2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)新教材人教B版選擇性必修第三冊教案：第5章 5.3 5.3.1　第1課時(shí)　等比數(shù)列的定義 Word版含解析

1、53等比數(shù)列53.1等比數(shù)列第1課時(shí)等比數(shù)列的定義學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.理解等比數(shù)列的定義(重點(diǎn))2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.熟練掌握等比數(shù)列的判定方法(易錯(cuò)點(diǎn))1.通過等比數(shù)列概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).2.借助等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).有人說過：你如果能將一張紙對折42次，我就能順著它在今天晚上爬上月球(假設(shè)紙的厚度為0.1 mm)這個(gè)實(shí)例所包含的數(shù)學(xué)問題，用數(shù)字反應(yīng)如下：1,2,4,8,16,32,64,128，問題：該組數(shù)字的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)存在怎樣的等量關(guān)系？是什么數(shù)列？1等比數(shù)列的概念一般地，如果數(shù)列an從第2項(xiàng)起，每

2、一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比都等于同一個(gè)常數(shù)q，即q恒成立，則稱數(shù)列an為等比數(shù)列，其中q稱為等比數(shù)列的公比思考1：在等比數(shù)列an中，某一項(xiàng)可以為0嗎？提示一定不能為0.拓展：對等比數(shù)列的定義的理解(1)“從第2項(xiàng)起”有兩層含義，第一層是第一項(xiàng)沒有“前一項(xiàng)”，第二層是包含第一項(xiàng)后的所有項(xiàng)(2)“每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比”意思也有兩層，第一層指相鄰的兩項(xiàng)之間，第二層指后項(xiàng)與前項(xiàng)的比2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其推廣若等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則其通項(xiàng)公式ana1qn1，該式可推廣為anamqnm，其中n，mn*.思考2：等比數(shù)列通項(xiàng)公式ana1qn1是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)嗎？提示不一定如當(dāng)q1時(shí)，an是關(guān)于

3、n的常數(shù)函數(shù)3等比數(shù)列的單調(diào)性等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q.(1)當(dāng)q1，a10或0q1，a11，a10或0q0時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列；(3)當(dāng)q1時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列；(4)當(dāng)q0時(shí)，數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列1思考辨析(正確的畫“”，錯(cuò)誤的畫“”)(1)若an1qan，nn*且q0，則an是等比數(shù)列()(2)等比數(shù)列an中，ana1qn，nn*.()(3)常數(shù)列一定是等比數(shù)列()(4)存在一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列()答案(1)(2)(3)(4)2已知an是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為()aan23n1ban32n1can23n1dan32n1c由已知可得a12，q3，則

4、數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ana1qn123n1.3下列數(shù)列為等比數(shù)列的是()a2,22,322，b.，cs1，(s1)2，(s1)3，d0,0,0，b結(jié)合等比數(shù)列的定義可知選項(xiàng)b正確4已知an是等比數(shù)列，a22，a5，則公比q_.法一：a2a1q2，a5a1q4，得：q3，q.法二：a5a2q3，q3q.等比數(shù)列基本量的求解【例1】在等比數(shù)列an中(1)a42，a78，求an；(2)a2a518，a3a69，an1，求n；(3)a32，a2a4，求an.解(1)法一：由得q34，從而q，而a1q32，于是a1，ana1qn12.法二：a7a4q3，q34，q.ana4qn424222.(2)法一：

5、由得q，從而a132，又an1，321，即26n20，n6.法二：a3a6q(a2a5)，q.由a1qa1q418，知a132.由ana1qn11，知n6.(3)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則q0.a2，a4a3q2q，2q，解得q1，q23.當(dāng)q時(shí)，a118，an18233n.當(dāng)q3時(shí)，a1，an3n123n3.綜上，當(dāng)q時(shí)，an233n；當(dāng)q3時(shí)，an23n3.a1和q是等比數(shù)列的基本量，只要求出這兩個(gè)基本量，其他量便可迎刃而解.此類問題求解的通法是根據(jù)條件，建立關(guān)于a1和q的方程(組)，求出a1和q.1(1)若等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1，末項(xiàng)an，公比q，求項(xiàng)數(shù)n.(2)在等比數(shù)列an中，已知

