解讀軸向拉壓變形的原理

1、秦飛秦飛 編著編著材料力學材料力學PPT PPT 講義講義 Axial Deformation 解讀軸向拉壓變形的原理 解讀軸向拉壓變形的原理 2 3.1拉壓桿的軸向變形與橫向變形拉壓桿的軸向變形與橫向變形 3.2 變形計算的疊加原理變形計算的疊加原理 3.3 桁架的節(jié)點位移桁架的節(jié)點位移 3.4 拉壓桿靜不定問題拉壓桿靜不定問題 *3.5 熱應力與預應力熱應力與預應力 解讀軸向拉壓變形的原理 3 EA為拉壓剛度，只與材料和橫截面面積有關。為拉壓剛度，只與材料和橫截面面積有關。 l l : : EA F E N ： EA lF l N 所以得到：所以得到： （拉壓桿胡克定律）（拉壓桿胡克定律）

2、 EA lF l N 解讀軸向拉壓變形的原理 4 EA lF l N l l EA F)( N lkF F l EA k 可見，拉壓桿可類比于彈簧常數(shù)為可見，拉壓桿可類比于彈簧常數(shù)為k的彈簧。的彈簧。 彈簧常數(shù)彈簧常數(shù) 剛度系數(shù)剛度系數(shù) 解讀軸向拉壓變形的原理 5 x xEA xF l l d )( )( 0 N 軸力軸力FN和橫截面積和橫截面積A沿軸線變化情況沿軸線變化情況 可在桿軸線坐標為可在桿軸線坐標為x 處截取微段處截取微段dx，該微段可看作軸力為，該微段可看作軸力為 FN(x)的等截面的等截面(A(x)直桿，其變形量為：直桿，其變形量為： )( d)( )(d N xEA xxF l

3、 積分：積分： 解讀軸向拉壓變形的原理 6 橫向變形與泊松比橫向變形與泊松比 在彈性變形范圍內，橫向應變在彈性變形范圍內，橫向應變 與軸向應變與軸向應變 之間存在之間存在 以下關系：以下關系： 拉壓桿發(fā)生軸向變形的同時，橫向上也發(fā)生變形拉壓桿發(fā)生軸向變形的同時，橫向上也發(fā)生變形 由由a變成變成a1, 橫向變形量為橫向變形量為 橫向正應變?yōu)闄M向正應變?yōu)? 1 aaa a a 為材料常數(shù)，稱為泊松比為材料常數(shù)，稱為泊松比(Poissons ratio)，一般一般 =(0=(00.5)0.5) （負號什么意思？）（負號什么意思？） )1 (2 E G 解讀軸向拉壓變形的原理 7 圖示等直桿圖示等直桿

4、, ,試計算下面三種情況下試計算下面三種情況下A截面截面 的位移：的位移： （1）不考慮桿的自重，不考慮桿的自重， 僅在僅在A 端作用一集中力端作用一集中力F； （2）僅考慮桿的自重僅考慮桿的自重 （設材料密度為（設材料密度為，重力加速度為，重力加速度為g）；）； （3）考慮桿的自重和考慮桿的自重和A端作用力端作用力F。 解讀軸向拉壓變形的原理 8 解：解：(1)不考慮桿的自重，僅在不考慮桿的自重，僅在A A端作用一集中力端作用一集中力F EA Fl EA lF l N1）（ （2）僅考慮桿的自僅考慮桿的自重重 EA lW E lg x EA gAx x EA xF l ll )2/( 2 d

5、d )( 2 00 N2 ）（ 0)( N AxgxF 根據(jù)平衡條件：根據(jù)平衡條件： 即：即：0 x F 解讀軸向拉壓變形的原理 9 3 N 00 2 ( )() dd () g 2 2 ll FxFgAx lxx EAEA W Fl Fll EAEEA （ ） 積分得積分得A A截面的位移為：截面的位移為： AxgFxF)( N （3）考慮桿的自重和考慮桿的自重和 F 共同作用，共同作用， x 截面軸力為截面軸力為 ： （桿自（桿自重的一半）重的一半） W/2 解讀軸向拉壓變形的原理 10 高強鋼制成的起重機圓形截面桿，主要承受軸向壓力，已知高強鋼制成的起重機圓形截面桿，主要承受軸向壓力，已

