量子力學(xué)的矩陣形式和表象變換

1、量子力學(xué) 主講：孟慶田使用教材：曾謹(jǐn)言量子力學(xué)導(dǎo)論4.5 量子力學(xué)的矩陣形式和表象變換 態(tài)和力學(xué)量算符的不同表示形式稱為表象。 態(tài)有時(shí)稱為態(tài)矢量。 力學(xué)量算符對(duì)態(tài)的作用實(shí)際上是對(duì)矢量量進(jìn)行變換， 因此可與代數(shù) 中線性變換進(jìn)行類比。1、量子態(tài)的不同表象幺正變換(1)直角坐標(biāo)系中的類比取平面直角坐標(biāo)系 OX1X2 其基矢(我們過去稱 之為單位矢)可表示為 e1 , e2 ,見圖其標(biāo)積可寫成下面的形式(ei,ej ) ij (i,j 1,2)我們將其稱之為基矢的正交歸一關(guān)系。平面上的任一矢量 A 可以寫為A A1e1 A2e2其中 A1 (e1,A)， A2 (e2, A)稱為投影分量。而 A (A

2、1,A2)稱為 A在坐標(biāo)系 OX1X2 中的表示?，F(xiàn)在將坐標(biāo)系 OX1X2 沿垂直于自身面的軸順時(shí) 針轉(zhuǎn) 角度，則單位基矢變?yōu)?e1,e2 ，且同樣有(ei,ej) ij (i, j 1,2)而平面上的任一矢量 A 此時(shí)可以寫為A A1e1 A2e2其中投影分量是 A1 (e1, A)， A2 (e2,A) 。而 A (A1, A2) 稱為 A在坐標(biāo)系 OX 1 X 2 中的表示。 現(xiàn)在的問題是：這兩個(gè)表示有何關(guān)系？顯然， A A1e1 A2e2 A1e1 A2e2 。量子力學(xué) 主講：孟慶田使用教材：曾謹(jǐn)言量子力學(xué)導(dǎo)論用e1、 e2 分別與上式中的后一等式點(diǎn)積(即作標(biāo)積)，有A1 A1(e1,

3、e1) A2(e1,e2)A2 A1(e2,e1) A2 (e2 , e2 )表成矩陣的形式為A1(e1,e1) (e1,e2) A1A2 (e2,e1) (e2,e2) A2由于 e1、 e1及 e2、 e2的夾角為 ，顯然有A1(e1,e1) (e1,e2) A1A2 (e2,e1) (e2,e2) A2cossinsin A1 cosA2或記為其中R( )cossinR( )sincos是把 A 在兩坐標(biāo)中的表示A2 和 A2 聯(lián)系起來的變換矩陣。R 給定，變換矩陣的矩陣元正是兩坐標(biāo)系基矢間的標(biāo)積，它表示基矢之間的關(guān)系。故 任何矢量在兩坐標(biāo)系間的關(guān)系也確定。很容易證明， R 具有下述性質(zhì)

4、：RR RR I2由于 det(RR) (detR)2 1, 其中 det(R) ( 1)t R1p1R2p2R3p3 ， 故稱這種矩陣為正交矩陣。但 detR 1(對(duì)應(yīng)于真轉(zhuǎn)動(dòng)( proper rotation )且 R* R (實(shí)矩陣)量子力學(xué) 主講：孟慶田使用教材：曾謹(jǐn)言量子力學(xué)導(dǎo)論* 1R R* R R 1RR R R I 我們把滿足上述條件的矩陣叫幺正矩陣。到現(xiàn)在為止，我們介紹了三種矩陣：厄米矩陣： R R R*正交矩陣： RR RR I幺正矩陣： RR R R I這三種矩陣在以后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常涉及到，請(qǐng)注意掌握。（2）量子力學(xué)中的表象形式上與上述類似， 在量子力學(xué)中， 按照態(tài)的疊加原

