公平席位分配Q值法

1、問題的假設(shè)與符號(hào)定義1.1 問題的假設(shè) :1. 席位是以整數(shù)計(jì)量的 , 并且為有限個(gè) , 設(shè)為 N 個(gè)；2. 每個(gè)系別有有限個(gè)人 ,席位是按各集體的人員多少來分配的；3每個(gè)系別的每個(gè)人被選舉都是等可能的；4每個(gè)單位至少應(yīng)該分配到一個(gè)名額 , 如果某個(gè)單位 , 一個(gè)名額也不應(yīng)該分到的話 , 則應(yīng)將其剔除在分配之外；5在名額分配的過程中 , 分配是穩(wěn)定的 , 不受任何其他因素所干 擾.1.2 符號(hào)的定義：n- 表示某系別的席位數(shù)（ n1、n2、n3 分別表示甲、乙、丙的席 位數(shù)）；p 表示某系別的人數(shù)（ p1、p2、p3 分別表示甲、乙、丙的人數(shù)） ；q 表示總席位數(shù)；N 表示總的席位人數(shù) . Q

2、 表示某單位的值 .3 問題的分析通常人們都是按照人數(shù)比例來進(jìn)行分配的 . 當(dāng)比例中有小數(shù)時(shí) , 人們又按照慣例將多余的席位分給比例中小數(shù)最大者 . 我們能得出以 下結(jié)論：公式： n q* p/ N模型建立目標(biāo): 建立公平的席位分配方案 .4.1 引出絕對不公平值并給出相對不公平值 :設(shè) A,B 兩方人數(shù)分別為 p1, p2 ；分別占有 n1 和n2個(gè)席位, 則兩方 每個(gè)席位所代表的人數(shù)分別為 p1 和 p2 .n1n2我們稱 p1 p2 為. 例： p1 120 , p2 100 , n1 n2 10n1 n2則p1p22 ； 又p11020 ,p21000 ,n1n210 則n1 n2p1

3、 p22n1 n2由上例可知 , 用絕對不公平程度作為衡量不公平的標(biāo)準(zhǔn) , 并不合 理, 下面我們給出相對不公平值 .p1p2若p1 p2則稱n1 n2 p1n21為對 A 的相對不公平值 ,n1 n2p2p2 n1n2記為rA(n1,n2)；p2 p1若p1 p2則稱n2 n1 p2n11為對 B 的相對不公平值 ,n1 n2p1p1n2n1記為rB(n1 , n2).4.2 給出相對公平的席位分配方案 :如果 A，B兩方分別占有 n1和n2席, 利用相對不公平值 rA和rB討論, 當(dāng)總席位增加 1席時(shí), 應(yīng)該分配給 A還是 B.不妨設(shè) p1 n1 p2 n2 , 即對 A 不公平, 當(dāng)再分

4、配一個(gè)席位時(shí) , 有以下三種情況：I . 當(dāng) p1 p2 時(shí), 這說明即使給 A 增加 1 席, 仍然對 A不公平, n1 1 n2所以這一席顯然應(yīng)給 A 方.II. 當(dāng) p1 p2 時(shí), 這說明給 A增加 1 席, 變?yōu)閷?B不公平, 此時(shí)對 n1 1 n2B的相對不公平值為rB(n1 1,n2 )p2 (n1 1) -1p1n23)III. 當(dāng) p1p2 時(shí), 這說明給 B增加 1 席, 將對 A不公平, 此時(shí)對n1 n2 1A的相對不公平值為rA(n1, n2 1)p1(n2 1) -1p2n14)5)6)因?yàn)楣椒峙湎坏脑瓌t是使相對不公平值盡可能小 , 所以如果rB (n1 1,n2

5、) rA(n1,n2 1)則這 1 席給 A方, 反之這 1 席給 B方.由(3)(4) 可知 ,(5) 等價(jià)于22p22 p12n2(n2 1) n1(n1 1)不難證明上述的第 I 種情況 p1 p2 也與(6) 式等價(jià), 于是我們 n1 1 n2的結(jié)論是當(dāng) (6) 式成立時(shí) , 增加的 1 席應(yīng)給 A方, 反之給 B方.若記:2piQii , i =1,2i ni (ni 1)則增加的 1 席給 Q值大的一方 .4.3 模型內(nèi)部推廣 :上述方法可以推廣到有 m方分配席位的情況 .設(shè)第 i方人數(shù)為 pi, 已占有 ni個(gè)席位. 當(dāng)總席位增加 1席時(shí), 計(jì)算:2pQii , i=1,2， ，

6、mni (ni 1)則增加的 1 席應(yīng)分配給 Q值大的一方 . 這種席位分配的方法稱為 Q值 法.5 模型求解5.1 下面用 Q值法討論甲，乙，丙系分配 20 個(gè)席位的問題： 先按照比例將整數(shù)部分的 10 席分配完畢 n1=10, n 2=6, n 3=3,. 再用 Q值法分配第20席和第 21 席；分配第 20席, 計(jì)算得:Q1=96.4;Q2=94.5;Q3=96.3Q1最大,于是這 1席應(yīng)分給甲系 .分配第 21席, 計(jì)算得:Q1=80.4;Q2=94.5;Q3=96.3;Q3最大,于是這 1 席應(yīng)分給丙系 .5.2 現(xiàn)象分析及結(jié)果：根據(jù) Q值分配結(jié)果與假定情況一的現(xiàn)象 , 易得出 :慣例分配總席位為 21 時(shí),分配不公平 , 以至得出總