(湖南大學(xué)出版社)大學(xué)物理下冊(cè)課后習(xí)題答案和全解　全冊(cè)

1、 大學(xué)物理下冊(cè)課后習(xí)題全解第十二章 真空中的靜電場(chǎng)121 如圖所示，在直角三角形abcd的a點(diǎn)處，有點(diǎn)電荷q1 = 1.810-9c，b點(diǎn)處有點(diǎn)電荷q2 = -4.810-9c，ac = 3cm，bc = 4cm，試求c點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)e2ee1q2acq1b圖12.1解答根據(jù)點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)大小的公式，其中1/(40) = k = 9.0109nm2c-2點(diǎn)電荷q1在c點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為： 方向向下點(diǎn)電荷q2在c點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為，方向向右c處的總場(chǎng)強(qiáng)大小為，總場(chǎng)強(qiáng)與分場(chǎng)強(qiáng)e2的夾角為122 半徑為r的一段圓弧，圓心角為60，一半均勻帶正電，另一半均勻帶負(fù)電，其電線密度分別exxerdseyoy為+和-

2、，求圓心處的場(chǎng)強(qiáng)解答在帶正電的圓弧上取一弧元ds = rd，電荷元為dq = ds，在o點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為，場(chǎng)強(qiáng)的分量為dex = decos，dey = desin對(duì)于帶負(fù)電的圓弧，同樣可得在o點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)的兩個(gè)分量由于弧形是對(duì)稱的，x方向的合場(chǎng)強(qiáng)為零，總場(chǎng)強(qiáng)沿著y軸正方向，大小為dsexxereyoy123 均勻帶電細(xì)棒，棒長(zhǎng)a = 20cm，電荷線密度為 = 310-8cm-1，求：（1）棒的延長(zhǎng)線上與棒的近端d1 = 8cm處的場(chǎng)強(qiáng)；（2）棒的垂直平分在線與棒的中點(diǎn)相距d2 = 8cm處的場(chǎng)強(qiáng)解答（1）建立坐標(biāo)系，其中l(wèi) = a/2 = 0.1(m)，x = l+d1 = 0.18(m)o

3、lxxdlyp1r-lld1在細(xì)棒上取一線元dl，所帶的電量為dq = dl，根據(jù)點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式，電荷元在p1點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的大小為 場(chǎng)強(qiáng)的方向沿x軸正向因此p1點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)大小通過積分得 將數(shù)值代入公式得p1點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為= 2.41103(nc-1)，olxxdlr-llyp2deyde2dexd2方向沿著x軸正向（2）建立坐標(biāo)系，y = d2在細(xì)棒上取一線元dl，所帶的電量為dq = dl，在棒的垂直平分在線的p2點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的大小為 ，由于棒是對(duì)稱的，x方向的合場(chǎng)強(qiáng)為零，y分量為 dey = de2sin由圖可知：r = d2/sin，l = d2cot，所以 dl = -d2d/sin2，

4、因此 ，總場(chǎng)強(qiáng)大小為 將數(shù)值代入公式得p2點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為= 5.27103(nc-1)方向沿著y軸正向討論（1）由于l = a/2，x = l+d1，代入式，化簡(jiǎn)得，保持d1不變，當(dāng)a時(shí)，可得， 這就是半無限長(zhǎng)帶電直線在相距為d1的延長(zhǎng)線上產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小（2）由式得，當(dāng)a時(shí)，得 ， 這就是無限長(zhǎng)帶電直線在線外產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)公式如果d1=d2，則有大小關(guān)系ey = 2e1124 一均勻帶電的細(xì)棒被彎成如圖所示的對(duì)稱形狀，試問為何值時(shí)，圓ro圖12.4心o點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)為零解答設(shè)電荷線密度為，先計(jì)算圓弧的電荷在圓心產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)在圓弧上取一弧元 ds =r d，所帶的電量為 dq = ds，在圓心處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的大

