次項(xiàng)系數(shù) a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。當(dāng)a 0時(shí)，拋物線 向上 開(kāi)口；當(dāng)a

14、v0時(shí)，拋物線 向下 開(kāi)口。 |a|越大，則拋物線的開(kāi)口 越小。決定對(duì)稱(chēng)軸位置的因素一次項(xiàng)系數(shù) b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置。當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即 ab 0），對(duì)稱(chēng)軸在 y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即 ab v 0），對(duì) 稱(chēng)軸在y軸右。（左同右異）c的大小決定拋物線; 與F軸交點(diǎn)的位置當(dāng)- j時(shí)，L二二，拋物線,-，-與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0, r）： / - ?，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；：,與匸軸交于正半軸；：】,與.丁軸交于負(fù)半軸. 直線與拋物線的交點(diǎn)（1） ：軸與拋物線 - !得交點(diǎn)為（0,-）.（2 ）與7軸平行的直線一；與拋物線-：-有且只有一個(gè)交點(diǎn)，丄一:/ -）.（3）拋物線與尤軸的交點(diǎn)二次函數(shù)一 ，L 的圖像與芒軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)工：，是對(duì)應(yīng)一元二次方程&丨；工廠的兩個(gè)實(shí)數(shù)根拋物線與工軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的 根的判別式判定： 有兩個(gè)交點(diǎn)=:二:-拋物線與T軸相交； 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上拋物線與二軸相切； 沒(méi)有交點(diǎn)- 1 -=拋物線與工軸相離（4） 平行于芒軸的直線與拋物線的