傅里葉變換和拉普拉斯變換的性質(zhì)及應(yīng)用[行穩(wěn)書屋]

1、1.前言1.1背景利用變換可簡(jiǎn)化運(yùn)算，比如對(duì)數(shù)變換，極坐標(biāo)變換等。類似的，變換也存在于工程，技術(shù)領(lǐng)域，它就是積分變換。積分變換的使用，可以使求解微分方程的過(guò)程得到簡(jiǎn)化，比如乘積可以轉(zhuǎn)化為卷積。什么是積分變換呢？即為利用含參變量積分，把一個(gè)屬于A函數(shù)類的函數(shù)轉(zhuǎn)化屬于B函數(shù)類的一個(gè)函數(shù)。傅里葉變換和拉普拉斯變換是兩種重要積分變換。傅里葉變換能夠分析信號(hào)的成分，可以當(dāng)做信號(hào)的成分的波形有很多，例如鋸傅立葉變換是利用正弦波來(lái)作為信號(hào)的成分。（拉普拉斯）（1749-1827）在他的與概率論相關(guān)科學(xué)研究中引入，在他的一些基本的關(guān)于拉普拉斯變換的結(jié)果寫在他的著名作品概率分析理論之中。即使在19世紀(jì)初，拉普拉

2、斯變換已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，但是關(guān)于拉普拉斯變換的相關(guān)研究卻一直沒(méi)什么太大進(jìn)展，直至一個(gè)英國(guó)數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家，同時(shí)也是一位電氣工程師的Oliver Heaviside奧利弗亥維賽（1850-1925）在電學(xué)相關(guān)問(wèn)題之中引入了算子運(yùn)算，而且得到了不少方法與結(jié)果，對(duì)于解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題很有好處，這才引起了數(shù)學(xué)家對(duì)算子理論的嚴(yán)格化的興趣。之后才創(chuàng)立了現(xiàn)代算子理論。算子理論最初的理論依據(jù)就是拉普拉斯變換的相關(guān)理論，拉普拉斯變換相關(guān)理論的繼續(xù)發(fā)展也是得益于算理理論的更進(jìn)一步發(fā)展。這篇文章就是針對(duì)傅里葉變換和拉普拉斯變換的相關(guān)定義，相關(guān)性質(zhì)，以及相關(guān)應(yīng)用做一下簡(jiǎn)要討論，并且分析傅里葉變換和拉普拉斯變換的區(qū)別與聯(lián)系。1.2預(yù)

3、備知識(shí)定理1.2.1（傅里葉積分定理） 若在（-，+）上，函數(shù)ft滿足一下條件：（1）在任意一個(gè)有限閉區(qū)間上面ft滿足狄利克雷條件；（2）-+ftdt+，即ft在（-，+）上絕對(duì)可積；則ft的傅里葉積分公式收斂，在它的連續(xù)點(diǎn)t處12-+-+f()e-ideid=ft在它的間斷點(diǎn)t處12-+-+f()e-ideid=ft+0+ft-02定義1.2.1（傅里葉變換）設(shè)函數(shù)ft滿足定理1.2.1中的條件，則稱-+e-itftdt 為ft的傅里葉變換，記作F-+e-itftdt。定義1.2.2（傅里葉級(jí)數(shù)）設(shè)函數(shù)ft的周期為T，則它的傅里葉級(jí)數(shù)為：fTt=a02+n=1+ (ancost+bnsint

4、) 上式中， =2T a0=-T2T2fTtdtan=2T+-T2T2fTtcosntdt (n=1,2,3,) bn=2T+-T2T2fTtsinntdt (n=1,2,3,) 定義1.2.3（傅里葉逆變換）ft=12-+e-itFd定義1.2.4（拉普拉斯變換） 若函數(shù)ft滿足0+e-stf(t)dt積分收斂，那么該積分記作Ls=Lft=0+e-stftdt式中s為復(fù)數(shù)，e-st為積分核，上式稱為拉普拉斯變換.定義1.2.5（拉普拉斯逆變換）ft稱為F(s)的拉普拉斯逆變換ftL-1ft定義1.2.6（卷積）假如1(t)和2(t)是（-，+）上面有定義的函數(shù)，則-+ 1() 2(t-)d稱