5、小為，由于弧是對(duì)稱的，場(chǎng)強(qiáng)只剩x分量，取x軸方向?yàn)檎瑘?chǎng)強(qiáng)為roxdde dex = -decos總場(chǎng)強(qiáng)為oeexr，方向沿著x軸正向再計(jì)算兩根半無限長(zhǎng)帶電直線在圓心產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)根據(jù)上一題的公式可得半無限長(zhǎng)帶電直線在延長(zhǎng)上o點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為， 由于兩根半無限長(zhǎng)帶電直線對(duì)稱放置，它們?cè)趏點(diǎn)產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)為，方向沿著x軸負(fù)向當(dāng)o點(diǎn)合場(chǎng)強(qiáng)為零時(shí)，必有，可得 tan/2 = 1，pbaqd圖12.5因此 /2 = /4， 所以 = /2125 一寬為b的無限長(zhǎng)均勻帶電平面薄板，其電荷密度為，如圖所示試求：（1）平板所在平面內(nèi)，距薄板邊緣為a處的場(chǎng)強(qiáng)（2）通過薄板幾何中心的垂直線上與薄板距離為d處的場(chǎng)強(qiáng)解

6、答（1）建立坐標(biāo)系在平面薄板上取一寬度為dx的帶電直線，電荷的線密度為d = d x，根據(jù)直線帶電線的場(chǎng)強(qiáng)公式，pbaoxdxy得帶電直線在p點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為，其方向沿x軸正向由于每條無限長(zhǎng)直線在p點(diǎn)的產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向相同，所以總場(chǎng)強(qiáng)為 場(chǎng)強(qiáng)方向沿x軸正向（2）為了便于觀察，將薄板旋轉(zhuǎn)建立坐標(biāo)系仍然在平面薄板上取一寬度為dx的帶電直線，電荷的線密度仍然為d = d x，帶電直線在q點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為qbdozdxxyrde，沿z軸方向的分量為，設(shè)x = dtan，則dx = dd/cos2，因此積分得 場(chǎng)強(qiáng)方向沿z軸正向討論（1）薄板單位長(zhǎng)度上電荷為 = b，式的場(chǎng)強(qiáng)可化為，當(dāng)b0時(shí)，薄板就變成一根直

7、線，應(yīng)用羅必塔法則或泰勒展開式，場(chǎng)強(qiáng)公式變?yōu)椋?這正是帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)公式（2）也可以化為，當(dāng)b0時(shí)，薄板就變成一根直線，應(yīng)用羅必塔法則或泰勒展開式，場(chǎng)強(qiáng)公式變?yōu)椋@也是帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)公式當(dāng)b時(shí)，可得：， 這是無限大帶電平面所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)公式126 （1）點(diǎn)電荷q位于一個(gè)邊長(zhǎng)為a的立方體中心，試求在該點(diǎn)電荷電場(chǎng)中穿過立方體一面的電通量是多少？（2）如果將該場(chǎng)源點(diǎn)電荷移到立方體的的一個(gè)角上，這時(shí)通過立方體各面的電通量是多少？解答點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電通量為e = q/0（1）當(dāng)點(diǎn)電荷放在中心時(shí)，電通量要穿過6個(gè)面，通過每一面的電通量為1 = e/6 = q/60（2）當(dāng)點(diǎn)電荷放在一個(gè)頂角時(shí)，電通量要穿過8個(gè)

8、卦限，立方體的3個(gè)面在一個(gè)卦限中，通過每個(gè)面的電通量為1 = e/24 = q/240；立方體的另外3個(gè)面的法向與電力線垂直，通過每個(gè)面的電通量為零127 面電荷密度為的均勻無限大帶電平板，以平板上的一點(diǎn)o為中心，r為半徑作一半球面，ro如圖所示求通過此半球面的電通量解答設(shè)想在平板下面補(bǔ)一個(gè)半球面，與上面的半球面合成一個(gè)球面球面內(nèi)包含的電荷為 q = r2，通過球面的電通量為圖12.7 e = q/0，通過半球面的電通量為e = e/2 = r2/20128 兩無限長(zhǎng)同軸圓柱面，半徑分別為r1和r2(r1 r2)，帶有等量異號(hào)電荷，單位長(zhǎng)度的電量為和-，求（1）r r1；（2） r1 r r2