5、理， 任何一個(gè)態(tài) 可以看成 Hilbert 空間的一個(gè) “矢量 ”。體系的力學(xué)量 F 完全集的共同本征函數(shù)系k（ k 代表一組完備量子數(shù)） 構(gòu)成一組正交歸一完備基矢。這組基矢構(gòu)成的 “坐標(biāo)系 ”稱為 F 表象。同樣（ k , j） kj 對(duì)于任意態(tài)矢量 ，有ak kk 其中ak （ k , ）這一組系數(shù)（a1, a2 , ）就是態(tài)（矢）在 F 表象中的表示，它們分別是與各基矢的內(nèi)積。 與代數(shù)不同的是：這里的 “矢量 ”（量子態(tài)）是復(fù)數(shù)； 空間維數(shù)可以是無窮的，甚至不可數(shù)的。 現(xiàn)在考慮同一個(gè)態(tài) 在另一組力學(xué)量完全集 F （表象 F ）中的表示。設(shè)本征態(tài)為 ，滿足正交歸一，即（ , ）量子力學(xué) 主

6、講：孟慶田使用教材：曾謹(jǐn)言量子力學(xué)導(dǎo)論態(tài) 用這組態(tài)矢展開，即a 示。其展開系數(shù)為 a ( , )，則這一組系數(shù)(a1,a2, )就是態(tài) 在 F 表象中的表那么(a1,a2, ) (a1,a2 , )？方法同前述。因?yàn)轱@然 a ak k ，對(duì)后一等式用 * 作內(nèi)積，有ka ( ， k)akS kakkk其中 S k ( ， k)是 F 表象基矢與 F 表象基矢的內(nèi)積。上式也可以寫成矩陣的形式：a1S11S12a1a2a2S21S22aak簡(jiǎn)記為 a Sa通過 S 矩陣相聯(lián)系，且 SS S S I ， 即 S 矩陣是幺正矩陣(下面將予以證明)。它實(shí)際上是聯(lián)系兩個(gè)基矢的變換矩陣。例 試證明： S 矩

7、陣是幺正矩陣分析只要證明 S S的矩陣元是 kj 即可。在 F 表象中，有(S S)kjSk SjS*kS j根據(jù) S 矩陣元的定義，上式為(S S)kjd3r (r ) k*(r) d3r *(r) j(r)d3r d3r*(r ) (r) *k(r) j(r)利用前面的介紹， 函數(shù)可以用任何一組正交歸一完備函數(shù)組來構(gòu)成，即量子力學(xué) 主講：孟慶田使用教材：曾謹(jǐn)言量子力學(xué)導(dǎo)論（x x）n* （x） n（x）n則上式（S S）kjd3r d3r （r r ） *k（r） j（r）kj可見，S S 矩陣為單位矩陣，即 S S I 。2、力學(xué)量算符的矩陣表示仍以線性空間的矢量作類比A B （正向轉(zhuǎn)動(dòng)

8、 角） 已經(jīng)知道：A A1e1 A2e2 A （A1, A2 ）B B1e1 B2e2 B （B1, B2 ）令 B R( ) A，寫成分量的形式，有B1e1 B2e2 A1Re1 A2Re2用 e1、e2 對(duì)上式點(diǎn)乘，得B1 A1 （e1，Re1 ） A2 （e1， Re2 ）B2 A1 （e2，Re1 ） A2 （e2，Re2 ）B1（e1，Re1） （e1，Re2 ）A1B2（e2， Re1 ） （e2，Re2 ）A2按照右下圖，有B1（e1，Re1） （e1，Re2） A1B2（e2，Re1） （e2，Re2 ） A2cos sin A1 sin cos A2量子力學(xué) 主講：孟慶田使用

9、教材：曾謹(jǐn)言量子力學(xué)導(dǎo)論cos sin其中 R( ) 。sin cos與此類比，設(shè) 經(jīng)算符 L? 作用后變成 ，即L?以 F 表象(力學(xué)量 F 完全集的本征態(tài) k )為基矢，即bk k ，ak kkk則有bk kak L? kkk面我們看如何通過上式由 ak 求 bk 。對(duì) bk kakL? k ，以 ( j, ) 作標(biāo)積，得kkbj ( j, L? k)akLjkakkk其中 Ljk ( j,L? k)。由上式可見，力學(xué)量算符對(duì)態(tài)的作用可以寫成因此， (Ljk ) 矩陣一旦確定，則所有基矢(因而任何矢量)在L?作用下的變化也就完全確定了。例 求一維諧振子坐標(biāo) x、動(dòng)量 p 以及 Hamilt

