2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.3 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算學(xué)案新人教A版選修2-1

1、2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.3 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算學(xué)案新人教a版選修2-12020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.3 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算學(xué)案新人教a版選修2-1年級(jí)：姓名：31.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法2.掌握空間向量數(shù)量積及運(yùn)算律3.能用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何問(wèn)題.利用直觀想象發(fā)展邏輯推理提高數(shù)學(xué)運(yùn)算授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第57頁(yè)基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)知識(shí)點(diǎn)一空間向量的夾角(1)如圖所示的等邊三角形abc中，的夾角是60嗎？提示：不是(2)如圖，已知在正方體abcda1b1c

2、1d1中，e，f分別是aa1和d1c1的中點(diǎn)，如何確定和的夾角提示：與平面向量的夾角定義一樣，上圖中與的夾角就是與的夾角即age就是與的夾角 知識(shí)梳理空間向量的夾角(1)如圖所示，已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)o，作a，b，則aob叫做向量a，b的夾角，記作a，b(2)a，b為非零向量，a，bb，a，a與b的夾角的范圍是0，其中當(dāng)a，b0時(shí)，a與b方向相同；當(dāng)a，b時(shí)，a與b方向相反；當(dāng)a，b時(shí)，a與b互相垂直反之，若ab，則a，b0或；若ab，則a，b.知識(shí)點(diǎn)二空間向量的數(shù)量積及其性質(zhì)平面向量的數(shù)量積ab的結(jié)果怎樣？這一結(jié)果是向量還是數(shù)量？數(shù)量積滿足什么運(yùn)算律？提示：|a|b|cos

3、 (為a與b的夾角)是數(shù)量交換律abba.分配律(ab)cacbc.類比平面向量的數(shù)量積運(yùn)算的定義，可以推廣到空間向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律 知識(shí)梳理數(shù)量積的概念及運(yùn)算律(1)已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a|b|cosa，b叫做a，b的數(shù)量積，記作ab，即ab|a|b|cosa，b(2)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)abab0.|a|2aa，|a|.cosa，b.(3)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律(a)b(ab)abba(交換律)a(bc)abac(分配律)特別提醒：不滿足結(jié)合律(ab)ca(bc)自我檢測(cè)1在正四面體abcd中，與的夾角等于()a30b60c150 d120答案：d2正方體abcda1b1c

4、1d1的棱長(zhǎng)等于2，則等于()a2 b2c4 d4答案：c3已知空間向量a，b的夾角為120，且|a|1，|b|2，則a(2a3b)_.答案：5授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第57頁(yè)探究一求空間向量的數(shù)量積教材p98習(xí)題3.1a組4題如圖，已知空間四邊形abcd的每條邊及ac，bd的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)e，f，g分別是ab，ad，dc的中點(diǎn)，求：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).解析：(1)|cos 60a2.(2)|cos 120a2.(3)|cos 180a2.(4)|cos 60a2.(5)|cos 120a2.(6)|cos 120|cos 60|cos 60a2.例1已知長(zhǎng)方體abc

5、da1b1c1d中，abaa12，ad4，e為側(cè)面ab1的中心，f為a1d1的中點(diǎn)試計(jì)算：(1)；(2)；(3).解析如圖，設(shè)a，b，c，則|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)b|b|24216.(2)(ac)|c|2|a|222220.(3)(abc)|a|2|b|22.方法技巧由向量數(shù)量積的定義知，要求a與b的數(shù)量積，需已知|a|，|b|和a，b，a與b的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使ab計(jì)算準(zhǔn)確跟蹤探究1.已知空間向量a，b滿足|a|4，|b|8，a與b的夾角為150，求下列各式的值(1)ab；(2)(a2b)(2a3b)解析：|a|4，|b|8，a與

6、b的夾角為150(1)ab48cos 15016.(2)(a2b)(2a3b)2a2ab6b2242(16)68235216.探究二利用數(shù)量積求夾角教材p92練習(xí)(1)如圖，在正三棱柱abca1b1c1中，若abbb1，則ab1與c1b所成角的大小為()a60b90c105d75解析：設(shè)bb11，則ab，()()21cos 600，ab1c1b.答案：b例2如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，求向量與的夾角的大小解析法一：因?yàn)?，所以d1ac即為向量與的夾角因?yàn)閐1ac為等邊三角形，所以d1ac60，即，60.所以向量與的夾角為60.法二：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則()()()()0001.又