9、處各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)解答由于電荷分布具有軸對(duì)稱性，所以電場(chǎng)分布也具有軸對(duì)稱性（1）在內(nèi)圓柱面內(nèi)做一同軸圓柱形高斯面，由于高斯內(nèi)沒有電荷，所以e = 0，（r r1）（2）在兩個(gè)圓柱之間做一長(zhǎng)度為l，半徑為r的同軸圓柱形高斯面，高斯面內(nèi)包含的電荷為 q = l，穿過高斯面的電通量為，根據(jù)高斯定理e = q/0，所以， (r1 r r2）s2s1es1s2eed2rs0es0129 一厚度為d的均勻帶電無限大平板，電荷體密度為，求板內(nèi)外各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)解答方法一：高斯定理法（1）由于平板具有面對(duì)稱性，因此產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的方向與平板垂直且對(duì)稱于中心面：e = e在板內(nèi)取一底面積為s，高為2r的圓柱面作為高斯面，場(chǎng)強(qiáng)與

10、上下兩表面的法線方向平等而與側(cè)面垂直，通過高斯面的電通量為，高斯面內(nèi)的體積為 v = 2rs，包含的電量為 q =v = 2rs，根據(jù)高斯定理 e = q/0，可得場(chǎng)強(qiáng)為 e = r/0，(0rd/2)（2）穿過平板作一底面積為s，高為2r的圓柱形高斯面，通過高斯面的電通量仍為 e = 2es，高斯面在板內(nèi)的體積為v = sd，包含的電量為 q =v = sd，根據(jù)高斯定理 e = q/0，可得場(chǎng)強(qiáng)為 e = d/20，(rd/2) 方法二：場(chǎng)強(qiáng)迭加法（1）由于平板的可視很多薄板迭而成的，以r為界，下面平板產(chǎn)生e2dyryoe1d的場(chǎng)強(qiáng)方向向上，上面平板產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向向下在下面板中取一薄層dy

11、，面電荷密度為d = dy，產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為 de1 = d/20，積分得，同理，上面板產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為，r處的總場(chǎng)強(qiáng)為e = e1-e2 = r/0（2）在公式和中，令r = d/2，得e2 = 0、e = e1 = d/20， e就是平板表面的場(chǎng)強(qiáng)平板外的場(chǎng)強(qiáng)是無數(shù)個(gè)無限薄的帶電平板產(chǎn)生的電場(chǎng)迭加的結(jié)果，是均強(qiáng)電場(chǎng)，方向與平板垂直，大小等于平板表面的場(chǎng)強(qiáng)，也能得出式1210 一半徑為r的均勻帶電球體內(nèi)的電荷體密度為，若在球內(nèi)挖去一塊半徑為rr的小球體，如圖所示，試求兩球心o與o處的電場(chǎng)強(qiáng)度，并證oraro圖12.10明小球空腔內(nèi)的電場(chǎng)為勻強(qiáng)電場(chǎng)解答挖去一塊小球體，相當(dāng)于在該處填充一塊電荷體密度為-

12、的小球體，因此，空間任何一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)是兩個(gè)球體產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的迭加對(duì)于一個(gè)半徑為r，電荷體密度為的球體來說，當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)p在球內(nèi)時(shí)，過p點(diǎn)作一半徑為r的同心球形高斯面，根據(jù)高斯定理可得方程p點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小為 當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)p在球外時(shí)，過p點(diǎn)作一半徑為r的同心球形高斯面，根據(jù)高斯定理可得方程 p點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小為 o點(diǎn)在大球體中心、小球體之外大球體在o點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為零，小球在o點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為oarorererep，方向由o指向oo點(diǎn)在小球體中心、大球體之內(nèi)小球體在o點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為零，大球在o點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為，方向也由o指向o證明在小球內(nèi)任一點(diǎn)p，大球和小球產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為， ，方向如圖所示設(shè)兩場(chǎng)強(qiáng)之間的夾角為，合場(chǎng)