10、onian H 在能量表象中的表示。分析 ：不同體系的 Hamiltonian 不一樣，能量表象的基矢也不一樣。這里能量表象的 基矢為一維諧振子 Hamiltonian 的本征函數(shù) n(x) 。解：利用一維諧振子波函數(shù)的遞推關(guān)系1 n n 12 n 1 2 n1ddxnn2 n1n21 n1所以量子力學(xué) 主講：孟慶田使用教材：曾謹(jǐn)言量子力學(xué)導(dǎo)論xmn ( m,x n) 1n 1 nm,n 122注意：這里的所以pmn( m ,m、n 都是由(xmn)(pmn) i是一 個(gè)對(duì)角矩陣。i d n ) i dx0 開始取值。這樣01/ 201/ 20n103/203/20n2 m,n101/ 21/

11、 2H mn ( m,H? n)(Hmn)1/203/ 203/2En mn(n112)mn3/ 2任何力學(xué)量在自身表象中的表示都是對(duì)角矩陣。3、量子力學(xué)的矩陣表示設(shè)力學(xué)量完全集 F 的本征態(tài)是分立的(基矢可數(shù))示為 (Lkj ) ，且5/2，在Lkj ( k,L? j )7/2F 表象中，力學(xué)量L 用矩陣表量子力學(xué) 主講：孟慶田使用教材：曾謹(jǐn)言量子力學(xué)導(dǎo)論而量子態(tài) 則表示成列矢的形式，即 a2 ，其中 ak ( k , )這樣，量子力學(xué)的理論表述均可表成矩陣的形式。下面我們分別討論 Schr?dinger 方程、平均值公式以及本征值方程的矩陣形式。(1) Schr?dinger 方程iHt在

12、 F表象中， (t)ak(t) k ，系數(shù)為時(shí)間 t的函數(shù)。代入上述方程得kiak (t) kak (t)H? kkk對(duì)iak(t) kak(t)H? k左乘 ( j, )作內(nèi)積，得kkiak(t)( j, k)ak (t)( j ,H? k)kk而 ( j ,H? k ) H jk ，這樣利用基矢的性質(zhì)，有i aj (t)H jkakk寫成矩陣的形式是a1H11H12a1a2H21H 22a2(2) 平均值公式 對(duì)于力學(xué)量算符 L?L ( ,L? )a*k( k,L? j )aja*kLkjajkj kjL11 L12a1*(a1* ,a*2 , )L21 L22a2若 L? F? ，即在自

13、身表象中，則Lkj ( k ,L? j ) L j kj將此式代入上頁平均值公式，有量子力學(xué) 主講：孟慶田使用教材：曾謹(jǐn)言量子力學(xué)導(dǎo)論Lak Lkja jkj k|ak |2Lk則 L?取值為 Lk 的幾率是 |ak |2 。(3) 本征值方程對(duì)本征值方程 L?L ，用ak k 代入，ak kk ak L? k L k用( j, ) 與上式作內(nèi)積，可得Ljkak Laj k(Ljk L jk )ak0這是 ak 的齊次線性方程組。方程組有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為零，即det | L jk L jk | 0寫出明顯的矩陣形式是L11 LL21L31L12L22 LL32L13L23L33

14、LN 個(gè)實(shí)根。記為如表象空間的維數(shù)為 N，則上式是關(guān)于的 N 次方程，有Lj( j 1,2, ,N)用解得的 Lj 代入前面所得方程組(Ljk L jk )ak 0 k可以得到 ak( j) (k 1,2, ,N)。表成列矢的形式為量子力學(xué) 主講：孟慶田使用教材：曾謹(jǐn)言量子力學(xué)導(dǎo)論a2(j)2 j 1,2, ,Na( j) aN它就是與本征值 Lj 相應(yīng)的本征態(tài)在 F 表象中的表示。注意：若 L 有重根，則會(huì)出現(xiàn)簡(jiǎn)并(不同的態(tài)對(duì)應(yīng)相同的能級(jí))，簡(jiǎn)并態(tài)還不能唯一確定。4、力學(xué)量的表象變換在 F表象中， k 是基矢，力學(xué)量算符 L?可以表成L ( ,L? ) 我們?cè)噲D尋找 L 與 Lkj 的關(guān)系。

