§3.2立體幾何中地向量方法及詳解

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)高二理科數(shù)學(xué)班別： _學(xué)號(hào)： _導(dǎo)學(xué)案姓名 ： _ 3.2 立體幾何中的向量方法（4）向量法求線線角與線面角一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解直線與平面所成角的概念2掌握利用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的求法二、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)問(wèn)題 1：什么叫異面直線所成的角？它的范圍是什么？怎樣用定義法求它的大??？問(wèn)題 2：怎樣通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)求異面直線所成的角？設(shè)l1 與l2 是兩異面直線，、分別為l1、2 的方向向量，l1、2 所成的角為，a bll則 a，b與 ，cos 。問(wèn)題 3：用向量的數(shù)量積可以求異面直線所成的角，能否求線面角？如圖，設(shè) l 為平面 的斜線， l A， a 為 l 的方向向量，n 為平面

2、的法向量， 為 l 與 所成的角， a，n，則 sin 。三、例題探究例 1如圖， 、N分別是棱長(zhǎng)為1 的正方體ABCD ABC D 的棱BB 、BC 的M中點(diǎn)求異面直線MN與 CD 所成的角變式 ：在直三棱柱ABC AB C 中， AA AB AC， AB AC，M是 CC的中點(diǎn)， Q是 BC的11111中點(diǎn)，點(diǎn) P在 A1B1 上，則直線 PQ與直線 AM所成的角等于 ()A 30B 45C 60D 90文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)例 2如圖，三棱柱ABCA1B1C1 中， CACB， ABAA1， BAA160 .(1) 證明： AB A1C；(2) 若平面 ABC平面 AA1B1B， AB CB

3、2，求直線 A1C 與平面 BB1C1C所成角的正弦值變式 ：如圖，在四棱錐P ABCD中，底面為直角梯形，ADBC， BAD90， PA底面 ABCD，且 PA ADAB 2BC，M、 N分別為 PC、 PB的中點(diǎn)求BD與平面 ADMN所成的角 .四、練一練（時(shí)間：5 分鐘）1. 1 若平面 的法向量為 ，直線 l 的方向向量為 v，直線 l 與平面 的夾角為 ，則下列關(guān)系式成立的是()v| v| v| v|Acos | |v|B cos | | |Csin | |v|Dsin | |v|11111 11 1A1B1，D1F1C12如圖， ABCD A B CD 是正方體，B EDF 4A1

4、E1B1則 BE1 與 DF1 所成角的余弦值是（）A1518D3DCBC172172AB3正三棱柱 ABC A1B1C1 的所有棱長(zhǎng)相等，則AC1 與面 BB1C1C所成角的余弦值為（）文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)510510A 4B 4C 2D 24已知長(zhǎng)方體ABCD A1 B1C1 D1 中， AB BC 4， CC12，則直線BC1和平面 DBB1D1 所成角的正弦值為 (3B.51010) A.C.5D.22105正四棱錐 SABCD，O為頂點(diǎn)在底面上的射影，P 為側(cè)棱 SD的中點(diǎn)，且 SO=OD，則直線BC與平面 PAC所成的角為【參考答案】 3.2 立體幾何中的向量方法（4）向量法求線線角與

5、線面角一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解直線與平面所成角的概念2掌握利用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的求法用向量方法求空間中的角角的分類向量求法范圍異面直線設(shè)兩異面直線所成的角為 ，它們的方向向量為a， b，所成的角則 cos |cos a，b |.| ab|(0，2a| | b|直線與平面設(shè)直線 l 與平面 所成的角為 ，l 的方向向量為a，平面 的法向量為n，則 sin |cos| a，n所成的角|0，2.an| a|n|設(shè)二面角 l 的平面角為 ，平面 、 的二面角120 ， | n n |法向量為 n1，n2，則 |cos | |cos n1，n1| | n1| | n2| .1求異面直線所成的