13、強(qiáng)的平方為 ，根據(jù)余弦定理得 ，所以 ，可見：空腔內(nèi)任意點(diǎn)的電場(chǎng)是一個(gè)常量還可以證明：場(chǎng)強(qiáng)的方向沿著o到o的方向因此空腔內(nèi)的電場(chǎng)為勻強(qiáng)電場(chǎng)1211 如圖所示，在a、b兩點(diǎn)處放有電量分別為+q和-q的點(diǎn)電荷，ab間距離為2r，現(xiàn)將另一正試驗(yàn)電荷q0從o點(diǎn)經(jīng)過半圓弧路徑移到c點(diǎn)，-q+qobdca圖12.11求移動(dòng)過程中電場(chǎng)力所做的功解答正負(fù)電荷在o點(diǎn)的電勢(shì)的和為零：uo = 0；在c點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為，電場(chǎng)力將正電荷q0從o移到c所做的功為w = q0uod = q0(uo-ud) = q0q/60r1212 真空中有兩塊相互平行的無限大均勻帶電平面a和ba平面的電荷面密度為2，b平面的電荷面密度為

14、，兩面間的距離為d當(dāng)點(diǎn)電荷q從a面移到b面時(shí)，電場(chǎng)力做的功為多少？ 解答兩平面產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小分別為ea = 2/20 = /0，eb = /20，兩平面在它們之間產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向相反，因此，總場(chǎng)強(qiáng)大小為 e = ea - eb = /20，方向由a平面指向b平面兩平面間的電勢(shì)差為 u = ed = d/20，當(dāng)點(diǎn)電荷q從a面移到b面時(shí)，電場(chǎng)力做的功為 w = qu = qd/201213 一半徑為r的均勻帶電球面，帶電量為q若規(guī)定該球面上電勢(shì)值為零，則無限遠(yuǎn)處的電勢(shì)為多少？解答帶電球面在外部產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為 ，由于 ，當(dāng)ur = 0時(shí)，1214 電荷q均勻地分布在半徑為r的球體內(nèi)，試證明離球心r

15、（rr2）證明方法一：并聯(lián)電容法在外球外面再接一個(gè)半徑為r3大外球殼，外殼也接地內(nèi)球殼和外球殼之間是一個(gè)電容器，電容為外球殼和大外球殼之間也是一個(gè)電容器，電容為 外球殼是一極，由于內(nèi)球殼和大外球殼都接地，共享一極，所以兩個(gè)電容并聯(lián)當(dāng)r3趨于無窮大時(shí)，c2 = 40r2并聯(lián)電容為 方法二：電容定義法假設(shè)外殼帶正電為q，則內(nèi)殼將感應(yīng)電荷q內(nèi)球的電勢(shì)是兩個(gè)電荷產(chǎn)生的迭加的結(jié)果由于內(nèi)球接地，所以其電勢(shì)為零；由于內(nèi)球是一個(gè)等勢(shì)體，其球心的電勢(shì)為，因此感應(yīng)電荷為根據(jù)高斯定理可得兩球殼之間的場(chǎng)強(qiáng)為 ，負(fù)號(hào)表示場(chǎng)強(qiáng)方向由外球殼指向內(nèi)球殼取外球殼指向內(nèi)球殼的一條電力線，兩球殼之間的電勢(shì)差為球面間的電容為138

