用復變函數(shù)來表示平面向量場

1、用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 2.4.1 2.4.1 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 物理上所謂物理上所謂“場場”就是指每一點逗對應有物就是指每一點逗對應有物 理理 量的一個區(qū)域，在這里，只研究平行于一個量的一個區(qū)域，在這里，只研究平行于一個 平面的定常向量場，即場中的向量都平行一平面的定常向量場，即場中的向量都平行一 個平面?zhèn)€平面S S，而且垂直于，而且垂直于S S的任何一條直線上的的任何一條直線上的 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 0 s 內(nèi)的場示。內(nèi)的場示。 點處的向量都是相等的，場中的向量于時點處的向量都是相等的，場中

2、的向量于時 間無關，顯然，這種向量場在所有平行于間無關，顯然，這種向量場在所有平行于S S 的諸平面內(nèi)場的分布情況是完全相同的，的諸平面內(nèi)場的分布情況是完全相同的， 因此它完全可以用于平行于因此它完全可以用于平行于S S的平面的平面 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 圖圖(2.4.1)(2.4.1) s 0 s 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 圖圖(2.4.2)(2.4.2) y x o x A y A A 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 在平面在平面內(nèi)取定直角坐標系內(nèi)取定直角坐標系，于是，于是xoy 場中每一個具有分量場中每一個

3、具有分量 xyxy AAAA iA j與的向量 圖圖(2.4.2)(2.4.2)便可用復數(shù)便可用復數(shù) 來表示來表示 由于場中的點可用復數(shù)由于場中的點可用復數(shù)zxiy 來表示，所來表示，所 以平面向量場以平面向量場 ( , )( , ) xy AA x y iiA x y j xy AAiA 可借助于可借助于 復變函數(shù)：復變函數(shù)：( , )( , ) xy AA x yiA x y 來表示，來表示， 0 s 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 已知某以復變函數(shù)已知某以復變函數(shù) 由此可作出對應的向量場為：由此可作出對應的向量場為： 同樣，考慮垂直于均勻帶電的無限長直導線同樣，考慮

4、垂直于均勻帶電的無限長直導線 的所有平面上，電場分布情況完全相同，因的所有平面上，電場分布情況完全相同，因 而可以取其中以平面作代表，當作平面定常而可以取其中以平面作代表，當作平面定常 向量場來研究，由于電場強度向量向量場來研究，由于電場強度向量 ( , )( , ),wu x yiv x y ( , )( , )wu x y iv x y j ( , )( , ) xy EEx y iEx y j 所以該平面場可以用一個復變函數(shù)所以該平面場可以用一個復變函數(shù) ( , )( , ) xy EEx yiEx y來表示。來表示。 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 設設“流體是不

5、可壓縮流體是不可壓縮”是指流體的密度不是指流體的密度不 因壓力的變化而變化。取流體所在的平面因壓力的變化而變化。取流體所在的平面 為復平面，場內(nèi)各點處的速度向量為：為復平面，場內(nèi)各點處的速度向量為： 若在某一區(qū)間若在某一區(qū)間D D內(nèi)該場是無源的，那么：內(nèi)該場是無源的，那么： ( , )( , ) xy vv x y ivx y j ,. yy xx vv vv divv xyxy 即有 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 的全微分，即：的全微分，即： 是某一二元函數(shù)是某一二元函數(shù)因而因而 yx v dxv dy ( ,)x y ( , ) . yx dx ydxdy xx v

6、 dxv dy 在這個函數(shù)的等值線在這個函數(shù)的等值線 1 ( , )x yc 上有上有 /. y x v dy dxxyv 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 上式表明，在曲線上式表明，在曲線 上，場的上，場的 向量與該曲線相切，因此稱此曲線向量與該曲線相切，因此稱此曲線 1 ( , )x yc 1 ( , )x yc 為流線，稱函數(shù)為流線，稱函數(shù) ( , )x y 為流函數(shù)。為流函數(shù)。 又若在區(qū)域又若在區(qū)域D D內(nèi)，該場是無旋的，則有：內(nèi)，該場是無旋的，則有： 0, yy xx vv vv rotv xyxy 即有 所以所以, ) xy v dxv dyx y為某一二元函數(shù)

7、（ 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 的全微分，即：的全微分，即： ( , ) xy dx ydxdyv dxv dy xy 而而 ( , ) xy gradx yijv dxv dy xy 因此因此 ( , )x y 是場是場 ( , )( , ) xy vvx y iivx y j 的勢函數(shù)，曲線的勢函數(shù)，曲線 2 ( , )x yc 稱為等勢線稱為等勢線 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 在等勢線上，有：在等勢線上，有： 若在區(qū)域若在區(qū)域D D內(nèi)，該場無源又無旋，則有：內(nèi)，該場無源又無旋，則有： 因此，當上述四個偏導數(shù)連續(xù)時，因此，當上述四個偏導數(shù)

