2006考研數(shù)一真題及解析課案

1、20062006年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題、填空題：1-6小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上xln (1 x)limx0 1 -cosx 微分方程y =_x)的通解是x 設匕是錐面 z 二，x2 y2 ( 0 二 z 豈 1)的下側，貝U 11 xdydz 2ydzdx - 3(z1)dxdy 二 點(2,1,0)到平面3x 4y 5z = 0的距離d =.(2 1 )設矩陣A=, E為2階單位矩陣，矩陣B滿足BA=阱2 E,則1-1 2 丿設隨機變量X與Y相互獨立，且均服從區(qū)間0,3上的均勻分布，則pmaxX,Y蘭 1=二、選擇題：9-14小題，每小題4分，

2、共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項 符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內 設函數(shù)y二f (x)具有二階導數(shù)，且 f (x)0, f (x)0 A x為自變量x在x0處的增量，L y與dy分別為f (x)在點x0處對應的增量與微分，若 Lx 0，則()(A) 0 : dx J y.(B) 0 y : dy.(C) Lly : dy : 0.(D) dy ：Lly : 0.(8) 1設f (x, y)為連續(xù)函數(shù)，則J4dBJJ0 J0f(rcosB,rsin 日)rdr 等于()(A) j02dxjxf (x, y)dy.(B) f02 dxj0f (x, y)dy.，舟 八

3、1 -y2J -y2(C)dy.f (x, y)dx.(D)dy。f(x, y)dx.QO(9)若級數(shù)E an收斂，則級數(shù)()n =1QOQO(A)送an收斂.(B)送(-1)nan 收斂.n =1nl162006(C anan 1收斂.(D)y別 學1收斂.n 4nJ 2(10)設f (x, y)與(x, y)均為可微函數(shù)，且y(x, y)=0.已知(x0, y0)是f (x, y)在約束條件x, y) =0下的一個極值點，下列選項正確的是()(A) 若 fx(x,y)=0，則fy(x,y)= 0.(B) 若 fx(x,y)=0，則fy(x,y)= 0.(C) 若 fx(x,y)=0，則fy

4、(x,y)=0.(D) 若 fx(x,y)=0，則fy(x,y)=0.(11)設ai, a2 J H, as均為n維列向量,A是m n矩陣，下列選項正確的是()(A)若a,a2,IH,as線性相關，則A, Aa?, HI, Aas 線性相關.(B)若Q,a2,IH,as線性相關，則Aq, Aa2,HI, Aas線性無關.(C)若q,a2,川，as線性無關，則Aa1, Aa2, HI, Aas 線性相關.16(D)右 a1, a2 J H, as線性無關，Aai, Aa2,1 i I, Aas 線性無關.(12)設A為3階矩陣,A的第2行加到第1行得B，再將B的第1列的-1倍加到第2列得C，記P

5、二，則()(A) c =PAP.(B) C =PAP (C) c =ptap.(D) C =PAPT.(13)設A, B為隨機事件，且P(B) 0, P(A|B) =1，則必有()(A) P(A B) P(A).(B) P(A 一 B) P(B).(C) P(A B) =P(A).(D) P(A B) = P(B).(14)設隨機變量X服從正態(tài)分布N(7,J) , Y服從正態(tài)分布N02,二2)，且P| x - 7卜：1 P|Y2l 5 則必有()(A) f CT2.(B2i X2.(C) 7 2.(D)叫 2.三、解答題：15-23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字

6、說明、證明過程或演算步驟(15)(本題滿分10分)設區(qū)域Dx，y X2 ySl，X-g 計算二重積分 D?jx7dxdy.(16)(本題滿分12分)設數(shù)列 * ?滿足0 ： % ：二，x_.彳 二sinXpn= 1,2,.計算lim仏 nxl入n1(I)證明lim xn存在，并求該極限(II)(17)(本題滿分12分)將函數(shù)f x =x2 x -x2展開成x的幕級數(shù)(18)(本題滿分12分)設函數(shù)f u在0, ：內具有二階導數(shù),且z = f x x2 y2滿足等式2-2:z ： z 72- 2；x:y-0(I) 驗證f u 丄乂二0. u(II)若f 1 =0, f 1 =1,求函數(shù)f u的表

