運(yùn)用平衡判據(jù)探討系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件[務(wù)實(shí)運(yùn)用]

1、 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 題目：運(yùn)用平衡判據(jù)探討系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件系 （部）學(xué)科門類 專 業(yè) 學(xué) 號(hào) 姓 名 指導(dǎo)教師 職 稱 年 月 日運(yùn)用平衡判據(jù)探討系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件摘 要熵判據(jù)是討論熱力學(xué)系統(tǒng)是否處于平衡態(tài)的最基本判據(jù)，但在實(shí)際熱力學(xué)過程中可以引入其它判據(jù)進(jìn)行討論。本文探討了系統(tǒng)在熵和體積不變時(shí)，由內(nèi)能判據(jù)出發(fā)，再結(jié)合雅克比行列式，詳細(xì)推證了平衡穩(wěn)定性條件。該方法條理清楚，步驟簡(jiǎn)明，便于理解。關(guān)鍵詞：熵判據(jù) 內(nèi)能判據(jù) 雅克比行列式 平衡穩(wěn)定性條件 ABSTRACTEntropy criterion is the most basic criterion in discussing t

2、he equilibrium state of thermodynamic system, but we can introduce other criterion for discussion in the actual thermodynamic process. This essay discusses the requirement for a system to reach a equilibrium stability in detail. The discussion is in condition of constant entropy and volume, and on t

3、he basis of the internal energy criterion and the Jacobian. This method is clear, concise, and easy to master.Key words: entropy criterion internal energy criterion Jacobian the equilibrium stability condition優(yōu)異b目 錄1 引言.12 系統(tǒng)的平衡判據(jù).12.1 熵判據(jù).12.2 內(nèi)能判據(jù).23 平衡的穩(wěn)定性條件.24 雅克比行列式.44.1 定義.44.2 表達(dá)式及相關(guān)內(nèi)容.45 由內(nèi)能

4、判據(jù)推證系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件.5結(jié)論.8參考文獻(xiàn).9致謝.101 引言經(jīng)典熱力學(xué)是建立在系統(tǒng)處于平衡態(tài)基礎(chǔ)上的，因此，研究某一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)，分析它是否處于平衡態(tài)具有極其重要的實(shí)踐意義。熱力學(xué)系統(tǒng)在不同的條件下有不同的平衡判據(jù),實(shí)際情況中要依據(jù)系統(tǒng)所處的條件而采用相應(yīng)的平衡判據(jù),得到系統(tǒng)的平衡條件和平衡穩(wěn)定性條件,用來判斷某一個(gè)理論過程的各個(gè)狀態(tài)是否真實(shí)存在。如圖所示：在由氣體的范德瓦爾斯方程畫出的等溫線圖中，利用平衡穩(wěn)定性條件可以判斷其中AB段曲線是不存在的，與實(shí)驗(yàn)所得出的結(jié)果不相符，這也正說明了范德瓦爾斯氣體方程理論上有很大的缺陷性。另外研究平衡體系的穩(wěn)定條件,在生產(chǎn)實(shí)踐中也具有較高的實(shí)際應(yīng)用

5、價(jià)值，可以解決諸如合金、高分子、溶液等的至關(guān)重要的穩(wěn)定性問題。在熱力學(xué)系統(tǒng)中，系統(tǒng)的平衡條件與平衡穩(wěn)定性條件一般都是由熵判據(jù)推導(dǎo)出來的。熵判據(jù)是最基本的平衡判據(jù)，它只適用于孤立的系統(tǒng)。在實(shí)際情況中遇到的特定物理?xiàng)l件下，應(yīng)用其它判據(jù)比較方便，且其對(duì)應(yīng)的平衡判據(jù)也是唯一的。當(dāng)系統(tǒng)的熵和體積不變時(shí)，可以用內(nèi)能判據(jù)推證平衡穩(wěn)定性條件。熱力學(xué)理論中關(guān)系式的證明與推導(dǎo)離不開數(shù)學(xué)手段和方法，而且采用不同的數(shù)學(xué)手段與方法總會(huì)得到異曲同工的效果。其中，應(yīng)用雅克比行列式可以解決熱力學(xué)關(guān)系式的證明及其熱力學(xué)函數(shù)中一階偏導(dǎo)數(shù)的轉(zhuǎn)換問題，可以簡(jiǎn)化推導(dǎo)步驟，易于掌握。需要說明的是，在推導(dǎo)平衡穩(wěn)定性條件時(shí)并不是所有的函數(shù)判