6、知 直徑直徑 d=60 mm，E=200GPa，v=0.30。工作時要求桿的直徑。工作時要求桿的直徑 d60.02mm，試問允許的最大軸向壓力是多少？試問允許的最大軸向壓力是多少？ 解解：（：（1）變形前后桿的直徑改變量為：變形前后桿的直徑改變量為： mm02. 0 1 ddd 桿的橫向應變?yōu)椋簵U的橫向應變?yōu)椋?4 1033. 3 d d 解讀軸向拉壓變形的原理 11 3 1011. 1 （3）計算軸力計算軸力 由胡克定律，得桿的軸力由胡克定律，得桿的軸力 N627372 4 2 N d EAF 所以，桿工作時的最大軸向壓力不能超過所以，桿工作時的最大軸向壓力不能超過627.37kN （2）計

7、算桿的軸向應變計算桿的軸向應變 解讀軸向拉壓變形的原理 12 桿桿AC同時承受軸向載荷同時承受軸向載荷F1與與F2的作用，計算桿的總變形量。的作用，計算桿的總變形量。 設設AB與與BC段的軸力分別為段的軸力分別為FN1與與FN2，均為拉力，則由，均為拉力，則由 截面法得截面法得: 21N FF 212N FFF 解讀軸向拉壓變形的原理 13 EA lF EA lF lAB 1211N EA llF EA lF EA lF EA lFF lll BCABAC )()( 2122112221 所以，桿所以，桿AC 的總變形為的總變形為: AB與與BC段的軸向變形分別為段的軸向變形分別為: EA l

8、FF EA lF lBC 22122N )( 解讀軸向拉壓變形的原理 14 幾個載荷同時作用產生的總變形，等于各載荷單獨作用產幾個載荷同時作用產生的總變形，等于各載荷單獨作用產 生的變形的代數(shù)和生的變形的代數(shù)和, ,這一規(guī)律稱為疊加原理。這一規(guī)律稱為疊加原理。( (適用小變形并滿適用小變形并滿 足胡克定律的桿件）足胡克定律的桿件） 1 2212 () AC FlF ll l EAEA F1單獨作用單獨作用F2單獨作用單獨作用 解讀軸向拉壓變形的原理 15 桁架結構，桿桁架結構，桿AB和和BC拉壓剛度拉壓剛度EA 相同，如何計算節(jié)點相同，如何計算節(jié)點B 的水平位移的水平位移 和鉛垂位移？和鉛垂位

9、移？ 解：（解：（1）計算各桿的軸力計算各桿的軸力 B點的靜力平衡方程為點的靜力平衡方程為 045cos0 N1N2 FFFx： 045sin0 N2 FFFy： FFFF2 N2N1 ，解得解得 解讀軸向拉壓變形的原理 16 （2）計算各桿變形計算各桿變形 AB桿變形：桿變形： EA Fa EA lF l 1N1 1 BC桿變形：桿變形： EA Fa EA aF EA lF l 2)2)(2( 2N2 2 （伸長）（伸長） （伸長）（伸長） 解讀軸向拉壓變形的原理 17 B 1 2 （3）求節(jié)點求節(jié)點B的位移：確定變形后的位移：確定變形后B B的位置的位置 2 l 1 l B 以以A A 為

10、圓心，變形后為圓心，變形后 1 1桿長為半徑作圓弧桿長為半徑作圓弧 以以C C 為圓心，變形后為圓心，變形后 2 2桿長為半徑作圓弧桿長為半徑作圓弧 兩圓弧交點即為變形兩圓弧交點即為變形 后后B B 的位置。的位置。 解讀軸向拉壓變形的原理 18 B 1 2 （3）求節(jié)點求節(jié)點B的位移：確定變形后的位移：確定變形后B B的位置的簡便方法的位置的簡便方法 -切線代替圓弧切線代替圓弧 2 l 1 l B 過變形后過變形后1 1桿端點作桿端點作 其垂線其垂線 兩垂線交點即為變形兩垂線交點即為變形 后后B B 的位置。的位置。 過變形后過變形后2 2桿端點作桿端點作 其垂線其垂線 解讀軸向拉壓變形的原

