小學數(shù)學三年級下學期思維訓練卷

1、第一講差倍問題（一）專題簡析：前面我們已經(jīng)初步掌握了 “和倍問題” 的特征和解題方法。如果知道了兩個數(shù)的差與兩個數(shù)間的倍數(shù)關系， 要求兩個數(shù)各是多少，這一類題，我們則把它稱為“差倍問題” 。小朋友，你們有沒有想到用解答和倍問題的類似方法解答差倍問題呢？解答差倍問題與解答和倍問題相類似，要先找出差所對應的倍數(shù)，先求 1 倍數(shù)，再求出幾倍數(shù)。此外，還要充分利用線段圖幫助分析數(shù)量關系。用關系式可以這樣表示：兩數(shù)差（倍數(shù) 1）較小的數(shù)（ 1 倍數(shù)）較小的數(shù)倍數(shù)較大的數(shù)（幾倍數(shù)）例 1. 小明到市場去買水果，他買的蘋果個數(shù)是梨的 3 倍，蘋果比梨多 18 個。小明買蘋果和梨各多少個？思路導航：將梨的個數(shù)

2、看作1 倍數(shù)，則蘋果的個數(shù)是這樣的3倍。1 倍梨？個多 18 個蘋果？個如圖：從線段圖上可以看出，蘋果的個數(shù)比梨多了312 倍，梨的 2 倍是 18 個，所以梨有 1829 個，蘋果有： 9327 個。練習一1. 先鋒小學學生數(shù)是勝利小學的 3 倍，已知先鋒小學比勝利小學多 700 人，兩所學校各有學生多少人？2. 育英小學參觀少年科技展覽。第一天參觀的人數(shù)比第二天多 220 人，已知第一天參觀的人數(shù)是第二天的 3 倍，兩天各是多少人？3. 飼養(yǎng)場飼養(yǎng)的白兔比黑兔多 249 只，白兔是黑兔的 4 倍。問：飼養(yǎng)場養(yǎng)了黑兔、白兔各是多少只？4. 紅旗農(nóng)場收割玉米， 第一天比第二天少收割 540 公

3、畝，第二天收割的公畝數(shù)是第一天的 3 倍，兩天各收割多少公畝？5. 朝陽農(nóng)場收割小麥， 第一天比第二天少收割 129 公畝，第二天收割的公畝數(shù)比第一天多 3 倍，兩天各收割多少公畝？第二講差倍問題（二）有些差倍問題比較復雜， 不能直接利用公式進行解答， 這時需要我們小朋友仔細審題， 尤其注意一些隱含條件， 同時借助線段圖幫助理解題意，從而找到解題方法。較復雜的差倍應用題，數(shù)量關系比較隱蔽。先依題意畫出線段圖，數(shù)量關系就會比較清晰地展現(xiàn)出來， 然后借助線段圖找出兩個數(shù)的差以及所對應的倍數(shù)，再利用公式進行解答。例 2. 被除數(shù)比除數(shù)大 252，商是 7，被除數(shù)、除數(shù)各是多少？思路導航：根據(jù)“商是

4、7”可知，被除數(shù)是除數(shù)的 7 倍，把除數(shù)看作 1 倍數(shù)，被除數(shù)就是這樣的 7 份，比除數(shù)多 6 份。所以除數(shù)是： 252（ 71） 42被除數(shù)是： 42252294練習二1. 被除數(shù)比除數(shù)大 168，商是 22，被除數(shù)、除數(shù)各是多少？2. 除數(shù)比被除數(shù)小 212，商是 5，被除數(shù)、除數(shù)各是多少？3. 被除數(shù)比商大 144，除數(shù)是 7，被除數(shù)、商各是多少？4. 除數(shù)比被除數(shù)小 200，商是 5，被除數(shù)、除數(shù)各是多少？5. 除數(shù)比被除數(shù)小 210，商是 6，被除數(shù)、除數(shù)各是多少？第三講年齡問題（一）年齡問題可以說是前面所講的和差問題及差倍問題的綜合， 要正確解答這類題，首先要弄清：兩個不同年齡的人