7、達式.(19)(本題滿分12分)設在上半平面 D=lx,y y 0內,函數(shù)f x, y是有連續(xù)偏導數(shù),且對任意的t 0 都有 f tx, ty 二 t f x, y .證明：對 D內的任意分段光滑的有向簡單閉曲線L ，都有Lyf x, y dx -xf x,y dy =0L(20)(本題滿分9分)IX| x2X3 X4 - -1已知非齊次線性方程組4為 3x2 5x3 - & = -1有3個線性無關的解axix2 3x3bx4 = 1(I) 證明方程組系數(shù)矩陣 A的秩r A =2;(II) 求a, b的值及方程組的通解.(21)(本題滿分9分)設3階實對稱矩陣 A的各行元素之和均為3,向量ot

8、 1 =(1,2,1。2 = (0,1,1)丁是線性方程組 Ax = 0的兩個解(I) 求A的特征值與特征向量(II) 求正交矩陣Q和對角矩陣上,使得QTAQ二(22)(本題滿分9分)隨機變量x的概率密度為121fx(X40,-1 ： x ： 00 乞 x ： 2其他令y=X2,F x, y為二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù).求 (1 )(I) Y 的概率密度 fY(y)； (II)F. ,4 .I 2丿(23)(本題滿分9分)T ,0 ： X ： 1|設總體X的概率密度為 f x,0 = 1 - 71,1 _ x ： 2其中二是未知參數(shù) 0 ： v : 1 .【0,其它X1,X2.,Xn為來

9、自總體X的簡單隨機樣本，記N為樣本值為山2.,人中小于1的個數(shù)，求 二的最大似然估計.2006年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題解析一、填空題【答案】2.1【詳解】由等價無窮小替換，x)0時，In(1 X)L X,1 -cosxx2，2xl n(1 x)1 - cosx=2(2)【答案】Cxe *.【詳解】分離變量，dy y(1-x)Fdx xdyy3=(_1)dx=3=dx- dxy xy x=Tn y = In x - x c = eIn yln x-x亠cxe 二 y = Cxe(3)【答案】2二【詳解】補一個曲面耳:彳,2 +y2 蘭 1z-1取上側，則三組成的封閉立體滿足高斯公式

10、,)dv =Pdydz Qdzdx Rdxdy= I；z匚三:P : Q : R設 P 二 x,Q 二 2y,R 二3(z1)，U 工上=1 2 3 =6 ex cy cz I ： ii i6dxdydzr1為錐面=和平面二所圍區(qū)域)=6V( V為上述圓錐體體積)Q注：以下幾種解法針對于不同的方法求圓錐體體積V1=62二(高中方法，圓錐的體積公式，這種方法最簡便)3I ixdydz 2ydzdx 3(z T)dxdy = 0 ( t 在上：z = 1,dz = 0) I先二重積分，后定積分1 因為 V = Sdz, r = fx2 y2 ,0方法1：方法2：2 2 2 2r = z , Sr

11、二二 z.1 o 1 o 所以 Vrz2dzhz2從而I =6V31二 6 二 2_3方法3:利用球面坐標.z=1在球坐標下為：1，cos日2二小 4d 礦62sin d 二7J0*02d佰nL00 cos32n(-2) d-；d cos0 cos31丄(-2)。ECgcos方法4:利用柱面坐標.2兀1“ 00dr r6rdZ2 二16 小(1-r)rdrfc0P2 兀1213“0叫弓2 二d2【答案】、2【詳解】代入點 P(xo,yo, Z0)到平面Ax By Cz= 0的距離公式AX0 By0 CZ0 D、A2B2 C2、9 16 25【答案】2【詳解】由已知條件BA二B 2E變形得,BA

12、 2E = BB(A_ E) =2E ,兩邊取行列_2 11 _1 01 _1 1A-E =-12 一0 1 -*1三-11=2， 2E=22EB(A -E)=2E=4 E =4其中,=4因此,2EA-E=2.【答案】19【詳解】根據(jù)獨立性原理：若事件 A,IH,An獨立，則pa riA2n門人=卩八卩人沖認2006事件fmaxX,Y空心-X空1,丫空1 -X空1門丫空1，而隨機變量 X與Y均服從區(qū)間0,3上的均勻分布，有P(X l! =又隨機變1 1 1 . , 1 1 1 dx 和 P1Y 遼 1dy =-0 330 33量X與Y相互獨立，所以,111Pmax(x,y) z1； = P：x