11、理 19 2 1 tan45(12 2)( ) sin45 By lFa BBl EA B點鉛垂位移：點鉛垂位移： B點水平位移：點水平位移： )( 11 EA Fa lBB Bx （3）求節(jié)點求節(jié)點B的位移：的位移： 切線代圓弧切線代圓弧+ +輔助線輔助線 切線代圓切線代圓 弧弧 解讀軸向拉壓變形的原理 20 圖示托架，由橫梁圖示托架，由橫梁AB與斜撐桿與斜撐桿CD所組成，并承受集中載荷所組成，并承受集中載荷 F1與與F2的作用。試求梁端的作用。試求梁端A點的鉛垂位移點的鉛垂位移Ay。斜撐桿。斜撐桿CD為為 鋁管鋁管,設橫梁為剛體。設橫梁為剛體。 已知：已知： F1=5 kN F2=10 k

12、N l=1 m CD桿：桿：E=70 GPa A=440mm2 解讀軸向拉壓變形的原理 21 解：（解：（1）計算）計算CD 桿的軸向變形桿的軸向變形 12N, 0:2sin300 BCD MFlF lFl N104 30sin 2 421 ,N FF F CD（壓縮）（壓縮） 由靜力平衡方程由靜力平衡方程 解讀軸向拉壓變形的原理 22 CD 桿的軸向變形為桿的軸向變形為 m015.00 30cos N EA lF l （縮短）（縮短） A 點的鉛垂位移點的鉛垂位移 mm06 60cos 2 2. l =CC=AA=Ay （2）計算）計算C點的豎直位移點的豎直位移 60cos/ lCC 解讀軸

13、向拉壓變形的原理 23 平平未未 nn 靜定問題靜定問題 平平未未 nn 靜不定問題靜不定問題 解讀軸向拉壓變形的原理 24 概念概念 （1）靜定問題）靜定問題(statically determinate problem)僅用靜力僅用靜力 平衡方程就能平衡方程就能 求出全部未知力。求出全部未知力。 實質：未知力的數(shù)目等于靜力平衡方程的數(shù)目。實質：未知力的數(shù)目等于靜力平衡方程的數(shù)目。 （2）靜不定問題）靜不定問題(statically indeterminate problem)僅用僅用 靜力平靜力平 衡方程不能求出全部未知力。（超靜定問題）衡方程不能求出全部未知力。（超靜定問題） 實質：未知

14、力的數(shù)目多于靜力平衡方程的數(shù)目。實質：未知力的數(shù)目多于靜力平衡方程的數(shù)目。 解讀軸向拉壓變形的原理 25 基本步驟：基本步驟： （1）靜力平衡方程）靜力平衡方程(static equilibrium equation ) (2)補充方程補充方程-變形協(xié)調方程變形協(xié)調方程(compatibility equation) cos:0 21NNx FFF FFFF NNy 32 :0 3 21 sintan l ll 解讀軸向拉壓變形的原理 26 33 33N 3 22 22N 2 11 11N 1 , AE lF l AE lF l AE lF l （3）物性（物理）關系）物性（物理）關系 （4）

15、聯(lián)立求解）聯(lián)立求解 2 33 3 22 2 2 11 1 sincos AE F AE F AE F NNN tan,cos/, 321 llllll 解讀軸向拉壓變形的原理 27 AD 段為鋼桿，段為鋼桿， 解：（解：（1）桿）桿AB的靜力平衡方程的靜力平衡方程 0 21 FFF （2）變形協(xié)調方程）變形協(xié)調方程 0 DBCDAC lll DB 段為銅桿，段為銅桿， 24 1 mm102AGPa210 1 E 試求上、下端反力及各段橫截面上的應力。試求上、下端反力及各段橫截面上的應力。 24 2 mm101AGPa100 2 EF = 1000 kN 解讀軸向拉壓變形的原理 28 （3）由胡

