基于Matlab的點電荷鏡像法電場的可視化

1、基于Matlab的點電荷鏡像法電場的可視化衛(wèi)延1,邵小桃2,郭勇2（1.北京交通大學(xué) 全光網(wǎng)與現(xiàn)代通信網(wǎng)教育部重點實驗室，北京100044）（2.北京交通大學(xué)電子信息工程學(xué)院，北京100044）摘 要：點電荷的鏡像法是電磁場與電磁波課程的重要內(nèi)容。這部分的教學(xué)重點通常在于分析鏡像法原理和尋找鏡像電 荷，但是缺乏對鏡像電場空間分布的圖形描繪。木文用Matlab軟件對鏡像電場進行仿真，繪制了點電荷鏡像法中女種鏡像 電場的等位浙和電力線細節(jié)圖，對鏡像電場進行了可視化。可視化有利于加深學(xué)生對鏡像法原理.鏡像電荷和鏡像電場分 布的理解。關(guān)鍵詞：電磁場：可視化：Matlab中圖分類號：0441： GM2.

2、4文獻標(biāo)識碼：A文章編號：The Visualization of Electric Field in the Mirror Method of Point Charge Basedon MatlabWEI Yan1, SHAO Xiao-tao2, GUO Yong2(1 .Institute of Full Optical network and Modem Communication Network.Beijing Jiaotong University Beijing 100044, China)(2School of Electronic and Information Engine

3、ering,Beijing Jiaotong University Beijing 100044, China )Abstract: The mirror method of point charge is an important part of the course of electromagnetic field and electromagnetic wave The focus of this part is usually to understand the principle of mirror method and to find the mirror charges .In

4、this paper. Matlab is used to simulate the mirror electric field and to draw the equipotential surface and the force line of electric field. The image electric field is visualized. The visualization will help students to understand the principle of mirror method, the mirror charges and the mirror el

5、ectric field Keywords: electromagnetic field; visualization; Matlab基金項目；北京交通人學(xué)校級教改項目（項目編號：356397535）。作者簡介：衛(wèi)延198-）.男.懈七.講師，研変方向為光纖通信技術(shù)和電憶場數(shù)值計算，Email： ywei0引言“電磁場與電磁波課程是髙等學(xué)校電子與通信 專業(yè)的一門必修課。課程難度較大，因為場的概念 抽象、理論性強，并且課程中有大量的矢量微積分 運算和求解偏微分方程內(nèi)容，常使學(xué)生陷入復(fù)雜的 數(shù)學(xué)問題而忽視了對基本概念、基本理論的理解。 引入淸晰的圖形和生動形象的動畫可以幫助學(xué)生直 觀理解抽象的電磁

6、場，所以電磁場的可視化在教學(xué) 過程中深受廣大師生的喜愛。隨著計算機軟件技術(shù)蓬勃發(fā)展，具有可視化能 力的科學(xué)計算軟件近年來廣為流行，部分被應(yīng)用到 “電磁場與電磁波課程可視化教學(xué)中，如MatlabH-oi 和Mathematical】等。利用Matlab中的相關(guān)繪圖命 令，可以繪制電力線、磁力線、等位而等，有助于 學(xué)生更全而、深入地理解抽象的電磁場。鏡像法在電磁場教學(xué)中具有重要地位，眾多教 材對基本原理和鏡像電荷有詳述，但是缺少對電力 線和等位而的圖形細肖描述旳兒點電荷平面鏡像法 有兩種情況：平面鏡像法和球面鏡像法。繪制等位 而用Matlab的contour命令。繪制電場矢量分布圖, 可以用qui

7、ver命令繪制quiver矢量圖，也可用 streamline命令繪制電力線圖。相比于quiver矢量圖, 電力線圖顯得更加淸晰、美觀、生動，更能淸楚反 映電場全局概況與細行變化。本文針對點電荷平面鏡像和球而鏡像的幾種典型情形，用Matlab繪制等 位面和電力線細節(jié)圖，介紹Matlab在電磁場可視化 教學(xué)中的應(yīng)用，使學(xué)生能淸晰、直觀地理解鏡像電 場性質(zhì)。1點電荷平面鏡像法場分布1.1點電荷關(guān)于無限大導(dǎo)體平面的鏡像法設(shè)無限大導(dǎo)體平而正上方/2 = lm處有一點電 荷q = lC,建立直角坐標(biāo)系，導(dǎo)體平面為xOy平而， 點電荷位于（0,0,1）處，鏡像電荷在（0,0,-1）處， 電.q=-q =

