不等式證明的若干方法畢業(yè)論文1

1、2013屆畢業(yè)生畢業(yè)論文 課題名稱：不等式證明的若干方法教 學(xué) 系：數(shù)學(xué)系專 業(yè)：數(shù)學(xué)教育班 級(jí)：10級(jí)數(shù)學(xué)教育（4）班學(xué) 號(hào)：131002162姓 名： 指導(dǎo)教師： 時(shí) 間：2013年5月15日定西師范高等?？茖W(xué)校 10 級(jí) 數(shù)學(xué) 系畢業(yè)論文開題報(bào)告 專業(yè)班級(jí)：數(shù)學(xué)教育四班 姓名： 指導(dǎo)教師： 一.論文題目：不等式證明的若干方法二.選題依據(jù)： 反證法在我們中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是非常重要的,因?yàn)樵谠S多證明題中都需要應(yīng)用反證法,在許多方面都有不可替代的作用。從最基本的性質(zhì)定理，到某些難度很大的世界難題都是用反證法來證明的。反證法不僅可以單獨(dú)使用也可以結(jié)合其他方法一同使用，還可以在論證同一命題時(shí)多次使用

2、。 三.相關(guān)理論研究綜述：無論在初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)中,不等式都是十分重要的內(nèi)容.而不等式的證明則是不等式知識(shí)的重要組成部分。在本文中，我總結(jié)了一些數(shù)學(xué)中證明不等式的方法.在初等數(shù)學(xué)不等式的證明中經(jīng)常用到的有比較法、作商法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、放縮法、換元法、判別式法、函數(shù)法、幾何法等等。四.研究方法： 比較法,分析法,做商法,綜合法，幾何法 。五.論文結(jié)構(gòu)：一、證明不等式的常用方法。二、利用函數(shù)證明不等式。三、利用著名不等式證明。6. 撰寫計(jì)劃：2013 年 1月10日選題 2013 年 1月15日搜索材料 2013年 3 月 5 日開始撰寫 2013年 4 月 2 日修改完

3、稿目 錄摘 要1關(guān)鍵詞1前 言1第一章 常用方法11.1比較法（作差法）11.2作商法21.3分析法（逆推法）21.4綜合法21.5反證法31.6迭合法31.7放縮法41.8數(shù)學(xué)歸納法41.9換元法51.10三角代換法51.11判別式法5第二章 利用函數(shù)證明不等式62.1函數(shù)極值法62.2單調(diào)函數(shù)法62.3中值定理法72.4利用拉格朗日函數(shù)7第三章 利用著名不等式證明83.1利用均值不等式83.2利用柯西不等式103.3利用赫爾德不等式103.4利用詹森不等式10參考文獻(xiàn)11摘 要：無論在初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)中,不等式都是十分重要的內(nèi)容.而不等式的證明則是不等式知識(shí)的重要組成部分.在本文中，我

4、總結(jié)了一些數(shù)學(xué)中證明不等式的方法.在初等數(shù)學(xué)不等式的證明中經(jīng)常用到的有比較法、作商法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、放縮法、換元法、判別式法、函數(shù)法、幾何法等等.在高等數(shù)學(xué)不等式的證明中經(jīng)常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函數(shù)、以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫爾德不等式等等.從而使不等式的證明方法更加的完善，有利于我們進(jìn)一步的探討和研究不等式的證明. 通過學(xué)習(xí)這些證明方法，可以幫助我們解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)邏輯推理論證能力和抽象思維的能力以及養(yǎng)成勤于思考、善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.關(guān)鍵詞 不等式 比較法 數(shù)學(xué)歸納法 函數(shù) 前 言在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，不等式證明是