6、角設(shè) l 1 與 l 2是兩異面直線， a、b 分別為 l 1、l2 的方向向量， l 1、l 2所成的角為 ，則a，| b|ab與 相等或互補(bǔ)， cos | a| | b| .2求直線與平面所成的角如圖，設(shè)l 為平面 的斜線， l A， a 為 l 的方向向量， n 為平面 的法向量，| a n|為 l 與 所成的角， a， n，則 sin |cos | |cos a，n | | a| n| .文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)二、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)問(wèn)題 1：什么叫異面直線所成的角？它的范圍是什么？怎樣用定義法求它的大小？問(wèn)題 2：怎樣通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)求異面直線所成的角？設(shè) l1與 l2是兩異面直線， a、 b 分別為

7、 l 、 l2的方向向量， l、 l2所成的角為 ，11則 a，b與 ，cos 。問(wèn)題 3：用向量的數(shù)量積可以求異面直線所成的角，能否求線面角？如圖，設(shè)l為平面的斜線，l ，a為l的方向向量，An 為平面 的法向量， 為 l與 所成的角， a，n，則 sin 。三、例題探究例 1如圖， M、N 分別是棱長(zhǎng)為 1 的正方體 ABCD ABC D 的棱 BB 、 BC 的中點(diǎn)求異面直線 MN與 CD 所成的角【答案】60變式 ：在直三棱柱ABC A1B1C1 中， AA1 AB AC， AB AC，M是 CC1 的中點(diǎn)， Q是 BC的中點(diǎn)，點(diǎn) P在 A B 上，則直線 PQ與直線 AM所成的角等于

8、 ()11A 30B 45C 60D 90答案D文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn) 解析 以 A 為原點(diǎn)， AB為 x 軸， AC為 y 軸， AA1 為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB1 1 1 1， A(0,0,0) ， M(0,1 ， 2) ， Q( 2， 2， 0) ，設(shè) P( x, 0,1) ，111 (111 AM (0,1， ) ，PQ(2x， 1) ， AMPQ 0x) 1 ( 1) 0，22222，選 D.AM PQ 點(diǎn)評(píng) 1 求異面直線所成的角的常用方法是：(1) 作圖證明計(jì)算；(2) 把角的求解轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算2一般地，若直線AM和點(diǎn) Q固定，點(diǎn) P變動(dòng)，則直線AM與 PQ所成的角為變量，

9、若此角不隨 P 的變化而變化， 則只能是 AM平面 P1P2Q( 其中 P1、P2 是 P 運(yùn)動(dòng)軌跡中的兩個(gè)點(diǎn)) ，故選 D.例 2如圖，三棱柱ABCA1B1C1 中， CACB， ABAA1， BAA160 .(1) 證明： AB A1C；(2) 若平面 ABC平面 AA1B1B， AB CB 2，求直線 A1C 與平面 BB1C1C所成角的正弦值解析(1) 取中點(diǎn)，連接， 1， 1 ，ABOCO ABA O ABAA1， BAA160， BAA1是正三角形， A1OAB，文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn) CACB， CO AB， COA1O O， AB平面 COA1， ABA1C.(2) 由 (1) 知

10、OC AB， OA1AB，又平面 ABC平面 ABB1A1，平面 ABC平面 ABB1A1 AB， OC平面 ABB1A1， OCOA， OA，OC， OA兩兩相互垂直，以為單O為坐標(biāo)原點(diǎn)， OA的方向?yàn)閤 軸正方向， | OA|11位長(zhǎng)度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O xyz ，由題設(shè)知 A(1,0,0)，A(0，3，0) ，C(0,0，3) ， 3) ，B( 1，0,0) ，則 BC (1,01 1， 3，0)BB1 AA1 (， A1C (0 ， 3， 3) ，設(shè) n ( x， y， z) 是平面 CBBC 的法向量，11x 3z 0，nBC 03，1， 1) ，則1 0即可取 n( x

11、 3y0，nBB10n A C cos n， A C15，1|n|1 |A C直線1與平面1 1所成角的正弦值為10.A CBBCC5變式 ：如圖，在四棱錐P ABCD中，底面為直角梯形， ADBC， BAD 90， PA底面，且 2， 、N分別為、的中點(diǎn)求與平面所成的ABCDPAAD ABBC MPC PBBDADMN角 . 解析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè) BC 1，則 A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0) ，(0,0,2)，則 (1,0,1) PN文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)，BD(2,2,0) ， AD(0,2,0) ，AN (1,0,1)設(shè)平面 ADMN的一個(gè)法向量為n