16、球形電容器的內(nèi)、外半徑分別為r1和r2，其間一半充滿相對(duì)介電常量為or2r1r圖13.8r的均勻電介質(zhì)，求電容c為多少？解答球形電容器的電容為對(duì)于半球來說，由于相對(duì)面積減少了一半，所以電容也減少一半：當(dāng)電容器中充滿介質(zhì)時(shí)，電容為：由于內(nèi)球是一極，外球是一極，所以兩個(gè)電容器并聯(lián)：139 設(shè)板面積為s的平板電容器析板間有兩層介質(zhì)，介電常量分別為1和2，厚度分別為d1和d2，d212d1圖13.9求電容器的電容解答假設(shè)在兩介質(zhì)的界面插入一薄導(dǎo)體，可知兩個(gè)電容器串聯(lián)，電容分別為 c1 = 1s/d1和c2 = 2s/d2總電容的倒數(shù)為 ，總電容為 1310 圓柱形電容器是由半徑為r1的導(dǎo)線和與它同軸的

17、內(nèi)半徑為r2的導(dǎo)體圓筒構(gòu)成的，其長(zhǎng)為l，其間充滿了介電常量為的介質(zhì)設(shè)沿軸線單位長(zhǎng)度導(dǎo)線上的電荷為，圓筒的電荷為-，略去邊緣效ds1s2s0rr2r1l應(yīng)求：（1）兩極的電勢(shì)差u；（2）介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度e、電位移d；（3）電容c，它是真空時(shí)電容的多少倍？解答介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移是軸對(duì)稱分布的在內(nèi)外半徑之間作一個(gè)半徑為r、長(zhǎng)為l的圓柱形高斯面，側(cè)面為s0，上下兩底面分別為s1和s2通過高斯面的電位移通量為，高斯面包圍的自由電荷為 q = l，根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理 d = q，可得電位為 d = /2r，方向垂直中心軸向外電場(chǎng)強(qiáng)度為 e = d/ = /2r，方向也垂直中心軸向外取一條電力線為積

18、分路徑，電勢(shì)差為電容為 在真空時(shí)的電容為 ，所以倍數(shù)為c/c0 = /01311 在半徑為r1的金屬球外還有一層半徑為r2的均勻介質(zhì)，相對(duì)介電常量為r設(shè)金屬球帶電q0，求：（1）介質(zhì)層內(nèi)、外d、e、p的分布；（2）介質(zhì)層內(nèi)、外表面的極化電荷面密度解答（1）在介質(zhì)內(nèi)，電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移以及極化強(qiáng)度是球?qū)ΨQ分布的在內(nèi)外半徑之間作一個(gè)半徑為r的球形高斯面，通過高斯面的電位移通量為高斯面包圍的自由電荷為q = q0，根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理 d = q，可得電位為 d = q0/4r2，方向沿著徑向用向量表示為 d = q0r/4r3電場(chǎng)強(qiáng)度為 e = d/0r = q0r/40rr3，方向沿著徑向由于d

19、= 0e + p， 所以 p = d - 0e = 在介質(zhì)之外是真空，真空可當(dāng)作介電常量r = 1的介質(zhì)處理，所以d = q0r/4r3，e = q0r/40r3，p = 0（2）在介質(zhì)層內(nèi)靠近金屬球處，自由電荷q0產(chǎn)生的場(chǎng)為 e0 = q0r/40r3；極化電荷q1產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為e = q1r/40r3；總場(chǎng)強(qiáng)為 e = q0r/40rr3由于 e = e0 + e，解得極化電荷為 ，介質(zhì)層內(nèi)表面的極化電荷面密度為 在介質(zhì)層外表面，極化電荷為 ，面密度為 1312 兩個(gè)電容器電容之比c1:c2 = 1:2，把它們串聯(lián)后接電源上充電，它們的靜電能量之比為多少？如果把它們并聯(lián)后接到電源上充電，它們

