完整word版,分?jǐn)?shù)的巧算教師版

1、分?jǐn)?shù)的速算與巧算（一）分?jǐn)?shù)巧算（求和）分?jǐn)?shù)求和的常用方法：1、公式法，直接運用一些公式來計算，如等差數(shù)列求和公式等。2、圖解法，將算式或算式中的某些部分的意思，用圖表示出來，從而找出簡便方法。3、裂項法，在計算分?jǐn)?shù)加、減法時，先將其中的一些分?jǐn)?shù)做適當(dāng)?shù)牟鸱?，使得其中一部分分?jǐn)?shù)可以 互相抵消，從而使計算簡便。4、分組法，運用運算定律，將原式重新分組組合，把能湊整或約分化簡的部分結(jié)合在一起簡算。5、代入法，將算式中的某些部分用字母代替并化簡，然后再計算出結(jié)果。典型例題一、公式法：1 2342006 2007計算：+ +2008 2008 2008 20082008 2008（首分析：這道題中相鄰兩

2、個加數(shù)之間相差，成等差數(shù)列，我們可以運用等差數(shù)列求和公式:2008項+末項）X項數(shù)* 2來計算。1 2342006 2007+ + + + + 2008 2008 2008 20082008 20081 2007=（- + 2007 ）X 2007-22008 20081=1003-2、圖解法: 計算：丄+1 + 1 +丄+丄+丄2 48163264分析：解法一，先畫出線段圖：15 32 Ai 64I I i I從圖中可以看出：2 +11 +1 +右+ 32 + 64=1_ 64=S解法二：觀察算式，可以發(fā)現(xiàn)后一個加數(shù)總是前一個加數(shù)的一半。因此，只要添上一個加數(shù)164，就能湊成丄，依次向前類推

3、，可以求出算式之和321 1111 1+ _ + _+ + + 24816326411111/ 11、1+ -+ -+ + + ( 一 +-248163264646411111 1、1+ -+ -+ + (+ )2481632 32641163X 2-264642倍，然解法三：由于題中后一個加數(shù)總是前一個加數(shù)的一半，根據(jù)這一特點，我們可以把原式擴大 后兩式相減，消去一部分。、八一 1,1,1,1,1816326411 11+ -+-+ +48 163211 11+ -+-+ + 48 16321+ )X 2642 4那么，2x=(-2=1+12用一得1111/ 111111、+ - +-+-(

4、-+ - +-+)4816322481632642xX1+1263 X1,1,1 ,1 ,1 ,1 ._63+ -+ - +2481632646464所以,三、裂項法1 1 ,1 ,1 ,1 ,+ +2 61220301、計算:901110第5頁共29頁分析：由于每個分?jǐn)?shù)的分子均為1,先分解分母去找規(guī)律：2=1 X 2，62X 3，123X 4，20=4X 5，305X 6，11010X 11，這些分母均為兩個連續(xù)自然數(shù)的乘積再變數(shù)型：因為2沽-1-1，1 _ 1 _1 1 12 3 4 341 _ 1 _ 1110 10 11 10給計算帶來后。這樣將連加運算變成加減混合運算，中間分?jǐn)?shù)互相抵

5、消，只留下頭和尾兩個分?jǐn)?shù), 方便。11,1,11,1 ,1+-+ -+ +-26 122030901101 11 111111=1 -1 +2 23 349101011=1 -111=10112、計算：丄+ +1+1+ 1 1 1 1+ + + + 1 55 99 1329 3333 371 5599 1329 3333 37分析：因為一匕=1 14 114=1 1 .4114-_ 1133，33 371 555 9599 139 1329 33 293337所以，我們可以將題中的每一個加數(shù)都擴大 4倍后，再分裂成兩個數(shù)的差進(jìn)行簡便計算d +13+ +29 33-11111(1 +_1_1_5

6、59913丄丄+丄丄4293333374、計算:4255=4X255115 17=4X ()1517444444421 315356399143195所以，先用裂項法求出分?jǐn)?shù)串的和，使計算簡便=21 4X (1-11111 丄丄11、13 35 5715172=21 2X (1 丄）=192174255171 + 5 + 耳 + 匹 + 29 +2 61220309701 + 98999702 9900分析：仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，每個加數(shù)的分子均比分母少彳 1 11彳 1彳 1 =1 ， =1 =1 - 2 312123 4再裂項相消。1 511 1929+ - + + +2 612 201=(1