15、k 是基矢，則 c用( k, ) 作用到上式中，有( k , ) c ( k , ) c k ck即 c( , )或 ( , ) ( k , ) kS*k kkk其中 S k ( , k)同理可得 S*j j，其中 S j ( , j) 。kL ( ,L? )(S*k k,L?S*j j )kjS k( k,L? j )S*jkj (將 S 矩陣元提到積分號(hào)外) S kLkj Sjkj(SLS )即 L SLS 1。 其中 S k ( , k) 。則是從 F F 間基矢變換的幺正矩陣，即10量子力學(xué) 主講：孟慶田使用教材：曾謹(jǐn)言量子力學(xué)導(dǎo)論S S 1 注意： S 是不同表象基矢間的變換矩陣。4

16、.6 Dirac 符號(hào) 量子力學(xué)的理論描述常采用 Dirac 符號(hào)。 兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：運(yùn)算簡(jiǎn)捷 不依賴于具體表象 先介紹 bra ket 括號(hào)1、左矢（ bra）與右矢（ ket） Hilbert 空間：由量子體系的一切可能狀態(tài)構(gòu)成。 在這個(gè)空間中，態(tài)用右矢 | 表示，一般寫為 | ，定義在復(fù)數(shù)域上。 也可以在右矢內(nèi)填上相應(yīng)的量子數(shù)或本征值來表示相應(yīng)的態(tài)，如 |x 、| p 、|En 分別表示坐標(biāo)、動(dòng)量和動(dòng)能算符的本征態(tài)。而 |lm 表示角動(dòng)量算符 （L?2,L?z） 的共同本征態(tài)。 左矢如|、 x|等則是上述右矢的共軛態(tài)矢。2、標(biāo)積或內(nèi)積的表示 定義兩個(gè)態(tài)矢 和 標(biāo)積的形式為| 又稱內(nèi)積。且滿足下

17、列關(guān)系| * | 若滿足|0，則稱 |與 | 正交。若滿足|1，則稱 |與 |是歸一的。若力學(xué)量完全集 F 的本征態(tài)（分立）記為 |k ，則其正交歸一性可寫為 k| j kj 對(duì)連續(xù)譜，比如坐標(biāo)算符的本征態(tài)的正交歸一性可寫為x|x （x x）11量子力學(xué) 主講：孟慶田使用教材：曾謹(jǐn)言量子力學(xué)導(dǎo)論而動(dòng)量算符的本征態(tài)的正交歸一性可寫為p| p （p p）3、態(tài)矢在具體表象中的表示（1）分立譜的情況若力學(xué)量完全集 F 的本征態(tài)（分立）記為 |k ，則在 F 表象中，任意態(tài)矢量 | 可以寫為|ak |kk用 j | 同上式兩邊作內(nèi)積，有j |ak j |kak jk ajkk所以有akk|即 ak k

18、| 。它是 | 在 |k 上的投影。用列矢表示為a1a21|2|所以| k | |k |k k |kk|kk |可以看作一個(gè)算符，因?yàn)樗饔迷趹B(tài)矢量| 上后求和，得出的是態(tài)矢量|。我們稱這個(gè)算符為投影算符，用 Pk 表示，即Pk |k k| 而 Pk |k k|ak |k顯然， ak 是 |在 |k 上的投影。另外有12量子力學(xué) 主講：孟慶田使用教材：曾謹(jǐn)言量子力學(xué)導(dǎo)論|k k | Ik我們稱算符 I 為單位算符，這是基矢完備性的表現(xiàn)，通過以后的學(xué)習(xí)會(huì)發(fā)現(xiàn)它有著非 常重要的意義。（2）連續(xù)譜的情況 在這種情況下，上述的求和要用積分代替。比如：dx|x x| I dp| p p| I 要會(huì)寫，以

19、后經(jīng)常用到。（ 3）兩個(gè)態(tài)矢之間的內(nèi)積寫法在 F 表象中，兩個(gè)態(tài)矢 | 和 | 之間的內(nèi)積可按如下方法計(jì)算：|kk|ak |kkk|kk|bk |kkk其中 ak k|， bk k |a1 | |k k |bk*ak （b1* ,b2*, ） a2kk以上是態(tài)矢量在具體表象中的表示 ,下面介紹 4、算符在具體表象中的表示 設(shè)算符的作用用 Dirac 符號(hào)表示為|L?|在 F 表象中， L? 的矩陣元是Lkj k|L?| j用 |k 與上面的作用方程作內(nèi)積，有k|k|L?|k|L?| jj| （插入單位算符 0j利用前面所得關(guān)系akk|， bkk|13量子力學(xué) 主講：孟慶田 使用教材：曾謹(jǐn)言量子

