萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn)-北京科技大學(xué)

1、萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律現(xiàn)在大家公認(rèn)是牛頓發(fā)現(xiàn)的， 連小學(xué)生也知道牛頓在蘋(píng)果樹(shù)下休息， 看見(jiàn) 蘋(píng)果落地而想到萬(wàn)有引力的故事。但它的發(fā)現(xiàn)豈只是看見(jiàn)蘋(píng)果落地這么簡(jiǎn)單？萬(wàn)有引力公式： 這個(gè)公式與庫(kù)侖定律有著驚人的相似之處。 G 為萬(wàn)有引力常 量，由英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許首先在實(shí)驗(yàn)室測(cè)出其大小。 在牛頓的時(shí)代， 一些科學(xué)家已經(jīng)有 了萬(wàn)事萬(wàn)物都有引力的想法。 而且牛頓和胡克 （即發(fā)明了顯微鏡并用顯微鏡觀察到細(xì)胞結(jié)構(gòu) 的羅伯特虎克） 曾經(jīng)為了萬(wàn)有引力的發(fā)現(xiàn)優(yōu)先權(quán)發(fā)生過(guò)爭(zhēng)論， 有資料表明， 萬(wàn)有引力概念由 胡克最先提出， 但由于胡克在數(shù)學(xué)方面的造詣遠(yuǎn)不如牛頓， 不能解釋行星的橢圓軌道， 而牛 頓不僅提出

2、了萬(wàn)有引力和距離的平方成正比， 而且圓滿的解決了行星的橢圓軌道問(wèn)題， 萬(wàn)有 引力的優(yōu)先發(fā)現(xiàn)權(quán)自然歸屬牛頓。正如牛頓所說(shuō)他是站在巨人的肩膀上。 萬(wàn)有引力發(fā)現(xiàn)前的準(zhǔn)備開(kāi)普勒有著不可磨滅的貢 獻(xiàn)。開(kāi)普勒是德意志的天文學(xué)家，幼年患猩紅熱導(dǎo)致視力不好，后來(lái)有幸結(jié)識(shí)弟谷，一年后 弟谷過(guò)世，把他一生的天文觀測(cè)資料留給了開(kāi)普勒。在此基礎(chǔ)上，開(kāi)普勒經(jīng)過(guò) 20 年的計(jì)算 和整理于 1609 年發(fā)表了行星運(yùn)動(dòng)的第一、第二定律。后來(lái)又經(jīng)過(guò)十年又發(fā)表了行星運(yùn)動(dòng)的 第三定律。牛頓老年在回憶過(guò)去的時(shí)候有這樣的話：同年（ 1666年）我開(kāi)始把引力與月亮軌道聯(lián)系起來(lái)并找出如何估計(jì)一個(gè)天 體在球體內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)用來(lái)趨向球面的力的方法。

3、 根據(jù)開(kāi)普勒的行星周期與于他們的 距離軌道中心的距離的二分之三次方成正比的規(guī)律， 我得出使行星沿軌道旋轉(zhuǎn)的 力必然與他們離旋轉(zhuǎn)中心的距離的平方成反比的結(jié)論。 從而把使月亮沿軌道旋轉(zhuǎn) 所需的力與地球表面的引力相比較發(fā)現(xiàn)它它們符合得很接近。 所有這些發(fā)生在 1665年和 1666年兩個(gè)時(shí)疫年內(nèi)， 因?yàn)?那時(shí)正是我創(chuàng)造發(fā)明的黃金時(shí)期， 我對(duì)數(shù)學(xué)和哲學(xué)的思考比此后的任何時(shí)都候來(lái) 的多。此后惠更斯先生發(fā)表的關(guān)于離心力的思想， 我猜想他在我之前就有了， 最后 在 1676 和 1677 之間的冬天我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)命題： 利用與距離成反比的離心力行星 必然環(huán)繞力的中心沿橢圓軌道旋轉(zhuǎn)， 這中心在橢圓的下部， 從這