8、-Ca xOy平而上方的電力線與等 位面分布形態(tài)類似于電偶極子，呈軸對稱分布，對 稱軸為Z軸，只要繪制xOz平而的場分布即可。在y =0半平而上，電位為： 0 中電場強度為：E =axEx +a.E., ax、 “一表示單位矢量。用求梯度命令即： Ev,E_ = gradient （一）命令可得電場分量和 E-可用streamline繪制出電力線，如圖1中帶箭 頭的實線所示。只有選擇合適的起點，才能繪制正 確的電力線分布圖。對于某個孤立點電荷，當(dāng)距離 它非常近時，遠處其它電荷產(chǎn)生的電場都可忽略不 汁，所以點電荷附近的電場是點電荷自己產(chǎn)生的球 對稱場，因此用streamline命令繪制電力線時，

9、起點 可以選擇為均勻分布在一個小圓周上的一系列點， 該圓周以點電荷所在位宜為圓心。用streamline命令 繪制的電力線并不包含矢疑箭頭，箭頭是后添加上 的，用到Matlab圖形窗口的插入箭頭命令。從圖1 中可以觀察到由于無限大導(dǎo)體平板的存在，而對原 點電荷的球?qū)ΨQ電場產(chǎn)生的擾動效果。圖1無限大接地導(dǎo)體平而上方點電荷的等位而和電力線分布圖1.2點電荷關(guān)于無限大介質(zhì)平板的鏡像法介電常數(shù)為芻和6的兩個半無限大均勻介質(zhì) 1和2的分界而為z = 0平而，介質(zhì)1中距離分界而 d = 05 m處有一個單位點電荷g = 1C。以xOy平 而為分界面建立直角坐標(biāo)系，點電荷位于點 （0,0,t/）處。點電荷產(chǎn)

10、生的電場使介質(zhì)發(fā)生極化， 在介質(zhì)1表而和介質(zhì)2表而均產(chǎn)生極化而電荷，這 些極化而電荷可以用鏡像電荷來等效。求解上半空 間Z0的場時，可以把介質(zhì)2換成介質(zhì)1,全空間 變成均勻介質(zhì)1，然后用在點（0,0,-d）處的鏡像電 荷/來代替分界面極化電荷，上半空間的場由q和 /產(chǎn)生；求解下半空間ZV0的場時，可以把介質(zhì) 1換成介質(zhì)2,全空間變成均勻介質(zhì)2,然后用在點 （0,0,）處的鏡像電荷來代替分界而極化電荷，下半空間的場由q和q產(chǎn)生。鏡像電荷:7=（芻一勺）/（斫+勺，q=-qs（2）最后得岀上半空間電位1和下半空間電位2為:2 = 2# ”兀（斫 + 勺）yx2 + y2 +（z-d）2 + （芻一

11、 $2）y 4兀芻G +為）Jx，+ y +（z + ）（4）場分布具有軸對稱性，對稱軸為z軸，僅繪xOz平 而的場分布圖即可。用contour(x,z,0)命令可繪制等位而，如圖2 x軸.僅繪制xOy平而上的場分布圖即可。設(shè)點P習(xí)=3匂。用streamline命令可以繪制電力線，如 圖2中帶箭頭的實線所示。0.502$025-1.5圖3接地導(dǎo)體球外的點電荷顯然,r = yjx2 + y1cos 0 = x/r ,052500.250.5xJr2 +hfl -2rhfcosO ,P點的電位是:芻)命令繪制等位而，見圖4中虛線，用streamline命令繪制電力線，見圖4中帶箭 頭實線。(b)斫

12、 2圖2無限大介質(zhì)平板上方點電荷的場分布圖2點電荷球面鏡像法場分布2.1接地導(dǎo)體球外點電荷的場分布半徑為“ =1 cm的接地導(dǎo)體球外有一個點電荷 q = lxlO-10 C,點電荷距離球心 = 2cm,求球外 的電位與電場強度分布。以球心O為原點，以從0 指向點電荷的射線為x軸正向，建立直角坐標(biāo)系， 如圖3所示。根據(jù)鏡像法，鏡像電荷qr = -aq血任x軸上,圖4接地導(dǎo)體球外點電荷的場分布圖2.2不帶電不接地導(dǎo)體球外點電荷的場分布如果導(dǎo)體球不接地，且不帶電，場分布將跟導(dǎo)體球接地情形不同。此時的鏡像電荷，除了 /以外,到球心的距離為tr = cr/h o空間任意一點P的場 由q和/產(chǎn)生，該場分布