16、克定律）由胡克定律 11 1 AE aF lAC 11 2 AE aF lCD 22 2 2 AE aF lDB 0 2 22 2 11 2 11 1 AE aF AE aF AE aF 21 4 . 9FF 代入變形協(xié)調方程代入變形協(xié)調方程 整理得整理得 解讀軸向拉壓變形的原理 29 （4）聯(lián)立求解）聯(lián)立求解 上端反力：上端反力： kN904 1 F 下端反力：下端反力： kN96 2 F （5）計算各段桿中的應力）計算各段桿中的應力 MPa2 .45 1 1 A F AC MPa8 . 4 1 2 A F CD MPa6 . 9 2 2 A F DB ( (拉拉) ) ( (壓壓) ) (

17、 (拉拉) ) ( (壓壓) ) ( (壓壓) ) 討論：如果開始時設討論：如果開始時設ACAC、 CBCB段均為拉力，該如何段均為拉力，該如何 求解？求解？ 解讀軸向拉壓變形的原理 30 支架各桿材料相同，支架各桿材料相同， F=10kN， 2 3 mm200A 試求各桿的軸力。試求各桿的軸力。 2 1 mm100A 2 2 mm150A 解讀軸向拉壓變形的原理 31 解解: (1)靜力平衡方程靜力平衡方程 30cos30cos:0 N3N2N1 FFFFx FFFFy 30sin30sin:0 N3N1 (2) 變形協(xié)調方程變形協(xié)調方程 30tan 30sin 30sin 30tan 23

18、12 llll 解讀軸向拉壓變形的原理 32 (3) 利用物性關系，用力表示變形協(xié)調方程利用物性關系，用力表示變形協(xié)調方程 1 N1 1 3 2 EA lF l 2 N2 2 EA lF l 3 N3 3 3 2 EA lF l 3 N3 1 N1 2 N2 3 2 3 23 A F A F A F N3N1N2 22FFF 代入變形協(xié)調方程代入變形協(xié)調方程 整理得整理得 解讀軸向拉壓變形的原理 33 kN45. 8845. 0 323 )31 (2 N1 FFF kN68. 2268. 0 323 3 N2 FFF kN53.11153. 1 323 )32(2 N3 FFF ( (拉拉)

19、) ( (拉拉) ) ( (壓壓) ) (4) 聯(lián)立求解聯(lián)立求解 解讀軸向拉壓變形的原理 34 剛性梁剛性梁AB受均布載荷受均布載荷q 作用，作用， A端鉸支，端鉸支，BD和和 CE為鋼桿。為鋼桿。 試校核鋼桿的強度試校核鋼桿的強度。 MPa170 2 mm200 DB A 2 mm4002 DBCE AA 解讀軸向拉壓變形的原理 35 解：解：(1) 靜力平衡方程靜力平衡方程 )2/3)(3()3()(:0 ,NN, aaqaFaFM BDCEA (2) 變形協(xié)調方程變形協(xié)調方程 CEDB LL3 (3) 用力表示變形協(xié)調方程用力表示變形協(xié)調方程 CE CE DB BD EA LF EA L

20、F)( 3 )8 . 1 ( N,N, 解讀軸向拉壓變形的原理 36 (4) 聯(lián)立求解聯(lián)立求解 N, 32.2 kN BD F ( (拉）拉） kN4 .38 N, CE F （壓）（壓） (5) 校核桿強度校核桿強度 MPa161 BN, DB D DB A F MPa96 N, CE CE CE A F 桿桿CE、DB均滿足強度要求。均滿足強度要求。 解讀軸向拉壓變形的原理 37 高為高為l的圓柱體，放置在剛性基礎上，中間為實心鋼圓柱體，的圓柱體，放置在剛性基礎上，中間為實心鋼圓柱體， 外圈為銅套筒。外圈為銅套筒。試計算：（試計算：（1 1）鋼柱和銅套筒中的應力；（）鋼柱和銅套筒中的應力；

