高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)詳細(xì)分類題庫：考點(diǎn)37 立體幾何中的向量方法(含詳解)

1、bdbc溫馨提示：此題庫為 word 版，請按住 ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，關(guān)閉 word 文檔返回原板塊?？键c(diǎn) 37 立體幾何中的向量方法1.（2013北京高考理科17）如圖，在三棱柱 abc-a b c 中，aa c c1 1 1 1 1是邊長為 4 的正方形.平面 abc平面 aa c c，ab=3，bc=5.1 1（1）求證：aa 平面 abc；1（2）求二面角 a -bc -b 的余弦值；1 1 1（3）證明：在線段 bc 存在點(diǎn) d，使得 ada b，并求 的值.1 11【解題指南】（1）利用面面垂直證明線面垂直.（2） 建系，求出二面角對(duì)應(yīng)兩個(gè)面的法向量，利用法

2、向量的夾角求 二面角的余弦值.（3） 設(shè)出 d 點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量解題.【解析】（1）因?yàn)閍 acc1 1是正方形，所以aa ac1。又因?yàn)槠矫鎍bc 平面a acc , 交線ac1 1，所以aa 平面abc 1。（2）因?yàn)閍c =4, bc =5, ab =3，所以ac ab。分別以ac , ab , aa 為 x軸, y軸，z軸1建立如圖所示的空間直線坐標(biāo)系。， 所以1 1 111可取?？傻?2 21 1 22。1 216253，則uuuur uuura (0,0, 4), b(0,3,0), c (4,0, 4), b (0,3, 4) ac =(4,0,0) a b =(0,3, -4)

3、 1 1 1 1 1 1，uuuur uuurb c =(4, -3,0), bb =(0,0, 4) 1 1 1，設(shè)平面a bc1 1的法向量為urn =( x , y , z ) 1 1 1 1，平面b bc1 1的法向量uurn =( x , y , z ) 2 2 2 2，uuuur uracn =0 4x =0 ur所以 uuur ur 所以可取 n =(0, 4,3) a1bn1=0 3y1 -4 z1 =0uuuur uurbcn =0 4x -3 y =0 uur由 uuur uur n =(3,4,0)bb1n2=0 4z 2 =0ur uurur uur n n 16 16

4、所以cos =ur1 u2ur = =| n | n | 5 5 251 2。由圖可知二面角 a -bc -b 為銳角，所以余弦值為 。1 1 1（3）點(diǎn) d 的豎軸坐標(biāo)為 t(0t4)，在平面bcc b 中作 de bc 于 e,根 1 1據(jù)比例關(guān)系可知 d (t , (4 -t ), t )(0 t 4)4uuur 3 uuur所以 ad =(t , (4 -t ), t ), a b =(0,3, -4) 4 1，又uuur uuur 因?yàn)?ad a b19 36 bd de 9 所以 (4 -t) -4t =0, 所以t = 所以 = =4 25 bc cc 251 1。2. （201

5、3遼寧高考理科 18）如圖， ab 是圓的直徑， pa 垂直 圓所在的平面， c 是圓上的點(diǎn)。( i)求證：平面 pac 平面 pbc ;( ii)若ab =2, ac =1, pa =1,求二面角c -pb -a的余弦值。【解題指南】利用條件證明線線垂直，進(jìn)而證明線面垂直，由面面垂直的判定定理解決問題；借助前面的垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系， 利用向量法求二面角的余弦值?！窘馕觥?(i)由 ab 是圓的直徑，得 ac bc ；由 pa 垂直于圓所在的平面，得 pa 平面 abc ;又 bc 平面 abc ，得pa bc；又pa i ac =a, pa 平面pac , ac 平面pac所以bc