20、的靜電能之比又是多少？解答兩個(gè)電容器串聯(lián)后充電，每個(gè)電容器帶電量是相同的，根據(jù)靜電能量公式w = q2/2c，得靜電能之比為 w1:w2 = c2:c1 = 2:1兩個(gè)電容器并聯(lián)后充電，每個(gè)電容器兩端的電壓是相同的，根據(jù)靜電能量公式w = cu2/2，得靜電能之比為 w1:w2 = c1:c2 = 1:21313 一平行板電容器板面積為s，板間距離為d，接在電源上維持其電壓為u將一塊厚度為d相對(duì)介電常量為r的均勻介電質(zhì)板插入電容器的一半空間內(nèi)，求電容器的靜電能為多少？解答平行板電容器的電容為 c = 0s/d，當(dāng)面積減少一半時(shí)，電容為c1 = 0s/2d；另一半插入電介質(zhì)時(shí)，電容為c2 = 0

21、rs/2d兩個(gè)電容器并聯(lián)，總電容為 c = c1 + c2 = (1 + r)0s/2d，靜電能為 w = cu2/2 = (1 + r)0su2/4d1314 一平行板電容器板面積為s，板間距離為d，兩板豎直放著若電容器兩板充電到電壓為u時(shí)，斷開電源，使電容器的一半浸在相對(duì)介電常量為r的液體中求：（1）電容器的電容c；（2）浸入液體后電容器的靜電能；（3）極板上的自由電荷面密度解答（1）如前所述，兩電容器并聯(lián)的電容為 c = (1 + r)0s/2d（2）電容器充電前的電容為c0 = 0s/d， 充電后所帶電量為 q = c0u當(dāng)電容器的一半浸在介質(zhì)中后，電容雖然改變了，但是電量不變，所以靜

22、電能為w = q2/2c = c02u2/2c = 0su2/(1 + r)d（3）電容器的一半浸入介質(zhì)后，真空的一半的電容為 c1 = 0s/2d；介質(zhì)中的一半的電容為 c2 = 0rs/2d設(shè)兩半的所帶自由電荷分別為q1和q2，則q1 + q2 = q 由于c = q/u，所以u(píng) = q1/c1 = q2/c2 解聯(lián)立方程得，真空中一半電容器的自由電荷面密度為同理，介質(zhì)中一半電容器的自由電荷面密度為1315 平行板電容器極板面積為200cm2，板間距離為1.0mm，電容器內(nèi)有一塊1.0mm厚的玻璃板(r = 5)將電容器與300v的電源相連求：（1）維持兩極板電壓不變抽出玻璃板，電容器的能

23、量變化為多少？（2）斷開電源維持板上電量不變，抽出玻璃板，電容器能量變化為多少？解答平行板電容器的電容為 c0 = 0rs/d，靜電能為 w0 = c0u2/2玻璃板抽出之后的電容為 c = 0s/d（1）保持電壓不變抽出玻璃板，靜電能為 w = cu2/2，電能器能量變化為w = w - w0 = (c - c0)u2/2= (1 - r)0su2/2d = -3.1810-5(j)（2）充電后所帶電量為 q = c0u，保持電量不變抽出玻璃板，靜電能為w = q2/2c，電能器能量變化為= 1.5910-4(j)1316 設(shè)圓柱形電容器的內(nèi)、外圓筒半徑分別為a、b試證明電容器能量的一半儲(chǔ)存

24、在半徑的圓柱體內(nèi)解答設(shè)圓柱形電容器電荷線密度為，場(chǎng)強(qiáng)為 e = /20r，能量密度為 w = 0e2/2，體積元為 dv = 2rldr，能量元為 dw = wdv在半徑a到r的圓柱體儲(chǔ)存的能量為當(dāng)r = b時(shí)，能量為；當(dāng)時(shí)，能量為，所以w2 = w1/2，即電容器能量的一半儲(chǔ)存在半徑的圓柱體內(nèi)1317 兩個(gè)同軸的圓柱面，長(zhǎng)度均為l，半徑分別為a、b，柱面之間充滿介電常量為的電介質(zhì)（忽略邊緣效應(yīng)）當(dāng)這兩個(gè)導(dǎo)體帶有等量異號(hào)電荷(q)時(shí)，求：（1）在半徑為r(a r b)、厚度為dr、長(zhǎng)度為l的圓柱薄殼中任一點(diǎn)處，電場(chǎng)能量體密度是多少？整個(gè)薄殼層中總能量是多少？（2）電介質(zhì)中總能量是多少（由積分算