21、（2 2） 組合圓柱體的變形組合圓柱體的變形。 解讀軸向拉壓變形的原理 38 解解:(1)靜力平衡方程靜力平衡方程 FFF CS (2)變形協(xié)調方程變形協(xié)調方程 SC (3)物性關系物性關系 SS S S AE lF CC C C AE lF 解讀軸向拉壓變形的原理 39 （4）聯(lián)立求解得）聯(lián)立求解得 )( CCSS SS S AEAE AE FF )( CCSS CC C AEAE AE FF CCSS S S S S AEAE E F A F CCSS C C C C AEAE E F A F （5）組合圓柱體的變形）組合圓柱體的變形 SC SSCC Fl E AE A 解讀軸向拉壓變形的

22、原理 40 討論：討論： （1）鋼柱和銅套筒中的應力比鋼柱和銅套筒中的應力比為為 表明多材料組合構件中彈性模量大的部分應力也大表明多材料組合構件中彈性模量大的部分應力也大。 SC SSCC Fl E AE A 比較比較發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)，在計算類似的多材料組合拉壓在計算類似的多材料組合拉壓 桿的變形量時，只需將拉壓剛度桿的變形量時，只需將拉壓剛度EA 換成各換成各 部分的拉壓剛度之和即可部分的拉壓剛度之和即可。 （2）變形量為）變形量為 EA lF l N 組合截面組合截面 CSCS /EE 解讀軸向拉壓變形的原理 41 討論：討論： （3）解靜不定問題的力法與位移法）解靜不定問題的力法與位移法 力法：

23、以力為未知量的解法。（前面用的方法）力法：以力為未知量的解法。（前面用的方法） 位移法：以位移為未知量的解法。位移法：以位移為未知量的解法。 S SS S l AE P C CC C l AE P （1 1）改寫物性方程：）改寫物性方程： （3 3）代入平衡方程，求解：）代入平衡方程，求解： （2 2）由變形協(xié)調方程：）由變形協(xié)調方程： CS CCSS AEAE Fl 解讀軸向拉壓變形的原理 42 熱應力熱應力(thermal stress)-因溫度變化而產生的應力因溫度變化而產生的應力 p 溫度應變溫度應變由溫度變化引起構件體積膨脹或收縮而在構由溫度變化引起構件體積膨脹或收縮而在構 件的各個

24、方向產生的大小相同的正應變。件的各個方向產生的大小相同的正應變。 T T 式中：式中： 熱膨脹系數(shù)熱膨脹系數(shù) T 溫度應變溫度應變 解讀軸向拉壓變形的原理 43 熱應力的解法熱應力的解法 u 熱應力只出現(xiàn)在靜不定結構中，其解法與一般靜不定問熱應力只出現(xiàn)在靜不定結構中，其解法與一般靜不定問 題解法相同。題解法相同。 兩端固定的等直桿，溫度升高兩端固定的等直桿，溫度升高 時，計算桿中的軸時，計算桿中的軸 向應力。向應力。 T 解讀軸向拉壓變形的原理 44 熱應力的解法熱應力的解法 解：由溫度變化引起的軸向變解：由溫度變化引起的軸向變 形量為形量為 ： TT llTl F B F l l EA TE

25、AFB TE A FB 得得 桿中熱應力為桿中熱應力為 由兩端固定，得變形協(xié)調方程：由兩端固定，得變形協(xié)調方程： TF ll 與溫度改變量、材料與溫度改變量、材料 的熱膨脹系數(shù)和彈性模量有的熱膨脹系數(shù)和彈性模量有 關，而與桿件的長度和橫截關，而與桿件的長度和橫截 面面積無關。面面積無關。 解讀軸向拉壓變形的原理 45 固定端的約束形式固定端的約束形式 插入式固定端插入式固定端 當溫度升高時，桿件在所有方向上均當溫度升高時，桿件在所有方向上均 勻膨脹，軸向與橫截面方向均有約束反力勻膨脹，軸向與橫截面方向均有約束反力 此桿件所有橫截面上均只有軸此桿件所有橫截面上均只有軸 向應力，且均勻分布向應力，