4、中心作出的半徑 所經(jīng)過(guò)的面積與時(shí)間成正比摘自從落體到無(wú)線電波經(jīng)典物理學(xué)家和他們的發(fā)現(xiàn) 作者：當(dāng)代美國(guó)著名物理學(xué)家諾貝爾獎(jiǎng)獲得者埃米里奧賽格雷從上面的話可以知道， 牛頓的平方反比律是由開(kāi)普勒的行星運(yùn)動(dòng)定律得出的。 要進(jìn)行 計(jì)算，顯然牛頓還必須有一些關(guān)于微積分和基本力學(xué)定律的概念， 而力學(xué)三定律是牛頓發(fā)現(xiàn) 的，同時(shí)牛頓和萊布尼茨各自獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)了微積分， 牛頓一定用了自己的發(fā)現(xiàn)， 只是其間的 順序就不得而知了， 不知為了萬(wàn)有引力而創(chuàng)立微積分， 還是先創(chuàng)立微積分再將它用于計(jì)算萬(wàn) 有引力，這只有牛頓自己知道， 但他保持了沉默。 關(guān)于萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn)權(quán)，歷史的結(jié)論 是：它是牛頓發(fā)現(xiàn)的。萬(wàn)有引力的表達(dá)式為

5、 f=GMm/r 2 ， 它的建立是牛頓定律和開(kāi)普勒定律的綜合的結(jié)果，而牛頓在其中起了關(guān)鍵的作用。萬(wàn)有引力定律的建立過(guò)程1）平方反比律的確定從理論計(jì)算得出平方反比的假設(shè)：根據(jù)開(kāi)普勒軌道定律，為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，可把行星軌道看作圓形，這樣，根據(jù)面積定律， 行星應(yīng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，只有向心加速度a=v2/r ，其中， v 是行星運(yùn)行速度， r 是圓形軌道的半徑。根據(jù)牛頓第二定律：f=ma故f=mv 2/r,又v=2 r/T由開(kāi)普勒第三定律 r3/T2=K（ K 是與行星無(wú)關(guān)的太陽(yáng)常量， 叫做開(kāi)普勒常量）即 1/T2=K/r 3于是 f=4 2mK/r 2, 牛頓得到第一個(gè)重要結(jié)果： 如果太陽(yáng)的引力是行星運(yùn)

6、動(dòng)的原因， 則這種力應(yīng)和 r 的平方成反 比。平方反比假設(shè)的驗(yàn)證：牛頓“蘋(píng)果落地”的故事廣為流傳。故事大意是說(shuō)， 1665-1666 年，牛頓從劍橋大學(xué)退 職回家鄉(xiāng)。一天，他在花園里冥思重力的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，看到蘋(píng)果偶然落地，引起他的遐想 在我們能夠攀登的最遠(yuǎn)距離上和最高山顛上，都未發(fā)現(xiàn)重力有明顯的減弱，這個(gè)力必然到 比通常想象的遠(yuǎn)得多的地方。 為什么不會(huì)高到月球上？如果是這樣， 月球的運(yùn)動(dòng)必定受它的影響，或許月球就是由于這個(gè)原因，才保持在它的軌道上的。 設(shè)想月球處在它的軌道上的任意點(diǎn)A （見(jiàn)圖），如果不受任何力，它將沿一直線行，AB 與軌道在 A 點(diǎn)相切。然而實(shí)際它走的是弧線 AP , 如果 O

7、 是地心，則月球向 了距離 BP=y , 令弧長(zhǎng) AP=s=2 rt/T ,2而 cos 1- /2, =s/r則 y=r（1-cos ） s2/2r =42r2t2/2rT2=22rt2/T2，在地面上一個(gè)重物下落距離的公式為2y=gt2/2AB 進(jìn)O 落下由此得月球繞地的周期T=27.3d速度 g=9.8 m/s2 ， 地球半徑曾相當(dāng)精確的估算出地月距離測(cè)月全食持續(xù)的時(shí)間，105km 用這個(gè)數(shù)值代入，即得y/y =4 2r/gT 22.36106 s ，地面上蘋(píng)果的重力加 R 的準(zhǔn)確數(shù)值是 6400km， 古希臘的天文學(xué)家伊巴谷通過(guò)觀 r 為地球半徑的 60 倍，則 r=60 R =3.8

