一階微分方程解的題目方法指導(dǎo)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案一階微分方程解題方法指導(dǎo)劉兵軍在高數(shù)下冊中，微分方程一章是獨(dú)立性很強(qiáng)的內(nèi)容，和積分與級數(shù)這些內(nèi)容沒有什么聯(lián)系，故可以靈活安排講授時間，即使在講多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)之前講授本章內(nèi)容也是可以的所謂微分方程就是由未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的等式方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階叫作微分方程的階如果方程的解中含有任意常數(shù)且其個數(shù)與方程階數(shù)相同，則稱這樣的解為微分方程的通解滿足確定任意常數(shù)初始條件的解為特解求解微分方程就是求其通解或進(jìn)一步求滿足某條件的特解 本文主要討論一階微分方程dy f (x, y)的求解問題.dx一、可分離變量的方程一個一階微分方程能變形為如下形式：g(y)dy f(x)dx(1)則稱

2、其為可分離變量的方程.假定方程(1 )中g(shù)(y)和f (x)是連續(xù)的，則在(1 )兩邊積分可得方程的解.經(jīng)過變形把方程變?yōu)?1)的形式，是解題的關(guān)鍵所在.例1 .求微分方程dy 2xy的通解.dx解：分離變量得矽 2xdxy兩邊積分得魚 2xdxy2即ln y x C1x2 C1C1 x2y e 1 e 1e令C eC1可得y Ce例2 .求微分方程的通解(ex y ex)dx (ex y ey )dy 0 .精彩文檔解：分離變量得兩邊積分得即得eyey 1dyln(ey 1)(ey 1)(ex、齊次方程-dx1dx1In (ex1) C1) InC若一階微分方程 型 f (x, y)中的f

3、(x, y)可寫為-的函數(shù)dxx(Y)，則稱其為齊次方程x由字f (x, y) (-)dxxy令u 即yx從而得出 udyux， udxdux (u)dxdux dx分離變量得du dx(u) u x按分離變量法解得方程解，再把u還原為丄即得原來方程的通解x例3 求微分方程(x22y )dx xydy 0 的通解.解：變形得dy x2 y2dx xy1 G)2yxdyux ,dxdux一dx原方程變?yōu)閐u 1 u21u xudx u udu 1 xdx u分離變量得兩邊積分得將u還原得udu dxx2uIn x In C122 2 2 2 2 2y x In(C1 x ) x In(Cx )其

4、中CC12例4.求解微分方程xy yin的通解.dx x解：變形得 d In ydx x x人y /曰dydu令 u 得 y ux,u x -xdxdx則方程變?yōu)榉蛛x變量得兩邊積分得即把U還原得duu x dxu I n ududxxu(ln u1)ln(ln u1)In xIn u 1CxyIn1CxIn Cy xeCx1三、一階線性微分方程形如dy p(x)y Q(x)的微分方程稱為一階線性微分方程.dx若Q(x) 0 ,則稱之為齊次的，否則稱為非齊次的對于一階線性齊次微分方程dy p(x)y 0，用分離變量法，易得其通解為dxp(x) dx y Ce，再用常數(shù)變異法可得相應(yīng)非齊次方程的通

5、解為p(x)dxp(x)dxy e ( Q(x)e dx C)p(x)dxCep(x) dxp(x) dxeQ( x)e dx(3)上式右端第一項為對應(yīng)齊次方程通解，第二項為非齊次方程的一個特解 即一階非齊次線性微分方程的通解等于對應(yīng)齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和上述求解公式的推導(dǎo)過程稱為常數(shù)變異法，各類高等數(shù)學(xué)教科書中都有此方法的詳細(xì)過程，在此不再重復(fù)只需把(3)當(dāng)作一個公式套用即可具體使用(3)求解一階線性微分方程時，應(yīng)該注意把方程變?yōu)?3)的標(biāo)準(zhǔn)形式，否 則容易出錯5例5 求方程取丑 (x 1)2的通解3 )式來求解，但應(yīng)注意 p(x)dx x 1解：本方程是一階線性非齊次微分

6、方程，可用(把方程變形得dy y (x 1尸dx x 1523p(x) - , Q(x) (x 1)2x 1p(x)dxp(x)dxy e ( Q(x)e dx C)dxQ(x51)ep(x)dxdx C)-eln(x ( (x51)2e-ln(x 1)C)(x 1)-|(x3C例6 .求解方程2-dy1的通解.dx3x-y解：本方程并不是一個一階線性微分方程，但經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃魏螅?可變?yōu)橐粋€以x為函數(shù)y為自變量的一階線性微分方程變形得即亦-(3x -y)dxdy6x 4yP(y) 6，Q(y) 4y代入（3 ）得P(y)dyP(y)dye ( Q(y)e dy C)6 xy6xye ( 4 ye C)e6y( 4ye 6ydy C)e6y(- ye36y1 6ye9C)-3yCe6y以上6道例題基本展示了一階微分方程求解過程和注意事項.在求解一階線性微分方程時,學(xué)員應(yīng)首先分清方程的類型