6、據(jù)都可用此法推導(dǎo)，它只適用于用兩個(gè)廣延量為變量表述的函數(shù)判據(jù)，而內(nèi)能判據(jù)符合這一條件。因此，本文將由內(nèi)能判據(jù)出發(fā)，再結(jié)合雅克比變換的方法詳細(xì)推證系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性條件。2 系統(tǒng)的平衡判據(jù)熱力學(xué)系統(tǒng)在不同的條件下有不同的平衡判據(jù)，如在內(nèi)能和體積不變時(shí)有熵判據(jù)，熵和體積不變時(shí)有內(nèi)能判據(jù)，等溫等壓條件下有吉布斯函數(shù)判據(jù)，等熵等壓條件下有焓判據(jù)，等溫等容條件下有自由能判據(jù)等。本文將主要介紹熵判據(jù)和內(nèi)能判據(jù)。2.1 熵判據(jù)在熱力學(xué)中，熵增加原理表明，孤立系統(tǒng)的熵永不減少。孤立系統(tǒng)中發(fā)生的趨向平衡的過程，一定沿著熵增加的方向進(jìn)行。當(dāng)孤立系統(tǒng)的熵增加到極大值時(shí)，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不再發(fā)生變化，這時(shí)系統(tǒng)就達(dá)到了平衡

7、狀態(tài)。在判定孤立系統(tǒng)是否處于平衡態(tài)時(shí)可以利用熵函數(shù)這一性質(zhì)，即為熵判據(jù)。在體積和內(nèi)能不變時(shí)，圍繞某一狀態(tài)發(fā)生的各種變動(dòng)所導(dǎo)致的熵變，那么這一狀態(tài)的熵就具有極大值，其所處的平衡狀態(tài)也是穩(wěn)定的。由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，時(shí)，熵函數(shù)有極大值，由可以導(dǎo)出平衡條件，由可以導(dǎo)出平衡穩(wěn)定性條件。2.2 內(nèi)能判據(jù)根據(jù)熱力學(xué)基本微分方程可知,若，時(shí),則，即當(dāng)系統(tǒng)在熵和體積不變時(shí)，所進(jìn)行的任何熱力學(xué)過程，其內(nèi)能永不增大。當(dāng)該系統(tǒng)的內(nèi)能取極小值的時(shí)候，系統(tǒng)就達(dá)到了穩(wěn)定的平衡態(tài)。在判定該系統(tǒng)是否處于平衡態(tài)時(shí)可以利用內(nèi)能函數(shù)的這一性質(zhì)，故內(nèi)能判據(jù)可表示為：當(dāng)，時(shí)，對(duì)于處于平衡態(tài)的系統(tǒng)，其內(nèi)能最小?；跀?shù)學(xué)上的極小值條件,內(nèi)能判據(jù)

8、可表為，即為平衡條件和平衡的穩(wěn)定性條件。3 平衡的穩(wěn)定性條件由于不同的熱力學(xué)系統(tǒng)，系統(tǒng)平衡的必要條件及平衡穩(wěn)定性條件有不同的形式，下面以孤立系統(tǒng)為例，根據(jù)熵判據(jù)分析系統(tǒng)平衡的必要條件及平衡穩(wěn)定性條件。假設(shè)某一孤立系統(tǒng)由兩部分組成，設(shè)和分別表示兩部分的體積、內(nèi)能和粒子數(shù)。令： （1）設(shè)系統(tǒng)在平衡態(tài)附近有虛變動(dòng)，則有： = （2） = （3） （4）由熵平衡判據(jù)可知，在平衡態(tài)時(shí)系統(tǒng)的熵取極大值，即： （5） （6）把（2）式、（3）式代入（5）式： （7）因?yàn)樘撟儎?dòng)均為任意，要使（7）式成立，則有： （8）即熱力學(xué)系統(tǒng)的平衡條件是：等溫、等壓和化學(xué)勢(shì)相同。對(duì)于粒子數(shù)不變的孤立系統(tǒng)，有：,將其展開到

9、二級(jí)項(xiàng)，有： = （9）結(jié)合（9）式，由（6）式得： =即得： （10）因?yàn)榭梢匀我獾淖兓?，為使上式能夠成立，則須滿足： （11） （12）將,代入（11）式得： =得： （13）結(jié)合（11）式，由（12）式得： （14）用矩陣表示上式，即： = = （15） 則： （16） 綜上可得，系統(tǒng)的平衡的穩(wěn)定性條件即為： 及 （17）4 雅克比行列式4.1 定義在熱力學(xué)中，雅克比行列式是其進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)變換運(yùn)算的一個(gè)有用的工具。設(shè)是獨(dú)立變量的函數(shù)： 設(shè)表示的雅克比行列式為： 4.2 表達(dá)式及相關(guān)內(nèi)容雅克比行列式的性質(zhì)： （1） （2） （3） ,相當(dāng)于只進(jìn)行一個(gè)變量的轉(zhuǎn)換。 （4） ，其中為另一對(duì)獨(dú)立變

10、量。 （5） （6） 熱力學(xué)基本方程的雅克比表示： 麥克斯韋關(guān)系式的雅克比表示： ,即即4個(gè)麥克斯韋關(guān)系式 和 都可以用上式表示。熱力學(xué)函數(shù)的雅克比表示與可測(cè)量的關(guān)系表達(dá)式：對(duì)于簡(jiǎn)單系統(tǒng)有，則 5 由內(nèi)能判據(jù)推證系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件熱力學(xué)系統(tǒng)在熵和體積不變時(shí)，運(yùn)用內(nèi)能判據(jù)推導(dǎo)系統(tǒng)的平衡條件和平衡穩(wěn)定性條件。假設(shè)某一均勻孤立系統(tǒng)，熵為，體積為,內(nèi)能為，粒子數(shù)為，將其分為兩部分，和分別表示兩部分的體積、內(nèi)能、粒子數(shù)和熵，則應(yīng)滿足： （1）設(shè)系統(tǒng)在平衡態(tài)附近有虛變動(dòng)，則有： （2）孤立系統(tǒng)有： （3）根據(jù)熵判據(jù)，則有： （4）孤立系統(tǒng)的熱力學(xué)基本方程為，將其代入（4）式 （5）結(jié)合（2）式，將（5）