5、， 年齡之差始終不變，但兩個人年齡的倍數(shù)關系卻在不斷地變化。年齡問題的主要特征是： 大小年齡差是一個不變的量。 我們可以抓住差不變這個特點， 利用和差、差倍等知識來分析解答這類應用題。例 1. 三年前爸爸年齡是女兒的 4 倍，爸爸今年 43 歲，女兒今年多少歲？思路導航：由題意可知爸爸今年 43 歲，則三年前爸爸的年齡是43340 歲， 40 歲正好是女兒年齡的 4 倍，女兒三年前的年齡是40410 歲，今年女兒的年齡是 10313 歲。例 2. 明明 4 歲時，媽媽年齡是明明的 8 倍。今年明明 12 歲，媽媽今年多少歲？思路導航：媽媽的年齡是明明的 8 倍，那么媽媽與明明的年齡相差 484

6、28 歲。媽媽與明明的年齡差是不變的， 今年明明 12 歲，那么媽媽的年齡是 122840 歲。練習三1. 四年前小林年齡是小麗的 2 倍，小林今年 12 歲，小麗今年多少歲？2. 五年前爺爺年齡是孫子的 7 倍，孫子今年 14 歲，爺爺今年多少歲？3. 兒子今年 10 歲，爸爸今年 34 歲。幾年前，爸爸的年齡是兒子的 4 倍？4. 玲玲 7 歲時，爸爸年齡是玲玲的 5 倍。今年爸爸 40 歲，玲玲今年多少歲？5. 爺爺 63 歲時，他的年齡是小青的 9 倍。今年小青 12 歲，爺爺今年多少歲？第四講年齡問題（二）例 3. 女兒今年 3 歲，媽媽今年 33 歲。幾年后，媽媽的年齡是女兒的 7

7、 倍？思路導航：女兒今年 3 歲，媽媽今年 33 歲，她們的年齡差是 33330 歲。她們年齡差不變，幾年后，媽媽的年齡是女兒的3 倍，把女兒的年齡看作 1 份，媽媽的年齡就有 7 份，相差 716 份， 6 份是 30 歲，所以幾年后女兒的年齡是 3065 歲。也就是說， 53 2 年后，媽媽的年齡是女兒的 7 倍。例 4.4 年前，媽媽的年齡是女兒的 3 倍，4 年后，母女年齡和是56 歲。媽媽今年多少歲？思路導航： 4 年后，母子的年齡和是 56 歲，可求出今年母子年齡和是 564248 歲。4 年前母子年齡和是 484240 歲。又根據(jù) 4 年前，媽媽年齡是女兒的 3 倍，把女兒年齡看

8、作 1 份，媽媽的年齡就有這樣的 3 份，共有 314 份。所以 4 年前女兒的年齡是40410 歲，媽媽今年的年齡是 103434 歲。練習四1. 小明今年 7 歲，爺爺今年 62 歲。幾年前，爺爺?shù)哪挲g是小明的 12 倍？2. 兒子今年 2 歲，爸爸今年的年齡是兒子的 16 倍。幾年后，爸爸的年齡是兒子的 7 倍？3. 媽媽今年 26 歲，是小玲年齡的 13 倍。幾年后，媽媽的年齡是小玲的 7 倍？4.3 年前，哥哥的年齡是弟弟的 2 倍。 3 年后，哥弟倆的年齡和是 30 歲。哥哥今年多少歲？5.5 年前，小明的年齡是小紅的 3 倍。 5 年后，小明和小紅年齡和是 44 歲。今年小明多少

9、歲？第五講盈虧問題在日常生活中常有這樣的問題： 一定數(shù)量的物品分給一定數(shù)量的人，每人多一些，物品就不夠；每人少一些，物品就有余。盈虧問題就是在已知盈虧的情況下來確定物品總數(shù)和參加分配的人數(shù)。解答盈虧問題的關鍵是弄清盈、虧與兩次分得差的關系。盈虧問題的數(shù)量關系是：（ 1）（盈虧）兩次分配差份數(shù)（大盈小盈）兩次分配差份數(shù)（大虧小虧）兩次分配差份數(shù)（ 2）每次分得的數(shù)量份數(shù)盈總數(shù)量每次分得的數(shù)量份數(shù)虧總數(shù)量例 1. 一個植樹小組植樹。如果每人栽 5 棵，還剩 14 棵；如果每人栽 7 棵，就缺 4 棵。這個植樹小組有多少人？一共有多少棵樹？由題意可知，植樹的人數(shù)和樹的棵數(shù)是不變的。 比較兩種分配方案