13、 乞 1,Yz1.； = Ptx 乞 1 P1Y 乞 1；=沁 -3 39二、選擇題【答案】A【詳解】方法1: 圖示法.因為f(x)A0,則f(x)嚴格單調增加；因為f”(x)0,則f(x)是凹函數(shù)，又|_x 0，畫f (x) = x2的圖形結合圖形分析，就可以明顯得出結論：0 :： dy 1 y .方法2：用兩次拉格朗日中值定理_ y dy = f (冷 +x) - f(X。)一 f (x0)x (前兩項用拉氏定理)=f ( )Llx - f (Xo)Lx(再用一次拉氏定理)二 f ( )-x0x, 其中 X。： X。Lx, x0 : 由于 f (x) 0 ,從而 LI y -dy - 0.

14、又由于 dy 二 f (x0)Lx - 0，故選A方法3：用拉格朗日余項一階泰勒公式.泰勒公式：f (x) - f (xg) f (Xo)(X-X)f (X0)(xX0)2 川 f 血(X-X)n Rn，2!n!其中Rn(n 1)(X)(n 1)!n(x -人).此時n取1代入，可得1:y-dy = f (x0 ： =x) - f (x0) - f (x0) ：x f ( )C ：x)20又由 dy = f (x0) ：x 0，選(A).(8)【答案】(C)1【詳解】記q4 d of(rcosv,rs in Rrdr =f(x,y)dxdy，則區(qū)域D的極坐標表示是:DJT0乞r 1 , 0.題

15、目考察極坐標和直角坐標的互化問題，畫出積分區(qū)間，結合圖4形可以看出，直角坐標的積分范圍(注意 y=x與x2 y2=1在第一象限的交點是2-y16所以，原式jdyf(x,y)dx.因此選(C)(9)【答案】D【詳解】方法1:數(shù)列收斂的性質：收斂數(shù)列的四則運算后形成的新數(shù)列依然收斂OQqQqq因為an收斂，所以二歸也收斂，所以(a. an1)收斂，從而n：1(1)n方法2：記為 .，則7 an收斂.dn心1Z anan= L /( P 級數(shù)，n=1n =1、nn 1n：1QO 但 an =送1，( P級數(shù)，p= 1級數(shù)發(fā)散)； n 呂. n2p =1級數(shù)發(fā)散)均發(fā)散。由排除法可知，應選D.(10)

16、【答案】D【詳解】方法1:化條件極值問題為一元函數(shù)極值問題。已知(心丫。)=0，由(x,y) = 0 ,在(心丫。)鄰域，可確定隱函數(shù) y = y(x)，滿足 y(x) =y。，(冷0)是f (x, y)在條件 (x z = f (x, y(x)的極值點。它的必要條件是 打(人”0)丄瞬(x。，y。) dy = r -jx) 下的一個極值點=x0是dzdxx :0.:ydx= fx(x0,y0)-fy(x0,y。)0xXy。)：(人，y。)若 fx(x0,y)=0,則 fy(X0,y)=O，或：；(心丫0)二0，因此不選(A)，(B).若 fx(x0，y)，則-J fySS否則d；-0).X之

17、0因此選(D)方法2：用拉格朗日乘子法引入函數(shù) F (x, y, J = f (x, y) W(x, y)，有Fx = fx(x,y) x(x,y) =0(1)Fy = fy(x,y) J(x,y) =0F.(x,y) =0fy(x,y。)x(x, y。)fxgy。）因為口“0，所以一一以，代入得y(x0，y。)若 fxy。），則 fy（x,y。）=0，選（D）（11）【答案】A【詳解】方法1 :若1,2川1,亠線性相關,則由線性相關定義存在不全為0的數(shù)ki*2 ,|,ks使得K：i k2： 2 IH 人：s = 0為了得到 A1,A 2JH,A s的形式，用A左乘等式兩邊，得 KA： k2A

18、： 2 IH ksA： s =0于是存在不全為0的數(shù)匕也川山使得成立，所以 AA： 2,111, A s線性相關. 方法2 :如果用秩來解，則更加簡單明了 .只要熟悉兩個基本性質，它們是：1.冷，2,川，亠線性相關二（1，： 2，川，：s） ： s； 2. r（AB） ：r（B）. 矩陣（A：1，A： 2,川,A： s） = A（： 1, ： 2，UI，： s），設 B = （：1，： 2，川，：s），則由r（AB） : r（B）得 r（A： 1, A：匕，川,A：丄）汀（：1, ： 2,11s） ： s.所以答案應該為（A）.（12）【答案】B【詳解】用初等矩陣在乘法中的作用（矩陣左乘或右乘