6、 平面pac，又因?yàn)閎c 平面pbc據(jù)面面垂直判定定理，平面 pac 平面 pbc ;( ii)過點(diǎn)c作cmap,由( i)知cm 平面abc.如圖所示，以點(diǎn) c 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線 立空間直角坐標(biāo)系。cb , ca, cm 為 x , y , z軸，建在直角三角形 abc 中，ab =2, ac =1, 所以 bc = 3,又pa =1,所以a(0,1,0), b ( 3,0,0), p(0,1,1).故uuru uurucb =( 3,0,0), cp =(0,1,1).則 11 1 1ur由 1同理可得 n =(1, 3,0)21于是1 2設(shè)平面pbc的法向量為urn =( x ,

7、y , z ) 1 1 1 1ur uuruncb=0, (x,y , z ) ( 3,0,0) =0, ur uuru n1cp=0. (x1,y1, z1 ) (0,1,1) =0. 不妨令 y =1 ，則 z =-1. 故 n =(0,1, -1).1 1 1x =0,1y +z =0. 1 1設(shè)平面pab的法向量為uurn =( x , y , z ) 2 2 2 2，ur uuurnab=0, uurur uuurnap=0.ur uurur uur n n (0,1, -1) (1, 3,0) 6 cos =u1r uur2 = = .n n 0 2 +12 +12 12 +32

8、+0 2 4 1 2結(jié)合圖形和題意，二面角c -pb -a的余弦值為64.3. （2013湖北高考理科t19）如圖，ab 是圓 o 的直徑，點(diǎn) c 是圓 o 上異于 a,b 的點(diǎn)，直線 pc平面 abc，e，f 分別是 pa，pc 的中 點(diǎn).第 19 題圖（）記平面 bef 與平面 abc 的交線為 l ，試判斷直線 l 與平面 pac 的位置關(guān)系，并加以證明。（）設(shè)（）中的直線 l 與圓 o 的另一個(gè)交點(diǎn)為 d，且點(diǎn) q 滿足1 uurudq = cp2,記直線 pq 與平面 abc 所成的角為 q，異面直線異面直線qpq 與 ef 所成的角為，二面角 e- sin=sin asin bl-

9、c 的大小為b，求證：paclbef i abc =lcbfuuur uuru11由 ，作 ，且pq df f cp，所以 ，cd pc abc cd fd abccdfpq abc【解題指南】（）利用線面平行的判定和性質(zhì)定理求解.（）用綜合法,利用三角函數(shù)證明或用向量法,利用法向量的夾角證明. 【解析】（）直線 平面 ，證明如下：第 19 題解答圖 1連接 ef ，因?yàn)?e ， f 分別是 pa ， pc 的中點(diǎn)，所以 ef ac . 又 ef 平面 abc ，且 ac 平面 abc ，所以 ef 平面 abc .而 ef 平面bef，且平面 平面，所以 ef l .因?yàn)?l 平面 pac

10、， ef 平面 pac ，所以直線 l 平面 pac .（）方法一：如圖 1，連接 bd ，由（）可知交線 l 即為直線 bd ， 且 l ac .因?yàn)?ab 是 e o 的直徑，所以 ac bc ，于是 l bc .已知 pc 平面 abc ，而 l 平面 abc ，所以 pc l .而pc i bc =c ，所以 l 平面 pbc .連接 be ， bf ，因?yàn)?bf 平面 pbc ，所以 l bf .故 就是二面角e -l -c的平面角，即cbf =b.dq = cp dq cp dq = cp 2 2.連接 ， ，因?yàn)?是 的中點(diǎn)，cp =2 pf dq =pf從而四邊形 dqpf 是

11、平行四邊形， pq fd .連接 ，因?yàn)?平面 ，所以 是 在平面 內(nèi)的射影，故 就是直線 與平面 所成的角，即cdf =q.bd pbc bd bf bdfbdfpq efrt dcf rt fbd rt bcfbfcfsin，即pq ef be bf bdlc，abcrrbefrrrr r又 平面 ，有 ，知 為銳角，故 為異面直線 與 所成的角，即bdf=a，于是在 ， ， 中，分別可得sinq=ccdd，sina =b=df bf，從而sinasinb=cf bfbf dfcf= =sindfq sin q=sin asin b.方法二：如圖2，由uur uu1ru dq = cp2，