13、具有軸對稱性，對稱軸為還有位于球心的qJ且(f = -q 方能確保導(dǎo)體球 總體帶電量為零。P點的電位是：=qlR + q/R! + qnl 廣)/4隔(6)導(dǎo)體球外的等位而與電力線分布圖如圖5所示。用中虛線所示。圖2(a)為 82 情形， = 8匂,位于xOy平而上，坐標(biāo)為(x,”0)，點P到0、q 和/的距離分別為I R和尺。 streamline命令繪制電力線，先繪制從點電荷發(fā)出的 電力線。在導(dǎo)體球背向點電荷的一側(cè)，會有一泄量 的感應(yīng)正電荷，從這些電荷發(fā)出的電力線怎么繪 制？首先，從導(dǎo)體球正電荷側(cè)而發(fā)出的電力線條數(shù) 應(yīng)等于從導(dǎo)體球負電荷側(cè)而收到電力線的條數(shù)：其 次，求出導(dǎo)體球而的感應(yīng)電荷而

14、密度，對球面分區(qū) 做電荷密度的面積分,就能確定電力線的合適間距。圖5不帶電不接地導(dǎo)體球外點電荷的場分布圖3直角平面區(qū)域點電荷鏡像法的場分布兩個相交成直角的接地導(dǎo)體平板形成的角 域中有一點電荷 = lxlO-,nC.以導(dǎo)體表面為 坐標(biāo)而建立直角坐標(biāo)系，設(shè)電荷所在位置為 (xo,yo,O),其中 Xq = 0.4 m,兒=0.3 m。根 據(jù)鏡像法，兩個導(dǎo)體平板表而的感應(yīng)電荷可以 用鏡像電荷代替，鏡像電荷電量和坐標(biāo)位置是: -?，(-如,b)，G(-勺，-)，-彳，(心-)， 角域的電場由原電荷和3個鏡像電荷的電場疊 加而成。域內(nèi)任意一點P(x,y,z)處的電位是:二(l/?,-l/?2 + l/e

15、3-l/?4)/47ts0 (7) 其中：&= J(x_Q+(y_y( + F，/?2 =5/(x + x0)2+(y-y0)2+z2 ,& = J(x + Xo+(y +)b)2+z2 ,&=J(x_x)+(y+兒)。用 Matlab 中的 contour 和 streamline 命令可以繪制角域中的等位而和電力線。角域中 xOy平面的場分布如圖6所示。圖6直角域內(nèi)點電荷的場分布圖4結(jié)束語本文借助Matlab對點電荷鏡像法各種場分布 做了淸楚、詳盡的展示，并詳述了等位而和電力線 的繪制。這些圖形是根據(jù)數(shù)值計算結(jié)果繪制出來的， 比目前眾多教材中還在大量采用的示意性圖準(zhǔn)確可 靠，對于加強學(xué)生對

16、復(fù)雜電磁場問題的理解和改善 授課效果是必要的。利用Matlab,可以開展電磁場 仿真教學(xué)，鼓勵學(xué)生自己動手解決抽象的電磁場問 題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和創(chuàng)造性，也符合以提 髙學(xué)生綜合素質(zhì)為目的的教學(xué)需要。參考文獻：1|田雨波，張貞凱,解志斌.基于Matlab的電磁場理論 之可視化教學(xué)研究卩西安：現(xiàn)代電子技術(shù).2011, 34 (20)： 90-92 韓明華，袁乃昌，衣曉飛.基于MATLAB的電磁場數(shù) 據(jù)可視化平臺設(shè)計卩長沙：計算機工程與科學(xué). 2000, 22(2)： 18-213王春彥，邸金紅.Matlab在電磁場與微波技術(shù)教學(xué)中的 應(yīng)用卩太原：電腦開發(fā)與應(yīng)用,2014, 27(2)： 43-44.484唐軍杰，王愛軍.趙昆等.Matlab在電磁場可視化教學(xué) 中的應(yīng)用卩北京：物理與工程.2013, 23(1)： 42-45.565邵小桃.郭勇,李一玫電磁場與電礎(chǔ)波課程的 Ma