10、，結(jié)果相差 14418 棵，即第一種方案的結(jié)果比第二種多 18 棵。這是因為兩種分配方案每人植樹的棵數(shù)相差 752 棵。所以植樹小組有 1829 人，一共有 591459 棵樹。練習五1. 幼兒園把一些積木分給小朋友，如果每人分 2 個，則剩下 20 個；如果每人分 3 個，則差 40 個。幼兒園有多少個小朋友？一共有多少個積木？2. 某校安排宿舍，如果每間 6 人，則 16 人沒有床位；如果每間 8 人，則多出 10 個床位。問宿舍多少間？學生多少人？3. 有一個班的同學去劃船， 他們算了一下， 如果增加一條船， 正好每條船坐 6 人；如果減少一條船，正好每條船坐 9 人。問：這個班共有多少

11、學生？4. 學生們分用筆， 若每人分 5 支，則余 9 支；若每人分 8 支，則差 18 支。學生多少人？鉛筆多少支？第六講 盈虧問題（二）例 2. 學校將一批鉛筆獎給三好學生。如果每人獎9 支，則缺 45支；如果每人獎 7 支，則缺 7 支。三好學生有多少人？鉛筆有多少支？分析與解答： 這是兩虧的問題。 由題意可知：三好學生人數(shù)和鉛筆支數(shù)是不變的。 比較兩種分配方案， 結(jié)果相差 45738 支。這是因為兩種分配方案每人得到的鉛筆相差 972 支。所以，三好學生有 38219 人，鉛筆有 91945126 支。例 3. 有一些少先隊員到山上去種一批樹。如果每人種16 棵，還有 24 棵沒種；如

12、果每人種 19 棵，還有 6 棵沒有種。問有多少名少先隊員？有多少棵樹？分析與解答： 這是兩盈的問題。 由題意可知：少先隊員的人數(shù)和樹的棵數(shù)是不變的。 比較兩種分配方案， 結(jié)果相差 24618 棵，這是因為兩種分配方案每人種的樹相差 19163 棵。所以，少先隊員有 1836 名，樹有 16624120 棵。練習六1. 將月季花插入一些花瓶中。如果每瓶插 8 朵，則缺少 15 朵；如果每瓶改為插 6 朵，則缺少 1 朵。求花瓶的只數(shù)和月季花的朵數(shù)。2. 王老師給美術興趣小組的同學分發(fā)圖畫紙。如果每人發(fā)5 張，則少 32 張；如果每人發(fā) 3 張，則少 2 張。美術興趣小組有多少名同學？王老師一共

13、有多少張圖畫紙？3. 老師將一些練習本發(fā)給班上的學生。如果每人發(fā) 10 本，則有兩個學生沒分到； 如果每人發(fā) 8 本，則正好發(fā)完。 有多少個學生？多少本練習本？4. 小虎在敵人窗外聽里邊在分子彈： 一人說每人背 45 發(fā)還多 260 發(fā)；另一人說每人背 50 發(fā)還多 200 發(fā)。有多少敵人？多少發(fā)子彈？第七講雞兔同籠問題假設是數(shù)學中思考問題的一常見的方法， 有些應用題乍看很難求出答案，但是如果我們合理地進行假設， 往往會使問題得到解決。 所謂假設法就是依照已知條件進行推算， 根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾， 作適當?shù)恼{(diào)整，從而找到正確答案。我國古代趣題“雞兔同籠”就是運用假設法解決問題的一個范例。解答“