25、出）？（3）由電容器能量公式推算出圓柱形電容器的電容公式？解答（1）圓柱形內(nèi)柱面的電荷線密度為 = q/l，根據(jù)介質(zhì)是高斯定理，可知電位移為 d = /2r = q/2rl，場(chǎng)強(qiáng)為 e = d/ = q/2rl，能量密度為w = de/2 = de/2 = q2/82r2l2薄殼的體積為dv = 2rldr，能量為 dw = wdv = q2dr/4lr（2）電介質(zhì)中總能量為（3）由公式w = q2/2c得電容為 1318 兩個(gè)電容器，分別標(biāo)明為200pf/500v和300pf/900v把它們串聯(lián)起來，等效電容多大？如果兩端加上1000v電壓，是否會(huì)被擊穿？解答當(dāng)兩個(gè)電容串聯(lián)時(shí)，由公式，得 加

26、上u = 1000v的電壓后，帶電量為 q = cu，第一個(gè)電容器兩端的電壓為 u1 = q/c1 = cu/c1 = 600(v)；第二個(gè)電容器兩端的電壓為 u2 = q/c2 = cu/c2 = 400(v)由此可知：第一個(gè)電容器上的電壓超過它的耐壓值，因此會(huì)被擊穿；當(dāng)?shù)谝粋€(gè)電容器被擊穿后，兩極連在一起，全部電壓就加在第二個(gè)電容器上，因此第二個(gè)電容器也接著被擊穿第十四章 穩(wěn)恒磁場(chǎng)141 充滿r = 2.1電介質(zhì)的平行板電容器，由于電介質(zhì)漏電，在3min內(nèi)漏失一半電量，求電介質(zhì)rsq-ql的電阻率解答設(shè)電容器的面積為s，兩板間的距離為l，則電介質(zhì)的電阻為 設(shè)t時(shí)刻電容器帶電量為q，則電荷面密

27、度為 = q/s，兩板間的場(chǎng)強(qiáng)為 e = / =q/r0s，電勢(shì)差為 u = el =ql/r0s，介質(zhì)中的電流強(qiáng)度為 ，負(fù)號(hào)表示電容器上的電荷減少微分方程可變?yōu)?，積分得 ，設(shè)t = 0時(shí)，q = qm，則得c = lnqm，因此電介質(zhì)的電阻率的公式為 當(dāng)t = 180s時(shí)，q = qm/2，電阻率為 =1.41013(m)142 有一導(dǎo)線電阻r = 6，其中通有電流，在下列兩種情況下，通過總電量都是30c，求導(dǎo)線所產(chǎn)生的熱量（1）在24s內(nèi)有穩(wěn)恒電流通過導(dǎo)線；（2）在24s內(nèi)電流均勻地減少到零 解答（1）穩(wěn)恒電流為 i = q/t = 1.25(a)，導(dǎo)線產(chǎn)生的熱量為 q = i2rt =

28、 225(j)（2）電流變化的方程為 ，由于在相等的時(shí)間內(nèi)通過的電量是相等的，在i-t圖中，在024秒內(nèi)，變化電流和穩(wěn)恒電流直線下的面i24ot/si/a1.252.5積是相等的在dt時(shí)間內(nèi)導(dǎo)線產(chǎn)生的熱量元為 dq = i2rdt，在24s內(nèi)導(dǎo)線產(chǎn)生的熱量為=300(j)143 已知銅的相對(duì)原子質(zhì)量a = 63.75，質(zhì)量密度 = 8.9103kgm-3 （1）技術(shù)上為了安全，銅線內(nèi)電流密度不能超過6amm-2，求此時(shí)銅線內(nèi)電子的漂移速度為多少？ （2）求t = 300k時(shí)，銅內(nèi)電子熱運(yùn)動(dòng)平均速度，它是漂移速度的多少倍？解答（1）原子質(zhì)量單位為 u = 1.6610-27(kg)，一個(gè)銅原子的