12、作dqcp，且1 dq = cp2.連接 ， ， ， ， ，由（）可知交線 即為 直線 bd .以點(diǎn) 為原點(diǎn)，向量uuru uuru uuru ca, cb, cp所在直線分別為x, y, z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè) 則有ca =a , cb =b , cp =2c，c (0, 0, 0), a( a , 0, 0), b (0, b, 0), p (0, 0, 2c ), q ( a , b, c ) 1.e ( a, 0, c ), f (0, 0, c )2,第 19 題解答圖 2于是uuur 1 uuur uuurfe =( a, 0, 0) qp =( -a, -b, c

13、) bf =(0, -b, c ) 2，所以cosuuur uuur| fe qp | aa = uuur uuur =| fe | |qp | a 2 +b 2 +c 2，從而sina=1 -cos2a =b 2 +c 2 a 2 +b 2 +c 2.又取平面 的一個(gè)法向量為urm =(0, 0, 1)，可得sinquuur| m qp | c = uuur =| m | |qp | a 2 +b2+c2，設(shè)平面 的一個(gè)法向量為rn =( x ,y , z )，所以由uuurnfe=0, uuur nbf=0,可得1ax =0,2-by +cz =0.取 n =(0, c , b) .于是|

14、 cosr r| m n|b | = = | m | |n |b2b+c2，從而sinb=1 -cos2b =b2c+c2.故sinasinb=ab 2 +c 2 2 +b 2 +c 2bc2 +c 2=ac2 +b 2+c2=sinq，即sinq=sinasinb.4. （2013重慶高考理科 19）如圖，四棱錐 p -abcd 中， pa af底面 abcd ，bc =cd =2 ，ac =4 ，acb =acd = pb p3，f 為 pc 的中點(diǎn)，（）求 pa 的長；（）求二面角b -af -d的正弦值【解題指南】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù) af pb可求出 pa的長，再

15、通過求平面的法向量可以求出二面角的正弦值.【解析】（）如圖,連接 bd 交 ac 于 o ,因?yàn)?bc =cd ,即 dbcd 為等腰三角形,又 ac 平分bcd ,故 ac bd ,以 o為坐標(biāo)原點(diǎn),ob, oc, ap 的方向分別為 x 軸, y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系 o -xyz ,則 oc =cd cosp3=1,而ac =4,得ao =ac -oc =3.又od =cd sinp3= 3,故a(0, -3,0), b( 3,0,0), c (0,1,0), d( - 3,0,0).因 pa 底面 abcd ，可設(shè) p (0,-3, z ),z)- 3x +3 y =01

16、3x +3 y =0由 f 為 pc 邊中點(diǎn),f (0,-1, ). 又 af = 2 z 0,2, ,pb = 2 (3,3, -z . 因 af pb故af pb =0, 即 6 -z 22=0, z =2 3 (舍去 z =-2 3 ),所以 pa =2 3.（）由（）知ad =(-3,3,0),ab=(3,3,0),af=(0,2,3).設(shè)平面fad的法向量為n =( x , y , z ), 1 1 1 1平面fab的法向量為n =( x , y , z ). 2 2 2 2由n ad =0, n af =0, 得 1 11 1 因此可取 n 2y + 3z =01 1=(3, 3,

17、-2).由n ab =0, n af =0, 2 2得2 2 因此可取 2y + 3z =02 2n =(3,- 3,2). 2從而法向量n , n12夾角的余弦值為cos n , n12=n n1 2n n1 21= .8故二面角b -af -d的正弦值為3 78.5. （2013新課標(biāo)高考理科18）如圖，三棱柱abc -a b c 1 1 1中，ca =cb ， ab =aa1，baa =601.（）證明ab a c1;（）若平面 abc平面 aa b b,ab=cb,求直線 a c 與平面 bb c c 所1 1 1 1 1成角的正弦值.【解題指南】()取 ab 的中點(diǎn),利用線面垂直證明