14、雞兔同籠”問題的基本關系式是：兔數(shù)（總腳數(shù)每只雞腳數(shù)雞兔總數(shù)） （每只兔子腳數(shù)每只雞腳數(shù)）用假設法解答類似 “雞兔同籠” 的問題時，可以根據(jù)題意假設幾個量相同，然后進行推算， 所得結(jié)果與題中對應的數(shù)量不符合時， 要能夠正確地運用別的量加以調(diào)整，從而找到正確的答案。例 1. 雞、兔共 30 只，共有腳 84 只。雞、兔各有多少只？思路導航：假設全是雞，共有腳： 30260 只；比實際少： 84 6024 只；這是因為把 4 只腳的兔子都按 2 只腳的雞計算了。每把一只兔子算作一只雞，少算： 422 只腳，現(xiàn)在共少算了 24 只腳，說明把： 24212 只兔子按雞算了。所以，共有兔子12 只，有雞

15、 301218 只。練習七1. 雞、兔共 100 只，共有腳 280 只。雞、兔各多少只？2. 雞、兔共 50 只，共有腳 160 只。雞、兔各幾只？3. 雞、兔共 45 只，雞的腳比兔的腳多 60 只。雞、兔各多少只？4. 野雞兔子 49，100 條腿地下走。問：野雞多少只？兔子有多少？5. 雞兔同籠，共 100 個頭， 272 條腿。雞兔各多少只？6. 現(xiàn)有雞和兔共 35 只，合計腿數(shù)共 100 只。雞和兔各有多少只？第八講雞兔同籠問題例 1. 某學校舉行數(shù)學競賽， 每做對一題得 9 分，做錯一題倒扣 3 分。共有 12 道題，王剛得了 84 分。王剛做錯了幾題？思路導航：這類題實與雞兔同

16、籠同類，還用假設法進行思考。若全做對，應得 912108 分，現(xiàn)在少了 1088424 分。為什么會少 24 分，因為做錯一題，不但得不到 9 分，反而需要倒扣 3 分，里外少了 12 分，所以錯了 24122 題。練習八1. 某小學進行英語競賽，每答對一題得 10 分，答錯一題倒扣 4 分，共 15 題，小華得了 102 分。小華答對幾題？2. 運輸襯衫 400 箱，規(guī)定每箱運費 30 元，若損失一箱，不但不給運費，并要賠償 100 元。運后運費為 8880 元，損失了幾箱？3. 某車間生產(chǎn)一批服裝共 250 件，生產(chǎn) 1 件可得 25 元，如果有 1 件不符合要求，則倒扣 20 元。生產(chǎn)后

17、得到費用 5350 元，有幾件不符合要求？4. 某小學舉行一次數(shù)學競賽，共 15 道題，每做對一題得 8 分，每做錯一題倒扣 4 分，小明共得了 72 分。他做對了幾道題？第九講包含與排除三（1）班準備給參加班級繪畫比賽的16 位同學和參加朗讀比賽的 12 位同學每人發(fā)一份紀念品， 當中隊長玲玲將 28 份紀念品發(fā)下去時，卻多出 5 份，這是怎么回事？對了， 因為有 5 位同學既參加了繪畫比賽，又參加了朗讀比賽，所以獎品就多出了5 份。數(shù)學中，我們將這樣的問題稱為重疊問題。解答重疊問題要用到數(shù)學中的一個重要原理包含與排除原理，即當兩個計數(shù)部分有重復包含時， 為了不重復計數(shù)， 應從它們的和中排除

18、重復部分。例 1. 六一兒童節(jié)，學校門口掛了一行彩旗。小張從前數(shù)起，紅旗是第 8 面；從后數(shù)起，紅旗是第 10 面。這行彩旗共多少面？思路導航：根據(jù)題意，畫出下圖：8面10 面?面從圖上可以看出， 從前數(shù)起紅旗是第8 面，從后數(shù)起是第 10 面，這樣紅旗就數(shù)了兩次，重復了一次，所以這行彩旗共有810117 面。練習九1. 小朋友排隊做操， 小明從前數(shù)起排在第 4 個，從后數(shù)起排在第 7 個。這隊小朋友共有多少人？2. 學校組織看文藝演出，冬冬的座位從左數(shù)起是第 12 個，從右數(shù)起是第 21 個。這一行座位有多少個？3. 同學們排隊去參觀展覽， 無論從前數(shù)還是從后起起， 李華都排在第 8 個。這