7、|，|，所以cos，.因?yàn)椋?，180，所以，60.所以向量與的夾角為60.方法技巧兩個(gè)非零向量夾角求法的兩個(gè)途徑(1)轉(zhuǎn)化求角：把向量夾角轉(zhuǎn)化為平面幾何中的對(duì)應(yīng)角，利用解三角形的知識(shí)求解；(2)利用數(shù)量積求夾角：運(yùn)用公式cosa，b進(jìn)行求解跟蹤探究2.如圖，在空間四邊形oabc中，oa8，ab6，ac4，bc5，oac45，oab60，求oa與bc所成角的余弦值解析：因?yàn)椋詜cos，|cos，84cos 13586cos 1201624.所以cos，即oa與bc所成角的余弦值為.探究三利用數(shù)量積求距離或長(zhǎng)度教材p92練習(xí)2如圖，在平行六面體abcdabcd中，ab4，ad3，aa5，ba

8、d90，baadaa60，求ac的長(zhǎng)解析：，2221692524523585，|，即ac的長(zhǎng)為.例3正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)abca1b1c1的各棱長(zhǎng)都為2，e，f分別是ab，a1c1的中點(diǎn)，求ef的長(zhǎng)解析如圖所示，設(shè)a，b，c.由題意知|a|b|c|2，且a，b60，a，cb，c90.因?yàn)閍bc，所以ef2|22a2b2c22222222222cos 6011415，所以ef.方法技巧求兩點(diǎn)間的距離或線段長(zhǎng)度的方法(1)將此線段用向量表示；(2)用其他已知夾角和模的向量表示該向量；(3)利用|a|，通過(guò)計(jì)算求出|a|，即得所求距離延伸探究例3的條件不變，求ec1的長(zhǎng)解析：由例3的

9、解答知bac，所以|22a2b2c22444227，所以|，即ec1.跟蹤探究3.如圖，已知一個(gè)60的二面角的棱上有兩點(diǎn)a，b，ac，bd分別是在這兩個(gè)面內(nèi)且垂直于ab的線段又知ab4，ac6，bd8，求cd的長(zhǎng)解析：caab，bdab，120.，且0，0，|2()()|2|2|2222|2|2|22|cos，62428226868，|2，故cd的長(zhǎng)為2.探究四利用數(shù)量積證明垂直問(wèn)題教材p91例3如圖，m，n是平面內(nèi)的兩條相交直線如果lm，ln，求證：l.題型：用向量法證明空間中的垂直關(guān)系方法步驟：(1)在平面內(nèi)任作一條直線g.分別在l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g；(2)由平面向量基

10、本定理得gxmyn；(3)求出lg0得lg，所以lg即l.例4如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，p是dd1的中點(diǎn)，o是底面abcd的中心求證：b1o平面pac.證明取a，b，c，且|a|b|c|1.則有ab，()abc，(ab)|a|2abab|b|2acbc0.，即acob1.bc，ab|b|2cbacbc|c|20，即ob1ap.又acapa，ob1平面apc.方法技巧利用數(shù)量積證明垂直問(wèn)題的一般方法將所證垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，然后把直線轉(zhuǎn)化為向量，并用已知向量表示未知向量，然后通過(guò)向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算，證明直線所在向量的數(shù)量積等于零，即可證明線線垂直跟蹤探究4.已知

11、空間四邊形oabc中，m，n，p，q分別為bc，ac，oa，ob的中點(diǎn)，若aboc，求證：pmqn.證明：如圖，設(shè)a，b，c，又p，m分別為oa，bc的中點(diǎn)，(bc)a(ba)c同理，(ac)b(ba)c(|ba|2|c|2)又aboc，即|ba|c|，0，即pmqn.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第59頁(yè)課后小結(jié)(1)因?yàn)榭臻g任意兩個(gè)向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個(gè)向量的夾角定義、數(shù)量積的意義與性質(zhì)都與平面向量相同(2)求空間向量的數(shù)量積要找到兩個(gè)向量的模和夾角，證明兩向量垂直可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的數(shù)量積為零；求線段的長(zhǎng)度可轉(zhuǎn)化為用數(shù)量積的求模公式|a|；求異面直線的夾角的關(guān)鍵是在兩直線上構(gòu)造向量，使用夾角公式解決素養(yǎng)培優(yōu)1混淆向量與實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)致誤已知a，b都是非零向量，且向量a3b與7a5b垂直，向量a4b與7a2b垂直，求向量a，b的夾角易錯(cuò)分析向量的運(yùn)算性質(zhì)與實(shí)數(shù)不同，若b(2ab)0不一定有b0或2ab0，本題在此處誤當(dāng)作實(shí)數(shù)運(yùn)算而導(dǎo)致了錯(cuò)誤考查直觀想象、邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng)自我糾正由題意得即兩式相減得46ab23b20，b22ab，代入7a216ab15b20，得a22ab，a2b22ab，設(shè)a與b的夾角為，cos ，向量a與b的夾角為60.2向量的夾角與空間角混淆致誤如圖所示，在平面角為120的二