8、連續(xù)時， / x y vdy dxxyv (),() xy vv xyyx ( )( , )( , )wf zx yix y 構(gòu)成一個解析函數(shù)，通常稱此函數(shù)，構(gòu)成一個解析函數(shù)，通常稱此函數(shù)， 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 為這個場的復勢。由為這個場的復勢。由(2.2.2)知知( )f x ( ) xy fziviv xy 于是有于是有( ) xy vvivfz 通常稱通常稱( )fz 是該場的復速度。是該場的復速度。 從上述討論可以看到，一個無源無旋的平從上述討論可以看到，一個無源無旋的平 面流體場的復勢是一個解析函數(shù)，反之，已知面流體場的復勢是一個解析函數(shù)，反之，已知

9、 一個解析函數(shù)，由此可構(gòu)造出一個平面流體場，一個解析函數(shù)，由此可構(gòu)造出一個平面流體場， 而該流體場的復勢正是這個解析函數(shù)來表示，而該流體場的復勢正是這個解析函數(shù)來表示， 這就是解析函數(shù)的物理意義。這就是解析函數(shù)的物理意義。 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 除此之外，用復勢來刻畫流動比用復速度除此之外，用復勢來刻畫流動比用復速度 方便，因為由復勢求復速度只用到求導數(shù)，方便，因為由復勢求復速度只用到求導數(shù)， 反之則要用積分，而且由復勢容易求流線和反之則要用積分，而且由復勢容易求流線和 勢線，這樣就可以了解流動的情況。勢線，這樣就可以了解流動的情況。 例例 1 考查復勢為考查復

10、勢為( ),( , )f zaxx yay 故勢線是故勢線是 1, xc 流線是流線是 2 yc 12 ( ,c c 均為實數(shù)） ( ),fza 所以場中任一點的流速為所以場中任一點的流速為( )vfza 方向指向方向指向x軸正向。軸正向。 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 該場的流動情況如（圖該場的流動情況如（圖2.4.3)所示，這所示，這 種流體稱為均勻常流（實線表示流線，虛種流體稱為均勻常流（實線表示流線，虛 線表示勢線）。線表示勢線）。 y x 流流 線線 等勢線等勢線 o 圖圖(2.4.3) 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 例例 2 設原點是

11、強度設原點是強度(在單位時間流出或漏去在單位時間流出或漏去 的液量）為的液量）為N0源頭（或源頭（或N0的溝匯的溝匯)。而在無窮。而在無窮 遠處流體保持靜止，并且在平面上沒有其他的源遠處流體保持靜止，并且在平面上沒有其他的源 頭和溝匯，顯然，流線是由原點發(fā)出的半射線，頭和溝匯，顯然，流線是由原點發(fā)出的半射線， 等勢線是以原點為中心的圓周。速度的大小僅與等勢線是以原點為中心的圓周。速度的大小僅與 點點z的模有關，方向與圓周的模有關，方向與圓周zr的外法線的方的外法線的方 向一致，因而流速向量可表示為：向一致，因而流速向量可表示為： 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 由于流體是

12、不可壓縮的，流體在任一圓環(huán)域由于流體是不可壓縮的，流體在任一圓環(huán)域 (). z vhz z 12 rzr 內(nèi)不能積蓄，所以流過圓周內(nèi)不能積蓄，所以流過圓周 1 zr與與 2 zr 的流量為的流量為 0 ()2. () zrzr Nvn dsh z dsz h z 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 0 n（其中（其中 是是 zr 的單位外法線向量，的單位外法線向量， ds是弧微分）所以：是弧微分）所以： (), 2 N hz z 而流量可表示為：而流量可表示為： 1 ., 22 NzN v zzz 顯然它符合顯然它符合“在無窮遠處靜止狀態(tài)在無窮遠處靜止狀態(tài)”要求，要求， 由此

13、可求得復勢函數(shù)由此可求得復勢函數(shù)( )f z的導數(shù)為的導數(shù)為 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 故所求復勢函數(shù)為：故所求復勢函數(shù)為： 1 ( )( ). . 2 N fzv z z ( ). 2 N f zLnzc 進一步得到勢函數(shù)和流函數(shù)分別為：進一步得到勢函數(shù)和流函數(shù)分別為： 1 2 (,)ln, 2 (,) 2 N xyzc N xyA rgzc 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 該場的流體情況該場的流體情況(圖圖2.4.4)和和(圖圖2.4.5)所所 示示(實線表示流線，虛線表示勢線）。實線表示流線，虛線表示勢線）。 用復變函數(shù)來表示平面向量場用