18、線線垂直.()利用面面垂直確定線面垂直,找出直線 a c 與平面 bb c c 所成的角,1 1 1或建立空間直角坐標(biāo)系求解.【解析】（）取 ab 的中點(diǎn) o ，連結(jié) oc ， oa ， a b .1 1因?yàn)閏a =cb，所以oc ab.由于所以ab =aa ， baa =60 o ，故 1 1.oa ab1daa b1為等邊三角形，因?yàn)閛c i oa =o 1，所以ab 面oa c1.又a c 平面 oa c ，故 ab a c1 1 1.（）由（）知， oc ab ， oa ab1，又平面abc 平面aa bb1 1，交線為ab，所以oc 平面aa bb1 1，故oa，oc ， oa 兩兩

19、互相垂直.1以 o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，oa 的方向?yàn)?x 軸的正方向，| oa | 為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o -xyznbc=0 x+3z =0110則有a(1,0,0)，a (0, 3,0) , c (0,0, 3) , b ( -1,0,0) 1.則bc =(1,0, 3)，bb = aa =( -1, 3,0) 1，ac =(0,- 3, 3).設(shè)平面bb c c1 1的法向量為n =( x, y , z )，則有 ，即 ，可取nbb=0 -x+3y =0n =( 3,1, -1).故cos =1n a c1| n | |a c |1=-105所以直線a c1與平面bb c

20、c1 1所成角的正弦值為 .56.（2013大綱版全國卷高考理科 19）如圖，四棱錐p -abcd中，abc =bad =90 ，bc =2 ad, dpab與dpad 形.都是等邊三角（i）證明：pb cd ;（ii）求二面角a -pd -c的大小.【解析】（i）取bc的中點(diǎn)e，連結(jié)de，則abed為正方形.過 p 作 po 平面 abcd ，垂足為 o .連結(jié)oa，ob，od，oe.由 dpab 和 dpad 都是等邊三角形知pa =pb =pd,所以oa =ob =od ，即點(diǎn) o 為正方形 abed 對(duì)角線的交點(diǎn)，故oe bd，從而pb oe.因?yàn)閛是bd的中點(diǎn)，e是bc的中點(diǎn)，所以o

21、ecd，因此 pb cd .（ii）解法一：由（i）知 cd pb ， cd po ， pb po =p,故cd 面pbd.又 pd 面 pbd ,所以 cd pd .取 pd 的中點(diǎn) f ， pc 的中點(diǎn) g ，連結(jié) fg ，則 fg cd , fg pd.連結(jié)af，由dapd為等邊三角形可得af pd.所以 afg 為二面角a -pd -c的平面角.連結(jié) ag ， eg ，則 eg pb .又pb ae，所以eg ae.設(shè) ab =2 ，則 ae =2 2 ， eg =12pb =1，故ag = ae2+eg2=3.在 dafg 中， fg =12cd = 2 ， af = 3 ， ag

22、=3 .所以cos afg =fg 2 +af 2 -ag 2 6=-2 fg af 3.因此二面角a -pd -c的大小為 p-arccos63.解法二：由（i）知，oe , ob , op兩兩垂直.以o為坐標(biāo)原點(diǎn)， oe 的方向?yàn)?x 軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o -xyz.設(shè)| ab |=2 ，則 a( - 2,0,0),d (0,- 2,0,),c (2 2,- 2,0),p (0,0, 2),uuurpc = (2 2,- 2,- 2),pd =(0,- 2, - 2),ap =( 2,0, 2) , ad =( 2, - 2,0).設(shè)平面 pcd 的法向量為n =( x

23、, y, z ) 1，則n pc =( x, y, z ) (2 2, - 2,- 2) =0 1，ur uurn ?pd ( x, y, z)?(0, 2,- 2) = 0 1，可得2x -y -z =0 y +z =0取y =-1，得x =0，z =1，故平面 pcd 的一個(gè)法向量為n =(0,-1,1) 1.設(shè)平面pad的法向量為n =( m, p, q ) 2, 則n ap =( m, p, q ) ( 2,0, 2) =0 2，n ad =( m, p, q) ( 2,- 2,0) =0 2,m +q =0 m -p =0.取 m =1 ，得 p =1, q =-1，故平面 pad