8、4y/y =1/3600 22而 R2/r2=1/3600， 2 2y/y =a/g=ma/mg=f/mg= R /r所以： f=mg R 2/r2即：力和距離的平方成反比2）與 m和 M成正比的確定式表明力與被吸引的質(zhì)量 m 成正比，這件事的重要性只有牛頓才充分意識(shí)到。根據(jù) 牛頓第三定律，力的作用是相互的， f 是 M 對(duì)m的作用， f是m對(duì)M 的作用， f與m成 正比，則同理 f必與 M 成正比 ， 又 f =f，則 f 必同時(shí)與 m和M 成正比。式可寫(xiě)成： 2f=GMm/r 2, 其中 G 是萬(wàn)有引力常量。3）萬(wàn)有引力常量的 G測(cè)定測(cè)量萬(wàn)有引力常量 G 的數(shù)值，就要測(cè)量?jī)蓚€(gè)已知質(zhì)量的物體

9、 間的引力。 1798年，即牛頓發(fā)表萬(wàn)有引力定律之后 100 多年， 卡文迪許（ H.Cavendish ）做了第一個(gè)精確的測(cè)量。他所用的 是扭秤裝置，如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量均為 m 的小球固定在一根 輕桿的兩端， 在用一根石英細(xì)絲將這兩桿水平的懸掛起來(lái)， 每 個(gè)質(zhì)量為 m 的小球附近各放置一個(gè)質(zhì)量為 M 的大球。根據(jù)萬(wàn) 有引力定律， 當(dāng)大球在位置 AA 時(shí)， 由于小球受到吸引力， 懸 桿因受到一個(gè)力矩而轉(zhuǎn)動(dòng)， 使懸絲扭轉(zhuǎn)。 引力力矩最后被懸絲 的彈性恢復(fù)力矩所平衡。 懸絲扭轉(zhuǎn)的角度 可用鏡尺系統(tǒng)來(lái)測(cè) 定。為了提高測(cè)量的靈敏度，還可以將大球放在位置 BB ，向 相反的方向吸引小球。 這樣， 兩次懸

10、桿平衡為止之間的夾角糾 正打了一倍。如果已知大球和小球的質(zhì)量 M,m 和他們相隔的 距離， 以及懸絲的扭力稀疏， 就可由測(cè)得的 來(lái)計(jì)算 G?？ㄎ牡显S測(cè)定的萬(wàn)有引力常量值為 年間竟無(wú)人超過(guò)它的測(cè)量精度。G=6.754 10-11m3/kg s2.卡文迪許的實(shí)驗(yàn)如此精巧， 在八九十 萬(wàn)有引力常量是目前測(cè)得最不精確的一個(gè)基本物理常量， 因?yàn)橐μ?，又不能屏蔽它的干擾， 實(shí)驗(yàn)很難做。 從卡文迪許到現(xiàn)在已近 200 年，許多人用 相同或不同的方法測(cè)量 G 的數(shù)值，不斷地改進(jìn)其精度。國(guó)際科學(xué)聯(lián)盟理事會(huì)科技數(shù)據(jù)委員 會(huì)（CODATA）1986 年推薦的數(shù)值為G=6.67259（85） 10-11 m3/k

11、g s2， 不確定度為 128/1000000 （即萬(wàn)分之 1.28）。萬(wàn)有引力實(shí)驗(yàn)演示部分一，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：有一個(gè)類(lèi)似碗狀，但是碗壁向內(nèi)拱入的圓盤(pán)。 （見(jiàn)圖 1）在圓盤(pán)上一個(gè)小球繞中心滾動(dòng)。 隨著時(shí)間變化， 小球的速度越來(lái)越快， 到最后掉入中間的小洞。 而且越到中間小球的半徑變 化越緩慢（也就是說(shuō)小球的軌跡在中間是最密集） 。小球的軌跡并不是正圓的，而是一種半 徑越來(lái)越小的圓弧。 （如果兩個(gè)小球先后進(jìn)入盤(pán)中則會(huì)有角位移先后追趕的現(xiàn)象。二，原理解釋?zhuān)?,先解釋為什么用它來(lái)演示萬(wàn)有引力定律萬(wàn)有引力定律的表述為 F=GMm/r 2 由此可以推知，行星勢(shì)能為 w= fdr= GMm/r 而實(shí)驗(yàn)中用重力勢(shì)

