2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)新教材蘇教版必修第一冊教學(xué)案：第8章 8.2.1　幾個(gè)函數(shù)模型的比較 Word版含解析

1、8.2函數(shù)與數(shù)學(xué)模型8.2.1幾個(gè)函數(shù)模型的比較學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1理解指數(shù)爆炸、直線上升、對數(shù)增長的含義(重點(diǎn))2區(qū)分指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)增長速度的差異(易混點(diǎn))3會(huì)選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型分析和解決一些實(shí)際問題(難點(diǎn))借助三個(gè)函數(shù)模型的增長特征，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)我們看到，一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長方式存在很大差異事實(shí)上，這種差異正是不同類型現(xiàn)實(shí)問題具有不同增長規(guī)律的反映因此，如果把握了不同函數(shù)增長方式的差異，那么就可以根據(jù)現(xiàn)實(shí)問題的增長情況，選擇合適的函數(shù)模型刻畫其變化規(guī)律下面就來研究一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)增長方式的差異嘗試完成下表三種函數(shù)模型的性質(zhì)y

2、ax(a1)ylogax(a1)ykxb(k0)在(0，)上的增減性圖象的變化趨勢增長速度三種函數(shù)模型的性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)ykx(k0)在(0，)上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)圖象的變化趨勢隨x增大逐漸近似與y軸平行隨x增大逐漸近似與x軸平行保持固定增長速度增長速度yax(a1)：隨著x的增大，y增長速度越來越快，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于ykx(k0)的增長速度，ylogax(a1)的增長速度越來越慢；在描述現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律時(shí)，常用“指數(shù)爆炸”“直線上升”“對數(shù)增長”來表示指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長方式當(dāng)x足夠大時(shí)，總有axkxlogax1已知變量y12x，當(dāng)x減少1個(gè)單位時(shí)，y

3、的變化情況是()ay減少1個(gè)單位 by增加1個(gè)單位cy減少2個(gè)單位 dy增加2個(gè)單位c結(jié)合函數(shù)y12x的變化特征可知c正確2下列函數(shù)中，隨x的增大而增大且速度最快的是()ayex byln xcy2x dyexa結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及一次函數(shù)的圖象變化趨勢可知a正確3某工廠8年來某種產(chǎn)品總產(chǎn)量c與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系如圖所示以下四種說法：前三年產(chǎn)量增長的速度越來越快；前三年產(chǎn)量增長的速度越來越慢；第三年后這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；第三年后產(chǎn)量保持不變其中說法正確的序號(hào)是_結(jié)合圖象可知正確，故填幾類函數(shù)模型的增長差異【例1】(1)下列函數(shù)中，增長速度最快的是()ay2 019xby2019cylog

4、2 019x dy2 019x(2)下面對函數(shù)f(x)logx，g(x)與h(x)2x在區(qū)間(0，)上的遞減情況說法正確的是()af(x)遞減速度越來越慢，g(x)遞減速度越來越快，h(x)遞減速度越來越慢bf(x)遞減速度越來越快，g(x)遞減速度越來越慢，h(x)遞減速度越來越快cf(x)遞減速度越來越慢，g(x)遞減速度越來越慢，h(x)遞減速度不變df(x)遞減速度越來越快，g(x)遞減速度越來越快，h(x)遞減速度越來越快(1)a(2)c(1)指數(shù)函數(shù)yax，在a1時(shí)呈爆炸式增長，并且隨a值的增大，增長速度越快，應(yīng)選a(2)觀察函數(shù)f(x)logx，g(x)與h(x)2x在區(qū)間(0，

5、)上的圖象(如圖)可知：函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間(0,1)上遞減較快，但遞減速度逐漸變慢；在區(qū)間(1，)上，遞減較慢，且越來越慢，同樣，函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間(0，)上，遞減較慢，且遞減速度越來越慢；函數(shù)h(x)的圖象遞減速度不變常見的函數(shù)模型及增長特點(diǎn)(1)線性函數(shù)模型,一次函數(shù)模型ykxb(k0)的增長特點(diǎn)是直線上升，其增長速度不變.(2)指數(shù)函數(shù)模型,指數(shù)函數(shù)模型yax(a1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長速度急劇，形象地稱為“指數(shù)爆炸”.(3)對數(shù)函數(shù)模型,對數(shù)函數(shù)模型ylogax(a1)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長速

6、度平緩.1四個(gè)變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如表：x151015202530y1226101226401626901y22321 02437 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3325.3225.9076.3226.6446.907關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是_y2以爆炸式增長的變量呈指數(shù)函數(shù)變化從表格中可以看出，四個(gè)變量y1，y2，y3，y4均是從2開始變化，且都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y2的增長速度最快，畫出它們的圖象(圖略)，可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化故填y2指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)模型的比較【

7、例2】函數(shù)f(x)2x和g(x)2x的圖象如圖所示，設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1x2(1)請指出圖中曲線c1，c2分別對應(yīng)的函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，判斷f與g，f(2 020)與g(2 020)的大小解(1)c1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)2x，c2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)2x(2)f(1)g(1)，f(2)g(2)，從圖象上可以看出，當(dāng)1x2時(shí)，f(x)g(x)，fg；當(dāng)x2時(shí)，f(x)g(x)，f(2 020)g(2 020)由圖象判斷指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的方法根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖象上升得快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函

8、數(shù)是指數(shù)函數(shù).2函數(shù)f(x)lg x，g(x)03x1的圖象如圖所示(1)試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出曲線c1，c2分別對應(yīng)的函數(shù)；(2)比較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較)解(1)c1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)03x1，c2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)lg x(2)當(dāng)xf(x)；當(dāng)x1xg(x)；當(dāng)xx2時(shí)，g(x)f(x)；當(dāng)xx1或xx2時(shí)，f(x)g(x)直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長對于直線ykxb(k0)、指數(shù)函數(shù)yax(a1)、對數(shù)函數(shù)ylogbx(b1)，當(dāng)自變量變得很大時(shí)，指數(shù)函數(shù)比一次函數(shù)增長得快，一次函數(shù)比對數(shù)函數(shù)增長得快，并且直線上升，其增長量固定不變1思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)函數(shù)y2x比y2x增長的速度更快些()(2)當(dāng)a1，k0時(shí)，在區(qū)間(0，)上，對任意的x，總有l(wèi)ogaxkxax成立()(3)函數(shù)ylogx衰減的速度越來越慢()答案(1)(2)(3)2下列函數(shù)中，隨x的增大，增長速度最快的是()ay1byxcy3x dylog3xc結(jié)合函數(shù)y1，yx，y3x及ylog3x的圖象可知(圖略)，隨著x的增大，增長速度最快的是y3x3某人投資x元，獲利y元，有以下三種方案甲：y02x，乙：ylog2x100，丙：y1005x，則投資500元，1 000元，1 500元時(shí)，應(yīng)分