24、的一個(gè)法向量為n =(1,1, -1) 2于是cos = 1 2n n1 2 | n | n |1 2=-63.由于 1 2等于二面角a -pd -c的平面角，所以二面角a -pd -c的大小為 p-arccos63.7. （2013四川高考理科 19）如圖，在三棱柱abc -a b c 1 1中，側(cè)棱aa 1底面abc，ab =ac =2 aa1，bac =120，d , d1分別是線段bc , b c 的中點(diǎn)， p 是線段 ad 的中點(diǎn) 1 1（1）在平面abc內(nèi)，試作出過點(diǎn) p 與平面 a bc 平行的直線 l ，說明理1由，并證明直線 l 平面 add a1 1；（2）設(shè)（1）中的直線

25、 l 交 ab 于點(diǎn) m ，交 ac 于點(diǎn) n ，求二面角a -a m -n1ca的余弦值 dpbc1a1d1b1【解題指南】本題第(1)問求解時(shí)要首先明確證明直線與平面垂直的定理需要滿足的條件,在第(2)問的求解過程中需要建立空間直角坐標(biāo)系 利用法向量進(jìn)行求解.【解析】(1)在平面 abc 內(nèi),過點(diǎn) p 作直線 lbc,因?yàn)?l 在平面 a bc 外,bc1在平面 a bc 內(nèi),由直線與平面平行的判定定理可知,l平面 a bc. 1 1由已知,ab=ac,d 是 bc 的中點(diǎn),所以,bcad,則直線 lad.因?yàn)?aa 平面 abc,所以 aa 直線 l.1 1又因?yàn)?ad,aa 在平面 a

26、dd a 內(nèi),且 ad 與 aa 相交,所以直線 l平面1 1 1 1add a .1 1(2)設(shè) aa =1, 如圖,12 22 23 1- - 2 2 1即1 1111 1111 1 1 2 2nam nam =02 122過 a 作 a e 平行于 b c ,以 a 為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以 1 1 1 1 1uuur uuuur uuura e , a d , a a, 1 1 1 1的方向?yàn)?x 軸,y 軸,z 軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系. 則 a (0,0,0),a(0,0,1).1因?yàn)?p 為 ad 的中點(diǎn),所以 m,n 分別為 ab,ac 的中點(diǎn), 31 3 1故,m( , ,1

27、),n( , ,1),所以a m=( ， ,1),a a=(0,0,1),nm=( 3,0,0). 1設(shè)平面 aa m 的一個(gè)法向量為 1ur uuuur ur uuuurnam nam =0ur uuur uruuurnaa naa=0urn1=(x ,y ,z ),則1 1 1故有從而 3 1（x，y ，z ）（ ， ,1）= 0 2 2（x ，y ，z ）（0，0,1）= 0 1 1 1 3 1 x + y + z =01 1 1z =01取 x =1,則 y =- ,所以 n =(1,- 3,0).1 1 1uur uuuur uur uuuur設(shè)平面 a1mn 的一個(gè)法向量為 n2=

28、(x2,y2,z2),則 uur2 uu1uru 即uuruuurunnm nnm=0故有 2 2 2=151 3 1（x ，y ，z ） （ ， ,1）= 0 2 2（ x ，y ，z ） （ 3，0,0）= 0 2 2 2從而3 1x + y + z = 0 2 2 2 2 23x = 02取 y =2,則 z =-1,所以 n =(0,2,-1).2 2 2設(shè)二面角 a a m n 的平面角為 ,又 為銳角,1則 cos =ur uurn n （1，- 3，0）（0,2，-1 ） 15 ur1 u2ur =n n 2 5 5 1 2.故二面角 a a m n 的余弦值為 .58.(201