19、一排共有多少個同學？4. 同學們排隊跳舞， 每行、每列人數(shù)同樣多。 小紅的位置無論從前數(shù)從后數(shù)，從左數(shù)還是從右數(shù)起都是第 4 個。跳舞的共有多少人？第十講包含與排除（二）容斥問題涉及到一個重要原理包含與排除原理， 也叫容斥原理。即當兩個計數(shù)部分有重復包含時， 為了不重復計數(shù)， 應從它們的和中排除重復部分。容斥原理：對 n 個事物，如果采用不同的分類標準，按性質(zhì) a 分類與性質(zhì) b 分類（如圖），那么具有性質(zhì) a 或性質(zhì) b 的事物的個數(shù) NaNbNab。NaNabNb例 1. 一個班有 48 人，班主任在班會上問： “誰做完語文作業(yè)？請舉手！”有 37 人舉手。又問：“誰做完數(shù)學作業(yè)？請舉手！

20、 ”有 42 人舉手。最后問：“誰語文、數(shù)學作業(yè)都沒有做完？”沒有人舉手。求這個班語文、數(shù)學作業(yè)都完成的人數(shù)。分析：完成語文作業(yè)的有 37 人，完成數(shù)學作業(yè)的有 42 人，一共有 374279 人，多于全班人數(shù)。這是因為語文、數(shù)學作業(yè)都完成的人數(shù)在統(tǒng)計做完語文作業(yè)的人數(shù)時算過一次， 在統(tǒng)計做完數(shù)學作業(yè)的人數(shù)時又算了一次，這樣就多算了一次。所以，這個班語文、數(shù)作業(yè)都完成的有： 794831 人。練習十1. 五年級有 122 名學生參加語文、 數(shù)學考試，每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績。其中語文成績優(yōu)秀的有 65 人，數(shù)學優(yōu)秀的有 87 人。語文、數(shù)學都優(yōu)秀的有多少人？2. 四年級一班有 54 人，

21、訂閱小學生優(yōu)秀作文和數(shù)學大世界兩種讀物的有 13 人，訂小學生優(yōu)秀作文的有 45 人，每人至少訂一種讀物，訂數(shù)學大世界的有多少人？3. 學校文藝組每人至少會演奏一種樂器，已知會拉手風琴的有24 人，會彈電子琴的有 17 人，其中兩種樂器都會演奏的有 8 人。這個文藝組一共有多少人？4. 三（1）班有 40 個學生，其中 25 人參加數(shù)學小組， 23 人參加科技小組，有 19 人兩個小組都參加了。那么，有多少人兩個小組都沒有參加？第十一講還原問題“一個數(shù)加上 3，乘 3，再減去 3，最后除以 3，結(jié)果還是 3，這個數(shù)是幾？” 像這樣已知一個數(shù)的變化過程和最后的結(jié)果， 求原來的數(shù)，我們通常把它叫做

22、“還原問題” 。解答還原問題，一般采用倒推法，簡單說，就是倒過來想。解答還原問題， 我們可以根據(jù)題意， 從結(jié)果出發(fā)， 按它變化的相反方向一步步倒著推想， 直到問題解決。 同時，可利用線段圖表格幫助理解題意。例 1. 一個減 24 加上 15，再乘 8 得 432，求這個數(shù)。思路導航：我們可以從最后的結(jié)果 432 出發(fā)倒著推想。最后是乘8 得 432，如果不乘 8，那應該是 432854；如果不加上 15，應該是 541539；如果不減去 24，那應該是 392463。因此，這個數(shù)是 63。例 2. 一段布，第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，還剩 8 米。這段布原來長多少米？全長的一半余下

23、的一半8米？米從上面的線段圖可以看出： 剩下的 8 米和余下的一半同樣多， 那么原長的一半是： 8216 米，原來長： 16232 米。練習十一1. 一個數(shù)加上 3，乘 3，再減去 3，最后除以 3，結(jié)果還是 3。這個數(shù)是幾？2. 一個數(shù)的 4 倍加上 6 減去 10，再乘 2 得 88，求這個數(shù)。3. 一個數(shù)縮小 2 倍，再縮小 2 倍得 80，求這個數(shù)。4. 某水果店賣西瓜， 第一次賣掉總數(shù)的一半， 第二次賣掉剩下的一半，這時還剩 10 只西瓜。原有西瓜多少只？5. 某人乘船從甲地到乙地， 行了全程的一半時開始睡覺， 當他睡醒時發(fā)現(xiàn)船又行了睡前剩下的一半，這時離乙地還有 40 千米。甲、乙

