2020-2021學(xué)年新教材數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊課后提升訓(xùn)練：3.2.2　雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

1、好好學(xué)習(xí)，天天向上第三章圓錐曲線的方程3。2雙曲線3。2。2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.(2019北京，文5）已知雙曲線x2a2-y2=1（a0)的離心率是5,則a=()a。6b。4c.2d。12解析雙曲線的離心率e=ca=5，c=a2+1,a2+1a=5，解得a=12,故選d。答案d2。(多選題）下列雙曲線中,以2x3y=0為漸近線的是()a.x29-y24=1b.y24-x29=1c.x24-y29=1d.y212-x227=1解析令等式右端為0,解得a，b,d中的漸近線方程均為2x3y=0，c項(xiàng)中漸近線方程為3x2y=0.答案abd3。若雙曲線x2a2-y2b2=1(

2、a0，b0）的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（3,-4）,則此雙曲線的離心率為()a.73b.54c.43d.53解析由題意知ba=43,則e2=1+b2a2=259,所以e=53。答案d4。（多選題)已知雙曲線的方程為y24-x25=1，則下列說法正確的是()a.焦點(diǎn)在y軸上b。漸近線方程為2x5y=0c。虛軸長為4d.離心率為35解析雙曲線的方程為y24-x25=1，則雙曲線焦點(diǎn)在y軸上;漸近線方程為2x5y=0;虛軸長為25;離心率為32，判斷知ab正確.答案ab5.若實(shí)數(shù)k滿足0k9,則曲線x225-y29-k=1與曲線x225-k-y29=1的（）a。焦距相同b。實(shí)半軸長相等c.虛半軸長相等d.離

3、心率相等解析由于00,即曲線x225-k-y29=1為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(34-k，0),故兩曲線的焦距相同,故答案為a。答案a6。已知雙曲線c：x2a2-y2b2=1（a0,b0)的一條漸近線方程為y=22x,且與橢圓x212+y23=1有公共焦點(diǎn)，則c的方程為（)a。x28-y24=1b。x25-y24=1c.x24-y22=1d。x26-y23=1解析由橢圓x212+y23=1的焦點(diǎn)為(3,0),可得雙曲線的c=3,即a2+b2=9，由雙曲線的漸近線方程為y=bax,可得ba=22，解得a2=6，b2=3,則雙曲線的方程為x26-y23=1.故選d。答案d7。雙曲線x24-

4、y212=1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為.解析雙曲線x24-y212=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-4,0），(4,0),漸近線方程為y=3x,故焦點(diǎn)(4，0）到漸近線y=3x的距離d=433+1=23。答案238.已知雙曲線y2a2-x2b2=1的實(shí)軸長、虛軸長、焦距構(gòu)成等差數(shù)列,則雙曲線的漸近線方程為.解析依題意有2a,2b,2c成等差數(shù)列,所以4b=2a+2c。因?yàn)閏2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,解得a=34b,于是雙曲線漸近線方程為y=abx=34x.答案y=34x9。過雙曲線x2a2-y2b2=1（a0,b0）的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于m，n兩點(diǎn),以mn為直徑的圓恰好過

5、雙曲線的右頂點(diǎn),則雙曲線的離心率等于.解析令x=c,得y2=b4a2,則mn=2b2a。由題意得a+c=b2a，即a2+ac=c2-a2，ca2-ca-2=0，ca=2或ca=1（舍去），即離心率為2。答案210.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)焦點(diǎn)在y軸上，虛軸長為8，離心率為e=53;(2）經(jīng)過點(diǎn)c(3,2）,且與雙曲線x28-y216=1有共同的漸近線。解（1）設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2-x2b2=1（a0，b0)，則2b=8,e=ca=53,從而b=4,代入c2=a2+b2，得a2=9，故方程為y29-x216=1.(2)由題意可設(shè)所求雙曲線方程為x28-y216=(0)

6、,將點(diǎn)c（3,2)的坐標(biāo)代入,得38-216=,解得=14，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22-y24=1。能力提升練1。（多選題）已知雙曲線c的兩條漸近線的夾角為60，則雙曲線c的方程可能為（）a。x23-y2=1b。x23-y29=1c。y23-x212=1d。y221-x27=1解析依題意,知漸近線與x軸的夾角為30或60，所以雙曲線c的漸近線方程為y=33x或y=3x，根據(jù)選項(xiàng)檢驗(yàn)可知abd均可能。答案abd2。過雙曲線的一個焦點(diǎn)f2作垂直于實(shí)軸的弦pq,f1是另一焦點(diǎn)，若pf1q=2，則雙曲線的離心率等于()a.2-1b.2c。2+1d.2+2解析不妨設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b