26、且均勻分布 解讀軸向拉壓變形的原理 46 組裝好的螺栓和套筒，材料彈性模量分別為組裝好的螺栓和套筒，材料彈性模量分別為EB、ES，橫截面橫截面 積分別積分別為為AB、AS，熱膨脹系數(shù)分別為熱膨脹系數(shù)分別為 、 且且 。 當溫度升高當溫度升高 ，計算套筒和螺栓中的應力，計算套筒和螺栓中的應力 和和 。B S B S B S T 解讀軸向拉壓變形的原理 47 解解:(1)靜力平衡方程靜力平衡方程 SB PP (2)變形協(xié)調方程變形協(xié)調方程 1S TL (3) 物性關系物性關系 SS S 3 AE LP BB B 4 AE LP 2B TL 4231 - 解讀軸向拉壓變形的原理 48 (4) 聯(lián)立求

27、解聯(lián)立求解PS、PB SBSSBB SB SSBB () TE A E A PP E AE A SSBSBB S SSSBB ()PTE E A AE AE A (壓壓) （拉）（拉） 計算應力計算應力 B BBSS BSSBS B B )( AEAE EATE A P 與溫度改變量、材料的熱膨脹系數(shù)、彈性模量和橫截與溫度改變量、材料的熱膨脹系數(shù)、彈性模量和橫截 面面積有關，而與桿件的長度無關。面面積有關，而與桿件的長度無關。 討論討論：（：（1） = ；（；（2） =0 B S B 解讀軸向拉壓變形的原理 49 A B A B B A t t E E A B B A t t 如果材料厚度一樣

28、，即如果材料厚度一樣，即tA = tB，則彈性模量低的材，則彈性模量低的材 料承受大部分的應變。料承受大部分的應變。 A B 解讀軸向拉壓變形的原理 50 三角形板可視為剛性板，三角形板可視為剛性板，1為鋼桿，為鋼桿，2為銅桿。試求溫度升為銅桿。試求溫度升 高高20時，時，1、2桿內的應力。桿內的應力。 已知：已知： 2 S mm1000A 2 SC mm20002AA GPa210 S E C/105 .12 6 S GPa100 C E C/105 .16 6 C 解讀軸向拉壓變形的原理 51 解：解：(1) 靜力平衡方程靜力平衡方程 aFaFFM A 2)( :0 2N1N (2) 變形

29、協(xié)調方程變形協(xié)調方程 12 2 LL (3) 物性關系物性關系 )2( )2( S SS 1N 1 LT AE LF L TL AE LF L C CC 2N 2 (伸長伸長) (縮短縮短) 解讀軸向拉壓變形的原理 52 (4) 用力表示變形協(xié)調方程用力表示變形協(xié)調方程 T AE F AE F )4(4- SS CC 2N SS 1N (5) 聯(lián)立求解得聯(lián)立求解得 CCSS SSCSCC N2 CCSS CCCSSS N1 8 44 8 28 AEAE ATEFAE F AEAE ATEFAE F ， (6) 1、2桿中的正應力桿中的正應力 MPa5 .38 S 1N 1 A F MPa6 .

30、59 C 2N 2 A F (壓壓) (壓壓) 解讀軸向拉壓變形的原理 53 預應力（裝配應力）預應力（裝配應力） 在靜不定結構中，由于構件幾何尺寸制造誤差必須采取在靜不定結構中，由于構件幾何尺寸制造誤差必須采取 強制方法裝配而導致桿件產生的應力稱為裝配應力或預應強制方法裝配而導致桿件產生的應力稱為裝配應力或預應 力力(initial stress)。 預應力概念預應力概念 解讀軸向拉壓變形的原理 54 桁架，桿桁架，桿3的實際長度比設計長度的實際長度比設計長度l稍短，制造誤差為稍短，制造誤差為，試試 分析裝配后各桿的軸力。分析裝配后各桿的軸力。 解讀軸向拉壓變形的原理 55 解解:(1)靜力平衡方程靜力平衡方程 0sinsin 2N1N FF:0 x F :0 y F0coscos 2N1N3N FFF (2)變形協(xié)調方程變形協(xié)調方程 cos 1 3 l l 2 11 1N 33 3N cosAE lF AE lF 解讀軸向拉壓變形的原理 56 (3)聯(lián)立求解，得軸力為聯(lián)立求解，得軸力為 3 33 11 2 11 2N1N cos 2 1 cos AE AE AE l FF 3 33 11 3 11 3N cos 2 1