19、初等矩陣相當于對矩陣進行初等行變 換或列變換）得出巾1 0 將A的第2行加到第1行得B，即B = 010 A 記 PA0 0 b0 記 BQ1將B的第1列的-1倍加到第2列得C，即C = B 01.0010、廣1-10因為PQ =010010=E，故 Q = PE =PL001i001從而 C 二 BQ 二 BP 二 PAP J ,故選(B).(13)【答案】C【詳解】本題考條件概率的概念和概率的一般加法公式P AB)根據(jù)條件概率的定義，當 P(B) . 0時，PAB1得PAB”；=：PfB；PB根據(jù)加法公式有 PAUbI 二PB? -PIabI 二 PA?,故選(C)(14)【答案】A.【詳

20、解】由于X與Y的分布不同，不能直接判斷P| X - r I :： 1和P| Y卜：1的大小與參數(shù)關系如果將其標準化后就可以方便地進行比較了。X _卩隨機變量標準化，有1 N(0,1)，且其概率密度函數(shù)是偶函數(shù).所以P(X片 1)=P(X - 11-1c) =2P0v=2:(丄)一：(0) = 2：(丄)1. G |1G同理有，P(Y-丄21：1)=2譏)一1 a2因為G(x)是單調遞增函數(shù)，當P| X - 叫卜：1 P|Y2 卜 1時，1 111江2，故選(A).2譏 )-12譏 )-1，即，所以二1-2-1-2二1_三、解答題(15)【詳解】積分區(qū)域對稱于 x軸，一xy y為y的奇函數(shù),1

21、+ X2 + y從而知JJ； + 訂 Rxdy -0 d 1 +x +y所以11rTTTT1 = JJ22dxdy極坐標2衛(wèi)日 J2 dr = In (1 + r)0= ln 2D1+x2+y2弓01+r2202(16)【詳解】(I)由于 0 x ：二時，0 ： sin x ： x，于是 0 ： xn d = sin xn _ 人，說明數(shù)列：xn /單調減少且xn.0.由單調有界準則知lim xn存在.記為A.nC遞推公式兩邊取極限得A = si nA,. A = 01sin xn 7小(II) 原式=lim(-) n，為 “ 1-” 型.沖 x因為離散型不能直接用洛必達法則,sint ；.1

22、，-,sint、lim 丄 L 憎 Mnt) t 02t si ntt=e t所以(17)由于t cost -sint lim02t31X 飛lim(=lim(n廠xnn廠 xcost -ts in t -cost lim=eL_0sin x,1 ：n、x：6t2lim二 et 0-si nt6t1sin x -2)x 二ex11 ax1 1 1 1=_ + I =2 x -x(1 - x)(2 -x) 3 1 x 2 -x 3【詳解】用分解法轉化為求的展開式，而這是已知的n3、(-1)nxn 令(x 1)3 n =06 n =0 2因此f (x)二(x 1).(18)【詳解】(I)由于題目是

23、驗證，只要將二階偏導數(shù)求出來代入題目中給的等式就可以了:z:xf F 2=q2:zc 2 -x 2f ,x2 y22x 2 fx2 y2(x +y ) 2ff c2y_ “ 2 2 3 2 (x2+y2)同理 2X2X_2 2代入所以.2 _2驚+驚=0，得f .xyf (u) 亠0成立 uX2 y2f (i_22)=0，x2y2f (u)(II) 令f (u)二p于是上述方程成為dpdudp，則upduc , u即 In p = -Inu +c，所以f (u)二 p；f、.x2 y2 y -7因為f (1)=1，所以c又因為f (1) =0，所以c2 = 0，得 f (u) = In u(1

24、9)【詳解】方法 1： 把 f (tx,ty) =t(x,y)兩邊對 t 求導，得：xfx(tx,ty) yfy(tx,ty)二-2tf(x, y) 令 t ，則 xfx(x,y) yfy(x,y) - -2f (x,y)；再令 P=yf(x, y), Q - -xf(x, y)，F(xiàn)QFP所以 一 = - f (x, y) -xfx(x, y)， 一 = f (x, y) yfy (x, y)x；:y得 衛(wèi)二蘭，所以由格林公式知結論成立.excy方法2：D是單連通區(qū)域，對于 D內的任意分段光滑簡單閉曲線 L,】為D內的一曲線J yf (x, y)dx -xf (x, y)dy = 0= yf