20、力學(xué)導(dǎo)論 由 k |k|L?| jj |j則有 bkLkjajj上式寫成矩陣的形式，有b1L11L12a1b2L21L22a2其中（ Lkj）就是算符 L?在 F 表象中的矩陣表示。4、量子力學(xué)公式例 1 用 Dirac 符號(hào)， Schr?dinger 方程可寫為i |H?|t在 F 表象下可表示為i k |k |H?|k| H?| jj |tjH kj aj j例 2 在 | 態(tài)下 L? 的平均值用 Dirac 符號(hào)表示為L(zhǎng)|L?|k k|L?| jj|ak* Lkj a jkj kj例 4 Dirac 符號(hào)下的本征值方程L?的本征方程為L(zhǎng)?|L|在 F 表象中左端可以表成k|L?|k|L?

21、| j j|Lkjajjj考查左端右端可以寫成k |L| L k | L k | j j | L kj aj jj這樣寫是有目的的14量子力學(xué) 主講：孟慶田使用教材：曾謹(jǐn)言量子力學(xué)導(dǎo)論從而有Lkj aj Lkjajjj或?qū)憺?Lkj L kj)aj 0 。j此方程組有非 0 解的必要條件為det | Lkj L kj | 05、表象變換(1)態(tài)的表象變換態(tài)|在 F表象中用 k|ak (列矢)表示在 F 表象中用|a (列矢)表示則此兩個(gè)表示之間的關(guān)系可由下式給出| |k k |Skakkk即k其中 S k |k 表示兩個(gè)基矢之間的關(guān)系。寫成矩陣的形式，有a1S11S12a1a2S21S22a2

22、上式可以簡(jiǎn)寫成a Sa 其中 S 為么正矩陣，即滿足S S SS I 下面用 Dirac 符號(hào)來證明上式 證明：在 F 表象中15(S S) kjSk S jS kS j*|k | jk| | j k| j kjSSI ，同理可證 SS I 。量子力學(xué) 主講：孟慶田使用教材：曾謹(jǐn)言量子力學(xué)導(dǎo)論可見，用 Dirac 符號(hào)證明上式是比較簡(jiǎn)單的。 例 1 已經(jīng)知道，一維粒子動(dòng)量為 p 的本征態(tài)是p(x)1(2 )1/2ipx/e實(shí)際上，這是動(dòng)量為 p 的本征態(tài)在坐標(biāo)表象中的表示，即p(x)x|p (2 1)1/2eipx/而粒子的位置在 x點(diǎn)的本征態(tài) |x 在坐標(biāo)表象中可表成 x|x ，即 x(x)

23、 x|x (x x) 實(shí)際上，任何算符的本征函數(shù)在自身表象中的表示都為 函數(shù)。 例 2 波函數(shù)在坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象之間的變換 由前述可知，一維粒子態(tài)矢 | 在坐標(biāo)表象中可表示成 x| 即平常習(xí)慣所用的波函數(shù) (x) x| 而* (x) x| * |x 類似地，在動(dòng)量表象中，此態(tài)矢量表示成 p| 寫成函數(shù)形式時(shí)應(yīng)寫成 (p) p| ， 而不是 (p)， 以示與 (x) 有別。同一個(gè)量子態(tài) | 在坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象中的表達(dá)式關(guān)系如下：16量子力學(xué) 主講：孟慶田使用教材：曾謹(jǐn)言量子力學(xué)導(dǎo)論x| dp x| p p|1(2 )1/2idpe p|插入 |p的完備性關(guān)系)即 Fourier 變換式(x) 1 1/2 dpe (p) (2 )其逆變換為p| dx p|x x|或?qū)懗? i px(p) (2 1)1/2 dxe (x)此變換的幺正性可通過下式證明：*(S S)ppdxSpxSxpdx x| p x|p(p p)x dxe(p p)同理可證明： (S S)xx (x x) 。以一維粒子例 3 任意兩個(gè)態(tài) | 和 | 的內(nèi)積記為 | ，在坐標(biāo)表象中表示成 為例)| dx |x x|* (x) (x)dx而在動(dòng)量表象中可以表成