24、兩地相距多少千米？第十二講還原問題（二）已知某個數(shù)經(jīng)過加、減、乘、除運算后所得的結(jié)果，要求原數(shù)，這類問題叫做還原問題， 還原問題又叫逆運算問題。 解決這類問題通常運用倒推法。 遇到比較復雜的還原問題， 可以借助畫圖和列表來解決這些問題。例 1. 小剛的奶奶今年年齡減去 7 后，縮小 9 倍，再加上 2 之后，擴大 10 倍，恰好是 100 歲。小剛的奶奶今年多少歲？分析與解答：從恰好是 100 歲向前推算，擴大 10 倍后是 100 歲，沒有擴大 10 倍之前應是 1001010 歲；加上 2 之后是 10 歲，沒有加 2 之前應是 1028 歲；沒有縮小 9 倍之前應是 8972 歲；減去

25、7 之后是 72 歲，沒有減去 7 前應是 72779 歲。所以，奶奶今年是 79 歲。例 2. 某商場出售洗衣機，上午售出總數(shù)的一半多 10 臺，下午售出剩下的一半多 20 臺，還剩 95 臺。這個商場原來有洗衣機多少臺？分析與解答：從“下午售出剩下的一半還多 20 臺”和“還剩 95 臺”向前倒推，剩下的 95 臺和下午多賣的 20 臺合起來，即 9520 115 臺正好是上午售后剩下的一半， 那么 1152230 臺就是上午售出后剩下的臺數(shù)。 而 230 臺和 10 臺合起來，即 23010 240 臺又正好是總數(shù)的一半。那么， 2402480 臺就是原有洗衣機的臺數(shù)。練習十二1. 在里

26、填上適當?shù)臄?shù)。 20 816262. 一個數(shù)的 3 倍加上 6，再減去 9，最后乘上 2，結(jié)果得 60。這個數(shù)是多少？3. 小紅問王老師今年多大年紀，王老師說： “把我的年紀加上 9，除以 4，減去 2，再乘上 3，恰好是 30 歲?！蓖趵蠋熃衲甓嗌贇q？4. 糧庫內(nèi)有一批大米， 第一次運出總數(shù)的一半多 3 噸，第二次運出剩下的一半多 5 噸，還剩下 4 噸。糧庫原有大米多少噸？5. 爸爸買了一些橘子，全家人第一天吃了這些橘子的一半多 1 個，第二天吃了剩下的一半多 1 個，第三天又吃掉了剩下的一半多 1 個，還剩下 1 個。爸爸買了多少個橘子？第十三講植樹問題爸爸給晶晶出了一道題：“小朋友在路

27、的一邊植樹， 先植一棵樹，以后每隔 3 米植一棵，已經(jīng)植了 9 棵，問第一棵和第九棵樹相距多少米？”晶晶一看，隨口答道： “27 米?！毙∨笥?，晶晶答得對嗎？這一類應用題我們通常稱為“植樹問題” 。解答這類問題的關鍵是要弄清總距離、 間隔長和棵樹三者之間的關系。 解答植樹問題要考慮植樹的方式， 一般在不封閉的線路上植樹， 棵數(shù)總距離間隔長1；在封閉的線路上植樹，棵數(shù)總距離間隔長。另外，生活中還有一些問題， 可以用植樹問題的方法來解答， 比如鋸木頭、爬樓梯問題等等， 這里解題的關鍵是要將題目中的條件與問題與植樹問題中的總距離、間隔長、棵數(shù)對應起來。例 1. 小朋友們植樹，先植一棵樹，以后每隔 3 米植一棵，已經(jīng)植了 9 棵，第一棵和第九棵相距多少米？思路導航：要得出正確的結(jié)果，我們可以畫出如下的示意圖：03米6米 9米 12 米 15 米 18 米 21米 24米1棵2棵3棵 4棵 5