12、( x， y， z) ，y 0nAD 0，取 x 1，則 z 1，則由，得x z0nAN 0 n (1,0，1) 21 cos ，BD n ，BD nn|822| BD| sin 1|cos BD， n | .2又 0 90， 30 .方法規(guī)律總結(jié)用向量方法求異面直線所成的角、線面角、二面角，都是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量或平面的法向量的夾角計(jì)算問(wèn)題，需注意的是異面直線所成的角 (0 ， 2 ，故兩直線的方向向量夾角 的余弦值為負(fù)時(shí)，應(yīng)取其絕對(duì)值；若直線與平面所成的角 ，直線的方向向量和平面的法向量夾角為，則其關(guān)系為sin |cos | ；若二面角為 ，兩平面的法向量夾角為 ，則 |cos | |c

13、os | ，需分辨角 是銳角還是鈍角，可由圖形觀察得出，也可由法向量特征得出文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)四、練一練（時(shí)間：5 分鐘）1. 若平面 的法向量為 ，直線 l 的方向向量為 v，直線 l與平面 的夾角為 ，則下列關(guān)系式成立的是()v| v| v| v|Acos | |v|Bcos | |Csin | |v|D sin | |v|答案D2如圖， ABCD A1B1C1D1 是正方體， B1E1 D1F1 A1B1，D1F1C14A1E1則與1 所成角的余弦值是（）B11BEDFA 15B 1C 8D 3DC172172AB答案A解析如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB 4，則 D (0,0,0)，

14、 B(4,4,0)，1 (4,3,4)， 1 (0,1,4)，則1= (0, 1,4)， 1= (0,1,4)D1F1C1EFBEDFE1A117， |B1BE DF 0 0 ( 1) 1 44 15，|BE|=DF|=17，11111515DCBE DF17 cos BE， DF = =17 17，11| BE|DF|AB15BE DF設(shè) BE1 與 DF1 所成的角為 ，則 cos=|=17，| BE|DF|即 BE1 與 DF1 所成的角的余弦值為15故選 A173正三棱柱1 1 1 的所有棱長(zhǎng)相等，則1 與平面11 所成角的余弦值為（）ABC ABCACBBCC510510AC1A、B

15、、C、D、14422答案BB1解析 取 BC的中點(diǎn) D，連結(jié) DC1，文檔大全ACDB實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)可以證明AD 平面 BB1C1C，則 AC1D是 AC1 與平面 BB1C1C所成的角，cos AC1D C1 D51011 110 ，故選 B.AC12 24，即 AC 與平面 BBCC所成角的余弦值為44已知長(zhǎng)方體ABCD A1 B1C1 D1 中， AB BC 4， CC12，則直線BC1和平面 DBB1D1 所成角的正弦值為 ()A.3B.5C.1010225D.10答案C解析解法一：連結(jié)1 1 交11 于O點(diǎn)，由已知條件得1 1 1，且平面1 1A CB DCO BDBDDB平面 A B C

16、D，所以 CO平面 BDDB ，連結(jié) BO，則 BO為 BC 在平面 BDDB 上的射影， CBO11111111111sin C1BO10即為所求，通過(guò)計(jì)算得5 ，故選 C.解法二：以 A為原點(diǎn)， AB、AD、AA 為 x 軸、y 軸、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則 B(4,0,0)、1B (4,0,2)、 D(0,4,0)、 D(0,4,2)、 C(4,4,2)， BC (0,4,2)， BD ( 4,4,0)， BB11111(0,0,2)，設(shè)平面 BDD1B1 的法向量為n( x， y， z) ，則 0 4x4y 0yxnBD，2z0，z，取 x 1，則 n (1,1,0) 0n BB1 0文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)| n BC|410.設(shè)所求線面角為 ，則 sin |cos n， BC1 | 12 205| |1|nBC5正四棱錐 中， 為頂點(diǎn)S在底面上的射影，P為側(cè)棱的中點(diǎn)，且= ，S ABCD OABCDSDSOOD則直線與平面所成的角為BCPAC答案30 S 解析 可利用平面的法向量。PADOBC課堂小結(jié)：1異面直線 l ， m 的方向向量為a，b，則 l 與 m 所成的角即為a