5、一個(gè)非常重要的內(nèi)容，這些內(nèi)容在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中都有很好的體現(xiàn).在數(shù)量關(guān)系上，雖然不等關(guān)系要比相等關(guān)系更加廣泛的存在于現(xiàn)實(shí)的世界里，但是人們對于不等式的認(rèn)識(shí)要比方程要遲的多.直到17世紀(jì)以后，不等式的理論才逐漸發(fā)展起來，成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個(gè)重要組成部分.在研究數(shù)學(xué)的不等式過程中，有許多的內(nèi)容都十分的有用，如：不等式的性質(zhì)、不等式的證明方法和不等式的解法. 在本文中，我們就不一一說明了，而主要的介紹一些證明不等式的常用方法、利用函數(shù)證明不等式的方法和利用一些著名不等式證明不等式的方法.希望通過這些方法的學(xué)習(xí)，我們可以很好的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的一些特點(diǎn).從而開拓一下我們的數(shù)學(xué)視野，深化一下我們對不等式證

6、明方法的認(rèn)識(shí)，以便于可以站在更高的角度來研究數(shù)學(xué)不等式.第一章 常用方法1.1比較法（作差法）在比較兩個(gè)實(shí)數(shù)和的大小時(shí)，可借助的符號(hào)來判斷.步驟一般為：作差變形判斷（正號(hào)、負(fù)號(hào)、零）.變形時(shí)常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應(yīng)用已知定理、公式等.例1 已知：，求證：.證明 ，故得 .1.2作商法在證題時(shí)，一般在，均為正數(shù)時(shí)，借助或來判斷其大小，步驟一般為：作商變形判斷（大于1或小于1）.例2 設(shè)，求證：.證明 因?yàn)?，所以 ，.而 ，故 .1.3分析法（逆推法）從要證明的結(jié)論出發(fā)，一步一步地推導(dǎo)，最后達(dá)到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導(dǎo)過程都必須可

7、逆.例3 求證：.證明 要證，即證，即，.由此逆推即得 .1.4綜合法證題時(shí)，從已知條件入手，經(jīng)過逐步的邏輯推導(dǎo)，運(yùn)用已知的定義、定理、公式等，最終達(dá)到要證結(jié)論，這是一種常用的方法.例4 已知：，同號(hào)，求證：.證明 因?yàn)?，同?hào)，所以 ，則 即 .1.5反證法先假設(shè)要證明的結(jié)論不對，由此經(jīng)過合理的邏輯推導(dǎo)得出矛盾，從而否定假設(shè)，導(dǎo)出結(jié)論的正確性，達(dá)到證題的目的.例5 已知，是大于1的整數(shù)，求證：.證明 假設(shè) ，則 ，即 ，故 ，這與已知矛盾，所以.1.6迭合法把所要證明的結(jié)論先分解為幾個(gè)較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質(zhì)，使原不等式獲證. 例6 已知：，求證: .

8、證明 因?yàn)?，所?，.由柯西不等式所以原不等式獲證.1.7放縮法在證題過程中，根據(jù)不等式的傳遞性，常采用舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）而使不等式的各項(xiàng)之和變?。ɑ蜃兇螅?，或把和（或積）里的各項(xiàng)換以較大（或較?。┑臄?shù)，或在分式中擴(kuò)大（或縮?。┓质街械姆肿樱ɑ蚍帜福?，從而達(dá)到證明的目的.值得注意的是“放”、“縮”得當(dāng)，不要過頭.常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補(bǔ)放縮法、編組放縮法、尋找“中介量”放縮法.例7 求證： .證明 令則所以 .1.8數(shù)學(xué)歸納法對于含有的不等式，當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)不等式成立，如果使不等式在時(shí)成立的假設(shè)下，還能證明不等式在時(shí)也成立，那么肯定這個(gè)不等式對取第一個(gè)值以后的自然數(shù)都能成立

9、.例8 已知：，求證：.證明 （1）當(dāng)時(shí)，不等式成立；（2）若時(shí)，成立，則=，即成立.根據(jù)（1）、（2），對于大于1的自然數(shù)都成立.1.9換元法在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)，使問題的證明達(dá)到簡化.例9 已知：，求證：.證明 設(shè)，則， 所以 .1.10三角代換法借助三角變換，在證題中可使某些問題變易.例10 已知：，求證：.證明 設(shè)，則；設(shè)，則所以 . 1.11判別式法通過構(gòu)造一元二次方程，利用關(guān)于某一變元的二次三項(xiàng)式有實(shí)根時(shí)判別式的取值范圍，來證明所要證明的不等式.例11 設(shè)，且，求證：.證明 設(shè)，則代入中得 ，即 因?yàn)?，所以?即 ，解得 ，故.第二章 利用函數(shù)證明不