7、1) + ( 1 21 =1X 99(-2坐=1 120=1201.這樣可變形為： -=1 - =1 , =1 -2 2 1 2 6 6,輕刊丄=11.然后9900990099 100=99(丄 +1 21 =99 (1 1001 =99 -100+ 1 +61+2 33011) + ( 1 6 121 1+12 2013 49701 +97021989999001+ (1 圭)+ (120)9900+1)99 1009900)11 2 3分析：可以看出，第一項的分母為1,第二項的分母為兩個數(shù)相加，依此類推，最后一個分母是1005、計算：1+七1 1+ 1 2 3 41 2 3100=(1 )

8、 - 4=37373、計算：21 -44444444315356399143195255分析：因為-=4X1 =4X1=4X( 1 1 )X1331 3324=4X1 =4X11=4X (-1) X115153 !53524=4X丄=4X,11=4X ( 1 -1) X1353557572個數(shù)相加且都是等差數(shù)列。這樣，利用等差數(shù)列求和公式，或利用分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，變分母為兩個數(shù)相 乘。再裂項求和。解法1+二1+12 3 41+ 1 2 3100=2X=2X22 31T_2 123 41T311 、)3 4100 1012100 101=1 2 + 11111 2(1 2)2(1 3) 3(1 4)

9、 4(1100)1002222=222221 22 33 44 5100 101=2X(1- 1)10199=1101解法二1：原式=21 21 21 21 21 22 (1 :2) 2(123)2 (12 34)2(1299100)=1聖1016計算:亠+ 13 4 598 99 100分析：可以把題中的每兩個加數(shù)分解成兩個分?jǐn)?shù)之差:1 (丄亠1 (丄亠12321 22 323422 3349?盞転2（99 990），此時可消中間留兩頭進(jìn)行巧算原式=1X(-11)+1 X(1)+1 1 1+X(1八（212232233 4298 9999 1001 、, /111111 、=X(-+十+)2

10、12232 33 498 9999 100=1 X(11)21299100=4949=19800四、分組法:計算，1+2004 200419992000 十 2001 十20042004200445一 +2004200420042004200420022004旦十丄20042004十衛(wèi)2004分析：算式中共有2002個分?jǐn)?shù)從第二個分?jǐn)?shù)盍開始依次往后數(shù)，每四個分?jǐn)?shù)為一組,止，共有500組，原式= +(2004200420042004/ 19981999 20002001、,十)十20042004 20042004每組計算結(jié)果都是2340.5、/6789、10)+ ( + )20042004200

11、4200420042004200220041 2002 = +2004 2004= 20032004111五、代入法:計算（1+- 34）x(1 +分析：可以把算式中相同的部分式子，設(shè)字母代替，可化繁為簡，化難為易5=B則原式=(1+A)X B- (1+B) x A=B+ AB- A- AB=B A_/ 1 1 1=(234=155）(111)23 43、第7頁共29頁2、1丄丄丄丄【丄】1632 64 128128熱點習(xí)題計算：1、135791113【1】494949494949494、11988 19891989 199011990 19911 12007 2008 2008 20098第

12、9頁共29頁570556 】1 1 11 1【-】35 3737 39394、113 15 15 1717 19& 2+3165 丄 7 11 13 41 】12203042147、11 192912 203041425556【61】256 324255 323第【咄】4 1636641001441963 153563991439、15211131517191612203042 567290 110【原式=1- +匚-2 33 48 8 9 9 10 10 11 + 8 8 9 9 10 10 11=1-( 22=1-(1=1-12)+ (蟲 )-(上32 33 43 44 51 1 1 1

13、1 1 12)+(4 3)-(5 4)+ -霸亦) !=】11 221010 11第13頁共29頁“ 12345678 ,9,10 ,1995 ,199610、 + +2002200220022002200220022002200220022002200220021997199819992000,2001,200220022002200220021200212002【從第三個分?jǐn)?shù)丄開始依次往后數(shù)，每8個分?jǐn)?shù)為一組，到最后一個分?jǐn)?shù)迴2為止，共有2502002 2002組，每組計算結(jié)果都是0.所以，原式=匚+3 =】2002 2002 200211、(1+21)-(1+11) X (-6 21)1

14、【設(shè)1 +丄5=A，1=B，原式=AX( %1 1(A+6 宀 B=6 】1121 231234、/ 1 231819、12、()()()+ ()2334 44555520 20202020【原式:= 1+1+11+2+21 +91 =(1+91)X 19- 2=95】22222213、2001年是中國共產(chǎn)黨建黨80周年,最小等于多少？翥是個有特殊意義的分?jǐn)?shù)。如果下式大于19212001那么n1n (n 1)【1 19212001心241】14、121 (1 2)(12) (12 3)(123)(123 4)10(12 39) (12 310)【先對分母用等差數(shù)列求和，再整體裂項求和。444原