29、3天津高考理科t17)如圖,四棱柱 abcd -a b c d 中,側(cè)棱 a a1 1 1 1 1底面 abcd,abdc,abad,ad=cd=1,aa =ab=2,e 為棱 aa 的中點(diǎn).1 1(1)證明 b c ce.1 1(2)求二面角 b -ce-c 的正弦值.1 1(3)設(shè)點(diǎn) m 在線段 c e 上,且直線 am 與平面 add a 所成角的正弦值為1 1 12,求線段 am 的長.6【解題指南】方法一:(1)建立空間直角坐標(biāo)系,寫出uuur uuru b c , ce1 1的坐標(biāo),利用數(shù)量積證明. (2)求出平面 b ce 與平面 cec 的法向量,由法向量的夾角1 1余弦值求二

30、面角的正弦值. (3)直線 am 的方向向量與平面 add a 的法1 1uuuru1 1mbc =0,ur uuurz =1向量表示直線 am 與平面 add a 所成角的正弦,確定向量 am 的坐標(biāo), 由向量的模求線段 am 的長.方法二:(1)要證明線段垂直,先證明線面垂直,關(guān)鍵是找出與線 b c 垂直的平面1 1cc e,然后進(jìn)行證明. (2)要求二面角 b -ce-c 的正弦值,關(guān)鍵是構(gòu)造出二 1 1 1面角 b -ce-c 的平面角,然后在三角形中求解. (3)首先構(gòu)造三角形,設(shè) 1 1am=x,在直角三角形 ahm,c d e 中用 x 表示出 ah,eh 的長度,最后在三1 1

31、角形 aeh 中利用余弦定理求解.【解析】(方法一)如圖,以點(diǎn) a 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得 a(0,0,0),b(0,0,2),c(1,0,1),b (0,2,2),c (1,2,1),e(0,1,0).1 1(1)易得uuur uuurb c =(1,0, -1),ce =( -1,1, -1) 1 1，于是uuuur uuurb c ce =0 1 1，所以b c ce1 1.(2)uu urb c =(1, -2, -1), 1設(shè)平面b ce1的法向量urm =( x , y , z ),uruuuur則 1 即 mce=0,x -2 y -z =0, -x +y -z =0

32、,消去x,得y +2 z =0，不妨設(shè) ，可得一個(gè)法向量為urm =( -3, -2,1).由(1)知b c1 1ce，又cc b c ，可得 1 1 1b c1 1平面cec1，故uuuurb c1 1=(1,0, -1)平面cec1的一個(gè)法向量.1 17設(shè)1 11l = ,11 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1111 1 11 111 11 1 12 6 423 3于是ur uuuur cos m, b c =1 1ur uuuurm bc -4 2 7 ur uuuur = =- , m b c 14 2 71 1所以u(píng)r uuuur 21sin m, b c = .1 1因此

33、二面角 b cec 的正弦值為1 1217.(3)uuur uuuru uuuru uuuru ae =(0,1,0), ec =(1,1,1), em =lec =(1 1l,l,l), 0 l1,則uuuru uuur uuuru am =ae +em =(l,l+1,l).可取uuurab =(0,0,2)為平面add a1 1一個(gè)法向量.設(shè) q 為直線 am 與平面 add a 所成的角，于是sinuuuru uuur q=cos am , ab =uuuru uuuram abuuuru uuur = am ab l2+(2ll+1)2 +l2=2 3l2l+2l+1.于是3l2l+

34、2l+1=26,解得 所以3am = 2.(方法二)(1)因?yàn)閭?cè)棱 cc 底面 a b c d ,b c 平面 a b c d ,所以 cc b c ,經(jīng)計(jì)算可得 b e=15,b c =1 12 ,ec = 3 ,從而b e12=bc 21 1+ec 21,所以在b ec 中,b c c e,又 cc ,c e 1 1 1 1 1 1 1平面 cc e,cc c e=c ,所以 b c 平面1 1 1 1 1 1cc e,又 ce 平面 cc e,故 b c ce.(2)過 b 作 b gce 于點(diǎn) g,連接 c g,由(1)知,b c ce,b c ,b g 平面b c g,b c b g