29、品質(zhì)為 m = au = 1.05810-25(kg)，銅的原子數(shù)密度為 n = /m = 8.411028(個(gè)m-3)，如果一個(gè)銅原子有一個(gè)自由電子，n也是自由電子數(shù)密度，因此自由電子的電荷密度為e = ne = 1.341010(cm-3)銅線內(nèi)電流密度為 = 6106(am-2)，根據(jù)公式 = ev，得電子的漂移速度為 v = e/ = 4.4610-4(ms-1)（2）將導(dǎo)體中的電子當(dāng)氣體分子，稱為“電子氣”，電子做熱運(yùn)動(dòng)的平均速度為 其中k為玻爾茲曼常數(shù)k = 1.3810-23jk-1，me是電子的質(zhì)量me = 9.1110-31kg，可得 = 1.076105(ms-1)，對(duì)漂移

30、速度的倍數(shù)為 /v = 2.437108，可見：電子的漂移速率遠(yuǎn)小于熱運(yùn)動(dòng)的速度，其定向運(yùn)動(dòng)可認(rèn)為是附加在熱運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上的運(yùn)動(dòng)144 通有電流i的導(dǎo)線形狀如圖所示，圖中acdo是邊長(zhǎng)為b的正方形求圓心o處的磁感應(yīng)強(qiáng)icobada圖14.4度b = ？解答電流在o點(diǎn)的產(chǎn)生的磁場(chǎng)的方向都是垂直紙面向里的根據(jù)畢-薩定律：，圓弧上的電流元與到o點(diǎn)的矢徑垂直，在o點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)大小為， 由于 dl = ad，積分得 oa和od方向的直線在o點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)為零在ac段，電流元在o點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)為lridlidlcobada，由于 l = bcot( - ) = -bcot， 所以 dl = bd/sin2；又由于

31、 r = b/sin( - ) = b/sin，可得 ，積分得同理可得cd段在o點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)b3 = b2o點(diǎn)總磁感應(yīng)強(qiáng)度為 bi1b2討論（1）假設(shè)圓弧張角為，電流在半徑為a的圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為（2）有限長(zhǎng)直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁感應(yīng)大小為 對(duì)于ac段，1 = /2、2 = 3/4；對(duì)于cd段，1 = /4、2 = /2，都可得上述公式可以直接引用145 如圖所示的載流導(dǎo)線，圖中半圓的的半徑為r，直線部分伸向無限遠(yuǎn)處求圓心o處的磁感應(yīng)強(qiáng)度b = ？xyrizo圖14.5解答在直線磁場(chǎng)公式中，令1 = 0、2 = /2，或者1 = /2、2 = ，就得半無限長(zhǎng)導(dǎo)線在端點(diǎn)半徑為r的圓周上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度 兩無限長(zhǎng)半直線在o點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向都向著-z方向，大小為bz = 0i/2r半圓在o處產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向沿著-x方向，大小為bx = 0i/4ro點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為場(chǎng)強(qiáng)大小為，與x軸的夾角為 146 如圖所示的正方形線圈abcd，每邊長(zhǎng)為a，通有電流i求正方形中心o處的磁感應(yīng)強(qiáng)度b = ？解答正方形每一邊到o點(diǎn)的距離都是a/2，在o點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)大小相等、方向相同以ad邊為例，iodbca圖14.6利用直線電流的磁場(chǎng)公式：，令1 = /4、2 = 3/4、r = a/2，ad在o產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為，o點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 ，方向垂直紙面向里147 兩個(gè)共軸圓線圈，每個(gè)線圈中的電流強(qiáng)