14、復變函數(shù)來表示平面向量場 例例 3 設原點是一個漩渦點，其強度為設原點是一個漩渦點，其強度為i 時間繞原點流動的液量為時間繞原點流動的液量為 ），）， 上沒有其他的漩渦點，在此情況，流線是以原上沒有其他的漩渦點，在此情況，流線是以原 點為中心的圓周，等勢線是原點發(fā)出的射線，點為中心的圓周，等勢線是原點發(fā)出的射線， 速度向量可表示為：速度向量可表示為： (在單位在單位 在無窮遠處流體保持靜止狀態(tài)，并且平面在無窮遠處流體保持靜止狀態(tài)，并且平面 (). iz vh z z 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 而沿圓周而沿圓周zr的環(huán)量的環(huán)量 0 .()2. (). zrzr v s

15、 dsh z dsz h z （其中（其中 0 szr是的單位向量，的單位向量，ds是弧微分）是弧微分） (). 2 hz z 因而：因而： 2 1 . . 2 2 i zi v z z 所以所以 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 仿例仿例2可求得復勢為：可求得復勢為： ( ). 22 i f zLnzcLnzc i 故該場得流動情況在故該場得流動情況在0 時，如時，如(圖圖2.4.6)所示；所示； 在在 時，時， 如如(圖圖2.4.7)所示，所示，0 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 圖圖2.4.6 圖圖2.4.7 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)

16、來表示平面向量場 2.4.3 平面靜電場平面靜電場 取靜電場所在得平面為復平面，場強向量為：取靜電場所在得平面為復平面，場強向量為： xy EE iE j 我們知道，若在某一區(qū)域我們知道，若在某一區(qū)域D內(nèi)沒有電荷（即內(nèi)沒有電荷（即 為管量場），則：為管量場），則： 0, y x y x E E divE xy E E xy 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 從而知在區(qū)域從而知在區(qū)域D 內(nèi)，內(nèi)， 是某一二元函數(shù)是某一二元函數(shù) yx E dxE dy ( , )u x y的全微分，即：的全微分，即： ( ,) . yx uu du x ydxdy xy E dxE dy 與討論

17、流體場一樣，在曲線與討論流體場一樣，在曲線 1 ( , )u x yc 上，場強向量與該曲線相切，因此稱此上，場強向量與該曲線相切，因此稱此 曲線為力線（即電力線），稱此函數(shù)曲線為力線（即電力線），稱此函數(shù)( , )u x y 為力函數(shù)。為力函數(shù)。 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 據(jù)電學理論知道，平面靜電場又是一個據(jù)電學理論知道，平面靜電場又是一個 勢場，那么勢場，那么 0 y x E E rotE xy 即有：即有： . y x E E xy 因此在區(qū)間因此在區(qū)間D內(nèi)內(nèi) xy E dxE dy 也是某一二元函數(shù)也是某一二元函數(shù) ( , )v x y 的全微分，即的全微分

18、，即 ( , ). xy vv dv x ydxdyE dxE dy xy 由此得：由此得： xy vv gradvijE iE jE xy 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 是場是場E的勢函數(shù)，也可以的勢函數(shù)，也可以 ( , )v x y 稱為場的電位或電勢，等值線稱為場的電位或電勢，等值線 2 ( , )v x yc 稱為等勢線或等位線。稱為等勢線或等位線。 所以所以 若在某一區(qū)域若在某一區(qū)域D內(nèi)，不含有電荷，則力函數(shù)內(nèi)，不含有電荷，則力函數(shù) ( , )u x y與勢函數(shù)與勢函數(shù)( , )v x y 滿足柯西黎曼條件滿足柯西黎曼條件 , uvuv xyyx 用復變函數(shù)來

19、表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 當上述四個偏導數(shù)連續(xù)時，從而可當上述四個偏導數(shù)連續(xù)時，從而可 得得D內(nèi)的一個解析函數(shù)內(nèi)的一個解析函數(shù) ( )( , )( , )wf zu x yiv x y(2.4.5) 稱這個函數(shù)位靜電場的復勢（或電位），稱這個函數(shù)位靜電場的復勢（或電位）， 場場E可以用復勢表示為可以用復勢表示為 ( ). vu Eiifz xx (2.4.6) 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 可見靜電場的復勢和電流場的復勢相可見靜電場的復勢和電流場的復勢相 差一個因子差一個因子 i 通流體場一樣，利用靜電場的復勢，可通流體場一樣，利用靜電場的復勢，可 見研究場的等式線和電力線分布情況，見研究場的等式線和電力線分布情況， 描繪出該場的圖形。描繪出該場的圖形。 ，這是電工上的習慣用法，這是電工上的習慣用法， 用復變函數(shù)來表示平面向量場用復變函數(shù)來表示平面向量場 例例 1 周圍所形成的電場，用周圍所形成的電場，用q q表示垂直于表示垂直于 L L。在此平面上一點。在此平面上一點zxiy 處的場強記為處的場強記為E.求求E的表達式。的表達式。 研究帶有電荷的無限長直線研究帶有電荷的無限長直線L L的的 用復變函數(shù)來表