12、能來(lái)代替萬(wàn)有引力勢(shì)能mgh= GMm/r所以只要滿足 h=-GM/gr 則可以用重力勢(shì)能來(lái)代替萬(wàn)有引力勢(shì)能。同時(shí) r 表示物體間的距離。當(dāng)圖示曲線繞h 周旋轉(zhuǎn)后便會(huì)形成實(shí)驗(yàn)中所用到的曲面，當(dāng)曲線如圖時(shí)： dh/dr=GM/gr 2, cos(dh/dr)=gr 2/(GM) 2+(gr2)21/2 22f=mgtan( )=mg dh/dr=mgGM/gr 2=GMm/r 2 所以不論從能量還是從力的角度來(lái)講，這個(gè)實(shí) 驗(yàn)?zāi)Ｐ湍軌蛲耆M演示萬(wàn)有引力。2,為什么小球會(huì)越來(lái)越快由離心力 f=m v2/ r=F 知，動(dòng)能為 W=0.5mV 2=0.5GMm/r ，由公式可見(jiàn)， r 越小動(dòng)能越大，自

13、然速度會(huì)越快。3 為什么小球到中間軌跡密集 這并不是一個(gè)沒(méi)有能量損失的系統(tǒng)，在旋轉(zhuǎn)的時(shí)候摩擦力做功發(fā)熱耗散掉一部分能量 w= fds, 而 f 的大小只與接觸的壓力和摩擦系數(shù)有關(guān)系，在距離為 r 處的摩擦力轉(zhuǎn)一周做功為： w= fds=2 rmgcosarctg(dh/dr)= 2 mg2r3/(GM) 2+(gr 2)2 1/2 又： dE/dr= GMm/r 2，可見(jiàn)在 r 越大的時(shí)候，勢(shì)能的變化越慢，故在外圈時(shí)，變化一個(gè)小量 dr 后勢(shì)能的變化比在內(nèi)圈時(shí)小，而能耗比內(nèi)圈大。所以里邊每移動(dòng)一小段可供小球旋轉(zhuǎn)的 能量就多而小球每轉(zhuǎn)一圈的能耗小，故小球在同樣的一小段距離上會(huì)比外邊多轉(zhuǎn)幾圈。4,

14、小球的軌跡為何是一個(gè)不斷向里邊縮進(jìn)的圓弧 如果盤(pán)面足夠光滑即沒(méi)有摩擦力做功則小球的軌跡會(huì)是什么樣的呢 A,小球在斜槽上恰好獲得的動(dòng)能足夠在盤(pán)的邊緣運(yùn)動(dòng)所需的動(dòng)能 mgh=0.5 mv 2 即： F=mv 2/r 則小球會(huì)沿著圓盤(pán)邊緣做正圓軌跡的運(yùn)動(dòng) B,小球在斜槽上未獲得的在圓盤(pán)的邊緣運(yùn)動(dòng)所需的動(dòng)能22Mgh0.5 mv2，F(xiàn) mv2/r則小球會(huì)做正圓軌跡的運(yùn)動(dòng)同時(shí)徑向有一個(gè)分運(yùn)動(dòng)(縮小半徑把勢(shì) 能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能直到滿足平衡為止)到某一半徑時(shí)會(huì)達(dá)到F=mv2/r 在此處做正圓運(yùn)動(dòng)C,小球在斜槽上獲得的動(dòng)能超過(guò)在盤(pán)的邊緣運(yùn)動(dòng)所需的動(dòng)能Mgh0.5 mv 2,Fmv 2/r 體現(xiàn)在圓盤(pán)上的力學(xué)分析為則