6、a5a115，a4a26，求an.解(1)由ana1qn1，得，即，得n4.(2)因?yàn)橛傻胵或q2.當(dāng)q時(shí)，a116；當(dāng)q2時(shí)，a11.an16或an2n1.等比數(shù)列的判斷與證明探究問題1如何證明數(shù)列an是等比數(shù)列？提示只需證明q，(q0)即可2如何證明數(shù)列an1是等比數(shù)列？提示只需證明q，(q0)即可【例2】已知數(shù)列an滿足a11，an12an1.(1)證明：數(shù)列an1是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解(1)證明：an12an1，an112an22(an1)，又a11，故an10，2.數(shù)列an1是等比數(shù)列(2)由(1)可知an1是以a112為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列an122n12n，

7、即an2n1.由遞推關(guān)系an1aanb(a，b為常數(shù)，且a0，a1)求an時(shí)，由待定系數(shù)法設(shè)an1a(an)可得，這樣就構(gòu)造了等比數(shù)列an.2在數(shù)列an中，a11，an1，bn，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式解an122，2，即bn14bn2，bn14.又a11，故b11，所以是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，所以bn4n1，bn.【例3】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，sn(an1)(nn)(1)求a1，a2；(2)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列解(1)由s1(a11)，得a1(a11)，a1.又s2(a21)，即a1a2(a21)，得a2.(2)證明：當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1(an1)(an11)，得.又a1，

8、所以數(shù)列an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列1已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，或前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求通項(xiàng)，常用an與sn的關(guān)系求解2判斷一個(gè)數(shù)列是否是等比數(shù)列的常用方法有：定義法：q(q為常數(shù)且不為零)an為等比數(shù)列通項(xiàng)公式法：ana1qn1(a10且q0)an為等比數(shù)列構(gòu)造法：在條件中出現(xiàn)an1kanb關(guān)系時(shí)，往往構(gòu)造數(shù)列，方法是把a(bǔ)n1xk(anx)與an1kanb對照，求出x即可3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn2an1，求證an是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式證明sn2an1，sn12an11.an1sn1sn(2an11)(2an1)2an12an，an12an，又s12a11a1，a110.又由an12an知

9、an0，2，an是等比數(shù)列an12n12n1.1等比數(shù)列定義的理解(1)由于等比數(shù)列的每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不能為零，因此q也不可能為零(2)均為同一常數(shù)，由此體現(xiàn)了公比的意義，同時(shí)應(yīng)注意分子、分母次序不能顛倒(3)如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)已知首項(xiàng)a1和公比q，可以確定一個(gè)等比數(shù)列(2)在公式ana1qn1中有an，a1，q，n四個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，可以求得第四個(gè)量(3)在公式anamqnm中，體現(xiàn)了已知任意兩項(xiàng)便可求公比q，即可求任意一項(xiàng)的思想1在等比數(shù)列an中，a18，a464，則a3等于()a16b16或16c32d32或32c由a4a1q3，得q38，即q2，所以a3a1q28432.2若等比數(shù)列的首項(xiàng)為4，末項(xiàng)為128，公比為2，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為()a4 b6 c5 d32b由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得12842n1,2n132，所以n6.3已知數(shù)列a，a(1a)，a(1a)2，是等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a滿足()aa1ba0或a1ca0da0且a1d由于a，a(1a)，a(1a)2，是等比數(shù)列，則a需滿足a0，a(1a)0，a(1a)20，所以a0且a1.4在等比數(shù)列an中，若a218，a48，則公比q_.由題意可知q2，即q.5數(shù)