15、式=1 1 21=1 4X - X (21=1 4X X(2122 115、3 211 211 21421623 43 4 51 1 1F)+2 X ( T31 )=-】10 11551 11002 1【利用公式1a21 49 10 11)+3 4x( 9110110十變形各項。原式*50100 1】101(二)分?jǐn)?shù)巧算(復(fù)雜的裂項型運算)復(fù)雜整數(shù)裂項特點：從公差一定的數(shù)列中依次取出若干個數(shù)相乘，再把所有的乘 積相加。其巧解方法是：先把算式中最后一項向后延續(xù)一個數(shù)，再把算式中最前面一 項向前伸展一個數(shù)，用它們的差除以公差與因數(shù)個數(shù)加 1的乘積。整數(shù)裂項口訣：等差數(shù)列數(shù)，依次取幾個。所有積之和，

16、裂項來求作。后延減前 伸，差數(shù)除以N。N取什么值，兩數(shù)相乘積。公差要乘以，因個加上一。需要注意的是：按照公差向前伸展時，當(dāng)伸展數(shù)小于0時，可以取負(fù)數(shù)，當(dāng)然是積為負(fù)數(shù)，減負(fù)要加正。對于小學(xué)生，這時候通常是把第一項甩出來，按照口訣先算 出后面的結(jié)果再加上第一項的結(jié)果。此外，有些算式可以先通過變形，使之符合要求，再利用裂項求解。一、整數(shù)裂項1(1) 1 2 2 3 3 4. (n 1) n - (n 1) n (n 1)31(2) 1 2 3 2 3 4 3 4 5 .(n 2) (n 1) n (n 2)(n 1)n(n 1)4【例 1】計算：13243546L99 101【鞏固】計算：3 5 5

17、 7 7 9 L 97 99 99 101【例 2】計算 10 16 22 16 22 28 L 70 76 82 76 82 88【例 3】 計算 1X 1+2X 2+3X 3+99X 99+100X 100鞏固】 3 3 3 4 4 4 L 79 79 79例 4 】 計算： 1 1 1 2 2 2 3 3 3 L 99 99 99 100 100 100例 5 】 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 L 1 2 3 L 100鞏固】 3 3 6 3 6 9 L 3 6 L 300、分?jǐn)?shù)裂和”型運算(2)常見的裂和型運算主要有以下兩種形式:(1)裂和型運算與裂差型運算的對比:裂和型運算

18、的題目不僅有“兩兩抵消”型的,裂差型運算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡化的目的”， 同時還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡化目的?！纠?填空：51719162123204111131151305426567【鞏固】計算:51 -791113151719612203042567290第17頁共29頁1例 7】5H6 H9 109 10【鞏固】3 657911135 7612203042計算.1325791011193457820212435【例8】【鞏固】123791117253571220283042【例9】11丄1120102638272330314151119120123124【鞏固】35

19、496377911053116122030425688第#頁共29頁2 2 2 2181919 20【例10】,2J21 2第19頁共29頁18 1919 20【鞏固】12 1213產(chǎn)于1 222321 323331 22232421 323334312 22262262 2 2 2 2 2 2 2(246100 )(13599 )12 3 10 9 8 1【利用 a2 b2a b a b 變形，分母=100,分子=(2+1) (2-1 ) + (4+3) (4-3)+( 100+ 99)101 501(100-99) =3+ 7+ 11 + 199=101X 50,原式=50】1002課堂測

20、試1、1 4 4 7 7 10 L 49 52 =167912202、計算:11 13 15 17 1930 42 56 72 90117981712 2015305123、12 2222322 3200422005220052200622004 20052005 20065、122 1132 11992 1第23頁共29頁作業(yè)1、1 1 2 2 3 3 L 50 502、2 4 6 4 6 8 L 96 98 1003、379112131712202840564、(1 1 (2 1 2) (3 3) L234(8899)(9 神5、（三）分?jǐn)?shù)巧算（裂差型運算）分?jǐn)?shù)速算、巧算常用的方法1、裂項

21、：是計算中需要發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用公式的過程，裂項與通項歸納是密不可分的，本講要求學(xué)生 掌握裂項技巧及尋找通項進(jìn)行解題的能力2、換元：讓學(xué)生能夠掌握等量代換的概念，通過等量代換講復(fù)雜算式變成簡單算式。3、循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)拆分：掌握循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化，循環(huán)小數(shù)之間簡單的加、減運算，涉及循環(huán) 小數(shù)與分?jǐn)?shù)的主要利用運算定律進(jìn)行簡算的問題.4、通項歸納法通項歸納法也要借助于代數(shù)，將算式化簡，但換元法只是將“形同”的算式用字母代替并參與計 算，使計算過程更加簡便，而通項歸納法能將“形似”的復(fù)雜算式，用字母表示后化簡為常見的一般 形式.“裂差”型運算一、裂差”型運算將算式中的項進(jìn)行拆分，使拆分后的項可前后抵消，