25、(x, y)dx-xf (x, y)dy在D內與路徑無關r二.(xf(x,y) = _ (yf(x,y)(x,y)=D)x:x二 xfx(x, y) yf (x, y) 2f (x, y) =0 (x, y) D)同方法1，由f(tx,ty)二tf(x,y)可證得上式.因此結論成立.1(20)【詳解】(I)系數(shù)矩陣A二-1未知量的個數(shù)為 n = 4，且又AX =b有三b個線性無關解，設宀，：,：/是方程組的2,3個線性無關的解,貝U 2 -3 -1是AX = 0的兩個線性無關的解.因為：.2 -宀宀-宀線性無關又是齊次方程的解，于是AX =0的基礎解系中解的個數(shù)不少于 2,得4r(A)_2,從

26、而r(A)乞2.又因為A的行向量是兩兩線性無關的 ,所以r(A)_2.所以r(A) =2.(II)對方程組的增廣矩陣作初等行變換1Ab =4I-1I1I -1 1I 3|1 a-54 2a4a b 5|4-2a即 a =2, b由 r(A)=2，得 4一2X| = 2 _2x3 4x4 x2 = -3 x35x4、4a +b _5 = 0-102-4|2 1所以Ab作初等行變換后化為；0-1-15H3i000 0|。它的同解方程組中令x3 =0,x4 =0求出AX -b的一個特解(2, -3,0,0)t ；AX =0的同解方程組是 為一 2x3 4x4 兇=X3 5X4取 X3 =1,x0,代

27、入得(-2,1,1,0)t ；取 X3 =0,X4 =1,代入得(4,-5,0,1)t.所以AX =0 的基礎解系為(-2,1,1,0)丁 , (4,-5,0,1)丁所以方程組AX二b的通解為:(2, 3,0,0)t +q(2,1,1,0)t +(4,5,0,1)t，q為任意常數(shù)(21)【詳解】(I)由題設條件 Ar=0=0r ,A2=0 = 02，故ST是A的對應于，=0的特征向量，又因為 冷，2線性無關，故，=0至少是A的二重特征值.又因為A的每行元素之和為3，所以有 A(1,1,1)= (3, 3,3(1,1,1由特征值、特征向量的定義，：0 =(1,1,1)T是A的特征向量，特征值為3

28、=3， 3只能是單根，k3o,k3 = 0是全體特征向量，從而知=0是二重特征值于是A的特征值為 3,0,0 ;屬于3的特征向量：k33,k3 =0 ;屬于0的特征向量：kvk2 _：2， k ,k2 不都為 0 .(n)為了求出可逆矩陣必須對特征向量進行單位正交化 先將：-0單位化，得0 =(乜，5,遼)T.333得 1 =（0, 一乎,乎）T, 2=（i3 0 0、 作QCVd）,則Q是正交矩陣，并且QtAQ=Q-1AQ =0 0 0（0 0 0 ?(22)【詳解】fY(y)二FY(y),由于fx(X)是分段函數(shù)，所以在計算P；X2 時，要相11 1應分段討論求F( ,4)=P(X，丫乞4

29、)=P(X ,X2乞4),只是與X有關，不2 2 2必先求出F (x, y)的函數(shù).(I) 因為 Fy(y)二 PY 乞 yl 二 PX2 乞 y?，當 y ： 0時，F(xiàn)Y(y)=0；當0乞y ：1時,當1 y ：4時,FY（y）G）_y2FY（y）01y 1。0嚴_0 1y 1P（y EXy） = y Jx0 Jx =當 y-4時，F(xiàn)Y(y)=1；綜上所述，有0,FY(y)二 PY my = PX21,由概率密度是分布函數(shù)在對應區(qū)間上的的微分，所以,38曲fY(y)=F(y)“18, y0,0 y : 11 三 y ： 4 其他這個解法是從分布函數(shù)的最基本的概率定義入手, 題型.y : 00y： 11 y 44 _ y對y進行適當?shù)挠懻摷纯桑?屬于基本(n )由協(xié)方差的計算公式 cov(X,Y) =cov(X,X2) =E(X3) -E(X) E