5、為1(t)和 2(t)的卷積，記為1(t)*2(t)1(t)*2(t)-+ 1() 2(t-)d2.傅里葉變換的性質(zhì)及應(yīng)用2.1傅里葉變換的性質(zhì) 性質(zhì)2.1.1（線性性質(zhì)） 設(shè)，為常數(shù)，F(xiàn)1=F1(t)，F(xiàn)2=F2(t)則：FF1t+F2t=F1+F2()F-1F1+F2=F1t+F2(t) 性質(zhì)2.1.2（位移性質(zhì)） 設(shè)FftF()，則 Ff(tt0)=ejt0Ff(t)F-1f(0)=ej0tFf(t) 性質(zhì)2.1.3（微分性質(zhì)）設(shè)F()Fft，ft在(,)連續(xù)或可去間斷點(diǎn)僅有有限個(gè)，且lim|t|+f(t)=0，則：Fft=iF。Ffnt=inF。 證明 由傅里葉變換的定義有 Fft=-

6、+fte-itdt=-+e-itdf(t)=fte-it|+-+i-+f(t)e-itdt=iF性質(zhì)2.1.4（積分性質(zhì)） 設(shè)Fft=F()，若，limt+-tf(t)dt=0 則：F-tf(t)dt=F()i 證明 因?yàn)?tf(t)dt=ft， 故由微分性質(zhì)得F=jF-tftdt， 即F-tf(t)dt=F()i 定理2.1.1（卷積定理）如果F1=Ff1t，F(xiàn)2=Ff2t，則有：Ff1t*f2t=F1()F2()F-1F1*F2()=2f1tf2t 證明 Ff1t*f2t=-+f1t*f2te-itdt=-+-+f1f2t-de-itdt=-+f1d-+f2t-e-itdt=-+f1e-i

7、-+f2t-e-it-d(t-)d=-+F2f1e-itd=F1()F2()性質(zhì)2.1.6（Parseval恒等式） 如果有F()Fft，則有-+|ft|2dt=12-+F()2d 這個(gè)式子又叫做Parseval等式。2.2 函數(shù)及其傅里葉變換 定義2.2.1（函數(shù)） 滿足：（1）t=0， t0，t=0，（2）-+tdt=1 的函數(shù)是函數(shù)。定義2.2.2（t-t0函數(shù)） 滿足：（1）t-t0=0， tt0，t=t0，（2）-+t-t0dt=1 的函數(shù)是t-t0函數(shù)。定義2.2.3（函數(shù)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述）t=1， 0t，0， 其他，0時(shí)，t的極限叫做函數(shù)，記作tlim0t定義2.2.4（t-t0函

8、數(shù)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述）t-t0=1， t0tt0+，0， 其他，0時(shí)，t-t0的極限叫做t-t0函數(shù)，記作t-t0lim0t-t0性質(zhì)2.2.1（函數(shù)的篩選性質(zhì)） 對(duì)任意連續(xù)函數(shù)ft，有-+tftdt=f0-+t-t0ftdt=ft0性質(zhì)2.2.2（函數(shù)的相似性質(zhì)）設(shè)a為實(shí)常數(shù)，則：at=1at （a0）定義2.2.5（單位階躍函數(shù)）函數(shù)是單位階躍函數(shù)在t0時(shí)的導(dǎo)數(shù)t=u(t)這里u(t)=10 t0t0稱為單位階躍函數(shù)。性質(zhì)2.2.3（函數(shù)的傅里葉變換）因?yàn)镕t=-+te-itdt=e-it|t=0=1Ft-t0=-+t-t0e-itdt=e-it|t=t0=e-it0所以t F F-1 , 1

9、， t-t0 F F-1 , e-it0即t和1，t-t0和e-it0分別構(gòu)成了傅里葉變換對(duì)。2.3傅里葉變換的應(yīng)用2.3.1求微分積分方程 依據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)2.1.1,2.1.3，對(duì)需要求解的微分方程的兩邊取傅里葉變換，把它轉(zhuǎn)換成像函數(shù)的代數(shù)方程，根據(jù)這個(gè)方程求解得到像函數(shù)，接著繼續(xù)取傅里葉逆變換即可以得到原方程的解，下圖是此種解法的步驟，是解這種類型的微分方程的主要方法。例2.3.1 求積分方程0+gsintd=f(t)的解g()，其中ft=2sint， 0解 該積分方程可改寫為20+gsintd=2f(t) 2f(t)為的傅里葉正弦逆變換，故有：g=0+2gsintd=0sintsi