22、這種拆項計算稱為裂項法裂項分為分?jǐn)?shù)裂項和整數(shù)裂項，常見的裂項方法是將數(shù)字分拆成兩個或多個數(shù)字單位的和或差。遇到裂項的計算題時，要仔細(xì)的觀察每項的分子和分母， 找出每項分子分母之間具有的相同的關(guān)系， 找出共有部分，裂項的 題目無需復(fù)雜的計算，一般都是中間部分消去的過程，這樣的話，找到相鄰兩項的相似部分，讓它們 消去才是最根本的。1、 對于分母可以寫作兩個因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即形式的，這里我們把較小的數(shù)寫在前面，即a ba b，那么有（-1）a b baa b2、對于分母上為3個或4個自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù)，即：1n (n 1) (n 2)1n (n 1) (n 2)1n (n 1) (n 2) (n

23、3)形式的，我們有: 1 1 12n (n 1) (n 1)(n 2)1n (n 1) (n 2) (n 3)1 13n (n 1) (n 2)1(n 1) (n 2) (n 3)1n (n k) (n 2k)2k n (n k)1(n k)(n 2k)1n (n k) (n 2k) (n 3k)3kn (n k) (n 2k)1(n k) (n 2k) (n 3k)3、對于分子不是1的情況我們有:kn(n k)2k1nnkn2k nnkn k n 2k3knnk n 2kn 3kk n 2k1n k n 2k n 3khnnk n 2kh 12k n n k1n k n 2knnk n 2k

24、 n 3k3k n n k n 2kn k n 2k n 3k22n2n 1 2n 1,11 11 -2 2n 1 2n 1、裂差型裂項的三大關(guān)鍵特征:（1） 分子全部相同，最簡單形式為都是 1的，復(fù)雜形式可為都是x（x為任意自然數(shù)）的，但是只 要將x提取出來即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運算。（2） 分母上均為幾個自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個分母上的因數(shù) 首尾相接”（3）分母上幾個因數(shù)間的差是一個定值。難點：1、分子不是1的分?jǐn)?shù)的裂差變型；2、分母為多個自然數(shù)相乘的裂差變型。純循環(huán)小數(shù)混循環(huán)小數(shù)分子循環(huán)節(jié)中的數(shù)字所組成的數(shù)循環(huán)小數(shù)去掉小數(shù)點后的數(shù)字所組成的數(shù)與不循環(huán)部分?jǐn)?shù)字所組成的數(shù)的差分母n

25、個9,其中n等于循環(huán)節(jié)所含的數(shù)字個數(shù)按循環(huán)位數(shù)添9，不循環(huán)位數(shù)添0，組成 分母，其中9在0的左側(cè)三、循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)結(jié)論:O.aa9 ；O.abab99 O.abcabc a990ab1ab0.0ab9910990 7四、整數(shù)裂項(1)1 2 2 3 3 4. (n 1) n(n 1) n (n 1)33 4 5 . (n 2)(n 1) n -(n 2)( n 1) n(n 1)411分析：11 型（n為自然數(shù)）n（n 1）因為1n n1_ n 11 n(n 1)n1（n為自然數(shù)），所以有裂項公式：1 1 1n(n 1) n n 1n(n1)n(n 1)【例1】填空：1(1)1-=(2)1(3

26、)11(4)1212232 3（5）(6)11(7)1(8)1 1596059609910099100用裂項法求型分?jǐn)?shù)求和n（n 1）【鞏固】丄1 2第27頁共29頁【例2】計算:1 110 11 11 12159 60【鞏固】計算:19851986 1986 1987【例3】計算:153577【鞏固】11111122030425672901995 19961996 1997 1997【例4】計算.1 1 丄丄丄丄丄丄丄_2 612203042567290【鞏固】計算：il 2! 3丄4丄L2 6 12 20201420【例5】計算:2008 182009 5420101082011 丄 2012 丄180270【鞏固】計算:1119291220309701 98999702 99001用裂項法求n(n k)型分?jǐn)?shù)求和分析:型n(n k)n,k均為自然數(shù))第29頁共29頁1 1111 r n kn 、1()，所以 n(n k) k n n kk n(n k) n(n k) n(n k)【例6】199 101【鞏固】計算:1111111315356399143195【例7】計算：251