10、等式2.1函數(shù)極值法通過變換，把某些問題歸納為求函數(shù)的極值，達(dá)到證明不等式的目的.例18 設(shè)，求證：.證明 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 故 .2.2單調(diào)函數(shù)法當(dāng)屬于某區(qū)間，有，則單調(diào)上升；若，則單調(diào)下降.推廣之，若證，只須證及即可.例 19 證明不等式 ，證明 設(shè)則故當(dāng)時(shí)，嚴(yán)格遞增；當(dāng)嚴(yán)格遞減.又因?yàn)閒在處連續(xù)，則當(dāng)時(shí)， 從而證得 2.3中值定理法利用中值定理：是在區(qū)間上有定義的連續(xù)函數(shù)，且可導(dǎo)，則存在，滿足來證明某些不等式，達(dá)到簡便的目的.例20 求證：.證明 設(shè) ，則故 .2.4利用拉格朗日函數(shù)例 21 證明不等式 其中為任意正實(shí)數(shù).證明 設(shè)拉格朗日函數(shù)為對 對l求偏導(dǎo)數(shù)并令它們都等于0，則有，由方程

11、組的前三式，易的把它代入第四式，求出從而函數(shù)l的穩(wěn)定點(diǎn)為為了判斷是否為所求條件極小值，我們可把條件看作隱函數(shù)（滿足隱函數(shù)定理?xiàng)l件），并把目標(biāo)函數(shù)看作與的復(fù)合函數(shù).這樣，就可應(yīng)用極值充分條件來做出判斷.為此計(jì)算如下：當(dāng)時(shí)，由此可見，所求得的穩(wěn)定點(diǎn)為極小值點(diǎn)，而且可以驗(yàn)證是最小值點(diǎn).這樣就有不等式令則代入不等式有或 第三章 利用著名不等式證明3.1利用均值不等式 設(shè)是n個(gè)正實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).例22 證明柯西不等式 證明 要證柯西不等式成立，只要證 （1）令 （2） 式中則（1）即 即 （3）下面證不等式(3),有均值不等式，即 ，同理 ， ，.將以上各式相加，得 (4)根據(jù)（2），（4）

12、式即 .因此不等式（3）成立，于是柯西不等式得證.3.2利用柯西不等式例23 設(shè)，求證：證明 由柯西不等式兩邊除以即得說明：兩邊乘以后開方得當(dāng)為正數(shù)時(shí)為均值不等式中的算術(shù)平均不大于平方平均3.3利用赫爾德不等式例24 設(shè)為正常數(shù)，求證： 證明 = = 即 3.4利用詹森不等式例 25 證明不等式 其中均為正數(shù).證明 設(shè) 由的一階和二階導(dǎo)數(shù)可見，在時(shí)為嚴(yán)格凸函數(shù).依詹森不等式有從而即又因所以 參考文獻(xiàn)1李長明,周煥山.初等數(shù)學(xué)研究m.北京:高等教育出版社,1995,253-263.2葉慧萍.反思性教學(xué)設(shè)計(jì)-不等式證明綜合法j.數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2005,10(3):89-91.3胡炳生,吳俊.現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)m.北京:高等教育出版社,1998,45-50.4宋慶.一個(gè)分式不等式的再推廣j.中等數(shù)學(xué),2006,45(5):29-31.5蔣昌林.也談一類分式不等式的統(tǒng)一證明j.數(shù)學(xué)通報(bào),2005,15(2):75-79. 6匡繼昌.常用不等式m.濟(jì)南：山東科技出版社,2004,23-34.7張新全.兩個(gè)不等式的證明j.數(shù)學(xué)通報(bào),2006,45(4):54-55.9李鐵烽.構(gòu)造向量證三元分式不等式j(luò).數(shù)學(xué)通報(bào),2004,(2):101-102.12胡如松.垂足三角形的幾個(gè)有趣性質(zhì)及其猜想j.福建中學(xué)數(shù)學(xué),2004,(5):23-25.13馬雪雅.加權(quán)