11、式變?yōu)椋?（6）因?yàn)樘撟儎?dòng)均為任意，要讓（6）式成立，則有： （7）即熱力學(xué)系統(tǒng)的平衡條件是：等溫、等壓和化學(xué)勢(shì)相同。對(duì)于粒子數(shù)不變的系統(tǒng)，有，將其展開到二級(jí)項(xiàng)，有： = （8）由內(nèi)能判據(jù)可知：要求平衡穩(wěn)定性條件有，則： = （9）對(duì)此系統(tǒng)，有特性函數(shù)，則： 將代入上式，得： 則： （10）結(jié)合（10）式，（9）式可變?yōu)椋?（11）由（11）式得： （12） （13）結(jié)合，（12）式可變?yōu)椋?得： （14）以上的推證過程與許多優(yōu)秀教材中的過程相比，思路清晰，通俗易懂。為使推導(dǎo)的步驟更加簡(jiǎn)潔明了，下面本文將依據(jù)內(nèi)能判據(jù)，結(jié)合雅克比行列式推證平衡穩(wěn)定性條件。結(jié)合（12）式，（13）式可變?yōu)椋?利用

12、雅克比行列式定義將上式變?yōu)椋?= （15） 由熱力學(xué)基本方程 得： 結(jié)合，代入（15）式，得： 利用雅克比行列式性質(zhì)得： = 即得：綜上可得，系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性條件即為： 及 （16）結(jié)論 通過以上對(duì)比、分析可見，依據(jù)內(nèi)能判據(jù)，再結(jié)合雅克比行列式推導(dǎo)出的平衡穩(wěn)定性條件與只用熵判據(jù)推導(dǎo)出的結(jié)果完全一致。當(dāng)系統(tǒng)處在穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，不僅要滿足平衡的必要條件，還必須滿足平衡穩(wěn)定性條件：及否則系統(tǒng)平衡狀態(tài)很難維持穩(wěn)定。該方法條理清楚，步驟簡(jiǎn)明，便于理解。參考文獻(xiàn)l 馬本坤, 高尚惠, 孫煌. 熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)M. 北京: 高等教育出版社, 1986. 2 汪志誠(chéng). 熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)M. 北京: 高等教育

13、出版社, 1980. 3 龔昌德. 熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)M. 北京: 高等教育出版社, 1982. 4 王竹溪. 熱力學(xué)M. 北京: 高等教育出版社, 1955年9月第一版5 孫延. 防論平衡態(tài)的均勻系的體積無(wú)償自發(fā)收縮不可能J. 鄭州工學(xué)院學(xué)報(bào), 1986年第二期. 6 倪致祥. 一個(gè)統(tǒng)計(jì)物理問題的多種解法J. 大學(xué)物理, 2000年11期7 言經(jīng)柳. 巨正則系綜的最可幾統(tǒng)計(jì)法J. 廣西物理, 1998年04期8 潘宏利. 耗散結(jié)構(gòu)靜態(tài)穩(wěn)定性判據(jù)研究J. 漢中師范學(xué)院學(xué)報(bào), 1999年06期9 任亞杰. 熱力學(xué)系統(tǒng)平衡穩(wěn)定性條件的研究J. 首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2001年04期10

14、 張凱莉, 朱孟正, 尹新國(guó). 力學(xué)系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性條件的研究J. 科技資訊, 2012. 11 肖波齊, 林紫霞, 蔣國(guó)平. 運(yùn)用3種判據(jù)推導(dǎo)熱力學(xué)系統(tǒng)平衡穩(wěn)定性條件J. 華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2010年01期. 12 呂依穎. 熱力學(xué)系統(tǒng)平衡判據(jù)和平衡穩(wěn)定條件推導(dǎo)的研究J. 魯東大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2012, 28(2): 126-128. 13 穆軼. 雅克比行列式在平衡穩(wěn)定性條件中的應(yīng)用J. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2008, 31(4): 487-490. 14 曾丹苓. 復(fù)相系平衡條件及平衡穩(wěn)定性條件的分析J. 工程熱物理學(xué)報(bào), 1996年01期. 15 周貴興. 熱力學(xué)平衡判據(jù)的穩(wěn)定條件J. 紡織基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào), 1990年04期. 致 謝經(jīng)過半年的忙碌和工作，畢業(yè)論文的寫作已經(jīng)接近尾聲，作為一個(gè)本科生，由于經(jīng)驗(yàn)的匱乏，難免有許多考慮不周全的地方，如果沒有導(dǎo)師的督促指導(dǎo)，想要順利完成論文是難以想象的。在這里首先要感謝我的導(dǎo)師。老