7、2=1（a0，b0）,依題意知直線pq所在直線方程為x=c，代入雙曲線方程得|pq=2b2a。因?yàn)閜f1q=2,所以f1f2|=pf2,即2c=b2a,于是2ac=b2=c2a2，所以e22e-1=0，解得e=2+1（e=1-2舍去），故選c。答案c3。已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a0,b0），過原點(diǎn)作一條傾斜角為3的直線分別交雙曲線左、右兩支于p,q兩點(diǎn)，以線段pq為直徑的圓過右焦點(diǎn)f,則雙曲線離心率為（）a.2+1b.3+1c。2d。5解析設(shè)p(x1，y1),q（x2,y2）,依題意，直線pq的方程為y=3x,代入雙曲線方程并化簡，得x2=a2b2b2-3a2，y2=3x2=3a2b

8、2b2-3a2，故x1+x2=0,x1x2=-a2b2b2-3a2，y1y2=3x1x2=-3a2b2b2-3a2,設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為f（c,0），由于以線段pq為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)f,故fpfq=0,即（x1c，y1)（x2c，y2)=0,即4x1x2+c2=0，即b46a2b2-3a4=0,兩邊除以a4,得ba4-6ba2-3=0，解得ba2=3+23.故c=1+ba2=4+23=3+1，故選b.答案b4。已知l為雙曲線c：x2a2-y2b2=1的一條漸近線，其傾斜角為4，且c的右焦點(diǎn)為（2，0）,則c的右頂點(diǎn)為；c的方程為.解析由題意可得c=2,即a2+b2=4,一條漸近線的斜率為k=ba=tan

9、4=1,解得a=b=2,則雙曲線的右頂點(diǎn)為(2,0）,c的方程為x22-y22=1.答案（2，0)x22-y22=15.直線y=b與雙曲線x2a2-y2b2=1（a0,b0)的左、右支分別交于b,c兩點(diǎn),若oboc，o為坐標(biāo)原點(diǎn),則雙曲線的漸近線方程為。解析直線y=b與雙曲線x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右支分別交于b，c兩點(diǎn)，聯(lián)立y=b,x2a2-y2b2=1,可得b(-2a,b），c（2a，b).因?yàn)閛boc，oboc=2a2+b2=0,即2a2=b2,b=2a,所以雙曲線的漸近線方程為y=bax=2x。答案y=2x6。已知點(diǎn)a（3，0）和b(3，0），動點(diǎn)c到a、b兩點(diǎn)的距離

10、之差的絕對值為2.(1）求點(diǎn)c的軌跡方程；（2)點(diǎn)c的軌跡與經(jīng)過點(diǎn)(2，0）且斜率為1的直線交于d、e兩點(diǎn)，求線段de的長.解（1）點(diǎn)a（-3,0）和b(3，0）,動點(diǎn)c到a、b兩點(diǎn)的距離之差的絕對值為2。|ab=232，點(diǎn)c的軌跡方程是以a（3，0)和b（3,0)為焦點(diǎn)的雙曲線，且a=1,c=3，點(diǎn)c的軌跡方程是x2y22=1.(2）點(diǎn)c的軌跡方程是2x2y2=2，經(jīng)過點(diǎn)(2,0)且斜率為1的直線方程為y=x-2。聯(lián)立2x2-y2=2,y=x-2,得x2+4x6=0,設(shè)d(x1,y1)，e(x2,y2），則x1+x2=4，x1x2=-6,de=(1+1)(-4)2-4(-6)=45。故線段d

11、e的長為45。素養(yǎng)培優(yōu)練已知橢圓c1：x2a12+y2b12=1（a1b10)與雙曲線c2:x2a22-y2b22=1(a20，b20）有相同的左、右焦點(diǎn)f1，f2,若點(diǎn)p是c1與c2在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，且|f1f2=4|pf2|,設(shè)c1與c2的離心率分別為e1，e2,則e2e1的取值范圍是（）a.13,+b.13,1c.12,+d.12,2解析設(shè)|pf1|=m,|pf2|=n,由橢圓的定義可得m+n=2a1,由雙曲線的定義可得m-n=2a2，解得m=a1+a2,n=a1a2，由f1f2|=4pf2|，可得n=12c,即a1a2=12c,由e1=ca1，e2=ca2，可得1e1-1e2=12，由0e112,即1e22,則e2e1=e2-2e22+e2=e222+e2,可設(shè)2+e2=t（3t4)，則e22