35、=b ,故 ce平面 b c g,又 c g 1 1 1 1 1 1 1 1 1平面 b c g,得 cec g, 1 1 1所以b gc 為二面角 b -ce-c 的平面角.在cc e 中,由1 1 1 1 1ce=c e=13,cc =2,可得 c g= .在 b c g 中,b g= ,所以 sin 1 1 1 1 121 211 1 1 111 1117 1 22 2 22b gc = ,即二面角 b -ce-c 的正弦值為 .7 7(3)連接 d e,過點(diǎn) m 作 mhed 于點(diǎn) h,可得 mh平面 add a ,連接1 1 1 1ah,am,則mah 為直線 am 與平面 add

36、a 所成的角.1 1設(shè) am=x,從而在 ahm 中,有 mh=26x,ah=346x,在 rtc d e1 1中,c d =1,ed = 2 ,得 eh= 2 mh= x ,在aeh 中,aeh=135,ae=1,3由 ah =ae +eh -2aeehcos 135,得 x 2 =1 + x 2 + x ,18 9 3整理得5x -22x-6=0,解得 x=2.所以線段 am 的長為2.9.（2013上海高考理科t19）如圖，在長方體 abcd-abcd中，ab=2,ad=1,a a=1，證明直線 bc 平行于平面 da c，并求直線 bc1 1 1到平面 d ac 的距離.1【解析】如圖

37、,建立空間直角坐標(biāo)系,可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為 a(1,0,1),b(1,2,1),c(0,2,1),c(0,2,0),d(0,0,0).則=(1,0,1), =(0,2,1),設(shè)平面 dac 的法向量 n=(u,v,w),由 n,n,所以 n =0,n =0,即解得 u=2v,w=-2v,取 v=1,得平面 dac1 1的一個(gè)法向量 n=(2,1,-2).因?yàn)?(-1,0,-1),所以 n =0,所以 n.又 bc不在平面 dac 內(nèi),所以直線 bc與平面 dac 平行.由 =(1,0,0),得點(diǎn) b 到平面 dac 的距離 d= 線 bc到平面 dac 的距離為.= =,所以直10. （2013

38、江蘇高考數(shù)學(xué)科22）如圖, 在直三棱柱a b c1 1 1- abc 中,abac, ab = ac=2,a1a = 4, 點(diǎn) d 是 bc 的中點(diǎn).(1)求異面直線a b1與c d1所成角的余弦值;(2)求平面 adc 與平面 ab a 所成二面角的正弦值.1 1【解題指南】建立恰當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系利用異面直線的夾角公式求出余弦值。本小題主要考查異面直線、二面角、空間向量等基礎(chǔ)知識(shí)以及 基本運(yùn)算, 考查運(yùn)用空間向量解決問題的能力【解析】(1)以 a 為坐標(biāo)原點(diǎn), 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 a-xyz, 則 a(0, 0, 0), b(2, 0, 0), c(0, 2, 0), d(1, 1,

39、 0), a (0, 0, 4), c (0, 2, 4), 所以1 1uuura b1=(2, 0, -4),uuuruc d1=(1, -1, -4).因?yàn)閡uur uuuruuuur uuuru a b cd 18 3 10 cos =uu1ur uu1uuru = =| a b | c d | 20 18 10 1 1ur uuur ur uuuruurn n 2 21所以異面直線 a b 與 c d 所成角的余弦值成角的余弦值為1 13 1010(2)設(shè)平面adc1的法向量為urn1= (x, y, z), 因?yàn)閡uurad=(1, 1, 0),uuuru ac1=(0, 2,4), 所以 n ad =0, n ac =0，即 x+y=0 且 y+2z =0, 取 z =1, 得 x1 1 1=2,y=-2, 所以, n =(2, -2, 1)是平面 adc 的一個(gè)法向量.取平面 a a b 的1 1 1一個(gè)法向量為urun2=(0, 1, 0), 設(shè)平面adc1與與平面 aba1所成二面角的ur uru大小為 q.由|cos q|= = ur1 u2uur = = 得 sin q=| n | n | 9 31 253，因此, 平面 adc 與平面 ab a 所成二面角的正弦值為1 111. （2013湖南高考理科 19）如圖，在直棱柱 abcd -a bc