15、小球會(huì)沿著邊緣飛出下面再考慮摩擦力在小球運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中小球的動(dòng)能在不斷的損失， 這就要求小球能不斷的縮小半徑來(lái)尋找 新的平衡直到最后能量衰竭而掉入中間的小孔 （就如衛(wèi)星在大氣層中因阻力而最終掉到大洋 深處一樣）。當(dāng)綜合考慮時(shí)：小球的軌跡便是一個(gè)不斷向里邊縮進(jìn)的圓5,兩個(gè)小球?yàn)槭裁磿?huì)有角度相互追趕？ 萬(wàn)有引力公式知：角速度 =（GM/R 3）1/2， 則半徑越小角速度越大， 先后進(jìn)入的兩個(gè)小球的角速度總是先進(jìn)入的大于后進(jìn)入的， 所以在 一段時(shí)間里總是前面的小球轉(zhuǎn)過(guò)的角度比后面的多， 因此角度差一直在增大， 所以看上去總 是兩個(gè)小球一會(huì)兒這個(gè)在前，一會(huì)兒另一個(gè)在前，相互追逐。萬(wàn)有引力的應(yīng)用萬(wàn)有引力定

16、律作為一個(gè)自然界最基本的定律， 無(wú)論是在理論研究還是實(shí)際工程等各種場(chǎng)合都有著極其廣泛的應(yīng)用。 比如航天中， 航天器與天體接近時(shí)的萬(wàn)有引力可以作為一種有效 的加速辦法； 宇宙物理中常常以測(cè)定天體的萬(wàn)有引力效應(yīng)來(lái)斷定天體的位置和質(zhì)量； 在強(qiáng)磁 場(chǎng)地域，因?yàn)殡姶盘綔y(cè)的局限性，可以通過(guò)萬(wàn)有引力（地表一般測(cè)量其分力：重力常數(shù)，再 與預(yù)算值比較） 的測(cè)量計(jì)算來(lái)達(dá)到探知地下的物質(zhì)密度， 從而斷定地下礦藏的分布或是地下 墓穴的規(guī)模位置； 而在另外一些領(lǐng)域， 比如精密工業(yè)中的超圓滾球體的制造， 可以將原材料 放到太空去生產(chǎn)，因?yàn)槟抢镉欣硐氲氖芰Νh(huán)境（因?yàn)榈脑龃笫沟萌f(wàn)有引力非常微弱） ；以 研究生物在太空無(wú)重力

17、（亦即萬(wàn)有引力） 為對(duì)象的項(xiàng)目已經(jīng)發(fā)展成一門(mén)高新前沿的科技， 如 果將蔬菜種子帶到太空中，有些變異品種比地球上的品質(zhì)大大提高！事實(shí)上，萬(wàn)有引力定律常常是理論研究的最基本的公式之一。以下就舉一個(gè)重要實(shí)際應(yīng) 用的例子來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)。人造衛(wèi)星的發(fā)射過(guò)程是萬(wàn)有引力的典型應(yīng)用：1，當(dāng)我們要發(fā)射一顆地球衛(wèi)星是我們只要以一定 的角度和一定的初速度把衛(wèi)星發(fā)射向太空，這個(gè)速度的 理論值由萬(wàn)有引力定律可推知為： 7.9km/s 當(dāng)然是實(shí)際 發(fā)射中考慮到阻力問(wèn)題，不是瞬間加速到此值，是一個(gè) 漸加速過(guò)程。萬(wàn)有引力定律給我們確定了衛(wèi)星上天的邊 界條件。2，當(dāng)我們要求衛(wèi)星成為一個(gè)太陽(yáng)的衛(wèi)星時(shí)，我們 的發(fā)射速度的理論值會(huì)高達(dá) 11.2km/s。同理實(shí)際過(guò)程中 速度也不會(huì)達(dá)到此值，而是漸加速漸升高。 3，當(dāng)我們要求衛(wèi)星成為一個(gè)太陽(yáng)外的天體時(shí)，我們的 發(fā)射速度的理論值會(huì)高達(dá) 16.7km/s 。同理實(shí)際過(guò)程中速度也不會(huì)達(dá)到此值， 有時(shí)還故意把 飛行器發(fā)射到近地天體的附近利用飛行器和天體間的萬(wàn)有引力來(lái)改變飛行器的速度和