10、ntdt =120cos1-t-cos1+tdt=sin1-2例2.3.2 求積分方程gt=ht+-+fgt-d， 其中ft，ht是已知函數(shù)，而且ft，gt，ht的傅里葉變換存在。 解 設(shè)Fgt=G()，F(xiàn)ht=H()。由定義1.2.6（卷積）可 知，方程右端第二項(xiàng)=ft*gt。故 對(duì)方程兩邊取傅里葉變換， 根據(jù)卷積定理可得：G=H+FG， 所以G=H1-F。 求出原方程的解：gt=12-+Ge-jtd=12-+H1-Fe-jtd例2.3.3求微分積分方程axt+bxt+c-txtdt=h(t) 的解，其中-t+，a，b，c均為常數(shù)， h(t)為已知函數(shù)解 根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)2.1.1（線性

11、性質(zhì)），性質(zhì)2.1.3（微分性質(zhì)），性質(zhì)2.1.4（積分性質(zhì)），且記Fxt=X，F(xiàn)ht=H()對(duì)原方程兩邊取傅里葉變換：ajX+bX+cjX=H(),X=H()b+ja-c.而上式的傅里葉逆變換為xt=12-+Xejtd=12-+Hb+ja-cejtd2.3.2解偏微分方程例2.3.4（一維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題） 用傅里葉變換求定解問(wèn)題：2ut2=2ux2， -x0u|t=0=cosx， ut|t=0=sinx， 解 由于未知函數(shù)u(x,t)中x的變化范圍為(-，+)， 故對(duì)方程和初值條件關(guān)于x取傅里葉變換，記Fux，t=U，t，F(xiàn)2ux2=(j)2U，t=-2U，t，F(xiàn)2ut2=2t2Fux，

12、t=d2dt2U，t，F(xiàn)cosx=+1+-1，F(xiàn)sinx=j+1-1。 定解問(wèn)題已經(jīng)改變?yōu)榍蠛瑓⒆兞康某踔祮?wèn)題：d2Udt2=-2U，U|t=0=+1+-1，dUdt|t=0=j+1-1。 U，t是一個(gè)關(guān)于t：U，t=c1sint+c2cost。 由初值條件可知：c1=j+1-1，c2=+1+-1。 因此初值問(wèn)題的解為：U，t=j+1-1sint+1+-1cost=cost+jsint+1+cost-jsint-1。 對(duì)上面的解取傅里葉逆變換，根據(jù)性質(zhì)2.2.4（函數(shù)的篩選性質(zhì)） 原定解問(wèn)題的解為： ux,t= F-1U，t=12-+cost+jsint+1+cost-jsint-1e-jtd

13、=sintejx-e-jx2j+costejx+e-jx2=sintsinx+costcosx=cos(t-x)3.拉普拉斯變換的性質(zhì)及應(yīng)用3.1拉普拉斯變換的性質(zhì) 性質(zhì)3.1.1（存在性） 假如在0,+)這個(gè)區(qū)間上f*(t)可以滿足如下的條件： (1)在任意的一個(gè)有限的區(qū)間上面f*(t)分段連續(xù)； (2)M0，M是常數(shù)，c00，使得f*(t)c0上，0+f*(t)e-st存在，由這個(gè)積分確定的Fs解析。 性質(zhì)3.1.2（線性性質(zhì)） 設(shè)k1，k2是常數(shù)，Lf1t=F1s，Lf2t=F2s，則：Lk1f1t+k2f2t=k1F1s+k2F2s.Lk1F1s+k2F2s=k1f1t+k2f2t.

14、性質(zhì)3.1.3（微分性質(zhì)）若Lft=Fs，且f(n)(t)連續(xù)，則：Ldftdt=sFs-f0 (Re sc).更一般的，nZ+，有：Lfnt=snFs-sn-1f0-sn-2f0-fn-10 (Re sc) 更一般的，nZ+，有：Lfnt=snFs-sn-1f0-sn-2f0-fn-10- 證明 由拉普拉斯變換的定義，分部積分法得： Ldftdt=0+dftdte-stdt =fte-st|+0+s0+fte-stdt =limt+fte-st-f0+sFs =sFs-f0 性質(zhì)3.1.4（積分性質(zhì)）若Lft=Fs，則：L0tftdt=Fss。 證明 令ht=0tftdt，則ht=ft，h0

15、=0，則：Lht=sLht-h0=sLht，L0tftdt=1sLft=Fss。 性質(zhì)3.1.5（延遲性質(zhì)）若Lft=Fs，t0時(shí)ft=0，則0，為常數(shù)，有：Lft-=e-sFs 定理3.1.1（卷積定理） 如果F1s=Lf1t，F(xiàn)2s=Lf2t，那么Lf1t*f2t=F1sF2s 或者L-1F1sF2s=f1t*f2t 證明 由定義有：Lf1t*f2t=0+f1t*f2te-stdt =0+0tf1f2t-de-stdt 由于二重積分絕對(duì)可積，可交換積分次序：Lf1t*f2t=0+f1+f2t-e-stdtd 令t-=u：+f2t-e-stdt=0+f2ue-su+tdu =e-sF2s 故

16、：Lf1t*f2t=0+f1e-sF2sd =F2s0+f1e-sd =F1sF2s3.2應(yīng)用 3.2.1解線性微分方程（組） 例3.2.1（線性微分方程） 求y+y=ut-b (b0)滿足初始條件y0=y0 的特解解 對(duì)方程兩端取拉普拉斯變換，得像方程sYs-y0+Ys=1se-bs于是Ys=e-bss(s+1)+y0s+1取逆變換，得yt=1-e-(t-b)ut-b+y0e-t =y0e-t， 0t0，n0) 滿足x0=x0=0的解 解 由性質(zhì)3.1.3（微分性質(zhì)）可知Ltx=-ddsLx =-ddss2Xs-sx0-x0 =-2sXs-s2Xs 對(duì)原方程兩邊做拉普拉斯變換得：s2Xs+1

17、+ns-1Xs=0 解這個(gè)分離變量方程：Xs=csn+1e-1s 將Xs展開為收斂的冪級(jí)數(shù)，而后逐項(xiàng)取拉普拉斯變換：xt=ctn2Jn(2t)4.傅里葉變換和拉普拉斯變換的關(guān)系對(duì)于函數(shù)，設(shè)時(shí)，f(t)0,當(dāng)足夠大時(shí)，函數(shù)即Ffte-t=-+fte-te-itdt=0+fte-(+i)tdt再根據(jù)傅立葉逆變換可得fte-t=12-+Ffte-te-itd記s=+i，F(xiàn)(s)=Ffte-t，注意到ds=id，于是可得Fs=0+fte-stdt，ft=12i-i+iF(s)estds當(dāng)Res=0，實(shí)際上就是的傅里葉變換，所以在一些時(shí)候把傅引入的緣故是：不一而fte-t在足夠大時(shí)能夠符合傅里葉變換的條

18、件。的拉普拉斯變換的本質(zhì)是fte-t的傅里葉變換，對(duì)于 來(lái)說(shuō)，數(shù)（原函數(shù)乘以指數(shù)衰減函數(shù)項(xiàng)），分因子（ds=id），這種變換就是的拉普拉斯變換。注意這時(shí)s=+i，而是一個(gè)復(fù)數(shù)(包含頻率)的s。斯變換的特例，里葉變換要寬，總結(jié)本文先介紹了一些傅里葉變換的基礎(chǔ)知識(shí)，先后介紹了兩種不變換的性質(zhì)，對(duì)重要的性質(zhì)或定理進(jìn)行了證明，并且介紹了兩種變換的應(yīng)用，列舉了一些立體加以說(shuō)明，最后總結(jié)了一下兩種變換的關(guān)系。這兩種變換都具有線性性質(zhì)，微分性質(zhì)，積分性質(zhì)，卷積定理，等。都可以可用于解微分，積分方程。應(yīng)用十分廣泛，可以簡(jiǎn)化有些計(jì)算。兩種變換的相關(guān)理論應(yīng)用是一個(gè)廣泛的領(lǐng)域，將來(lái)可能會(huì)有更多精彩的應(yīng)用，希望大家通過(guò)這篇論文，對(duì)進(jìn)一步研究這兩種變換產(chǎn)生興趣，將它們運(yùn)用到更多地方。參考文獻(xiàn)1蘇變萍，陳東立.2010.復(fù)變函數(shù)