【最新】高中數(shù)學(xué)-知識(shí)講解_空間向量在立體幾何中的應(yīng)用(提高)

1、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用編稿：孫永釗 審稿：張林娟【考綱要求】1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2. 掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3. 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.4. 能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.5. 能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理.6. 能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，了解向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、空間向量1.空間向量的概念在空間，我們把具有大小和

2、方向的量叫做向量。要點(diǎn)詮釋?zhuān)?空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量。 向量一般用有向線段表示，同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量。相等向量只考慮其定義要素：方向，大小。 空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來(lái)表示。2.共線向量（1）定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量平行于記作當(dāng)我們說(shuō)向量、共線（或/）時(shí)，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線（2）共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量、（），/的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使。3.向量的數(shù)量積（1）定義：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即。（2）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： ； ； （3）

3、空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：；（交換律）；（分配律）。4.空間向量基本定理如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。若三向量不共面，我們把叫做空間的一個(gè)基底，叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。5.空間直角坐標(biāo)系：（1）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為，這個(gè)基底叫單位正交基底，用表示；（2）在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸我們稱(chēng)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫原點(diǎn)，向量 都叫坐標(biāo)向量通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱(chēng)為平面，平面，平面；6.空間直角坐標(biāo)系中的

4、坐標(biāo) 在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)7.空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：（1）若，則一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）若，則，；，夾角公式：（3）兩點(diǎn)間的距離公式：若，則或 。要點(diǎn)二、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1. 立體幾何中有關(guān)垂直和平行的一些命題，可通過(guò)向量運(yùn)算來(lái)證明對(duì)于垂直問(wèn)題，一般是利用進(jìn)行證明；對(duì)于平行問(wèn)題，一般是利用共線向量和共面向量定理進(jìn)行證明2.利用向量求夾角(線線夾角、線面夾角、面面夾角)有時(shí)也很方便其一般方法是將所求的角

5、轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量的夾角或其補(bǔ)角，而求兩個(gè)向量的夾角則可以利用向量的夾角公式。要點(diǎn)詮釋?zhuān)浩矫娴姆ㄏ蛄康那蠓ǎ涸O(shè)n=(x,y,z)，利用n與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個(gè)三元一次方程，聯(lián)立后取其一組解，即得到平面的一個(gè)法向量（如圖）。線線角的求法：設(shè)直線AB、CD對(duì)應(yīng)的方向向量分別為a、b，則直線AB與CD所成的角為。（注意：線線角的范圍00,900）線面角的求法：設(shè)n是平面的法向量，是直線的方向向量，則直線與平面所成的角為（如圖）。二面角的求法：設(shè)n1，n2分別是二面角的兩個(gè)面，的法向量，則就是二面角的平面角或其補(bǔ)角的大?。ㄈ鐖D）3.用向量法求距離的公式設(shè)n是平面的法向

6、量，AB是平面的一條斜線，則點(diǎn)B到平面的距離為（如圖）。要點(diǎn)詮釋?zhuān)?點(diǎn)A到平面的距離：，其中，是平面的法向量。 直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。 兩平行平面之間的距離：，其中， 是平面的法向量?！镜湫屠}】類(lèi)型一、空間向量的運(yùn)算【例1】已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的單位法向量。【答案】單位法向量=（，）.【解析】設(shè)面ABC的法向量，則且，即，即，解得，令，則單位法向量=（，）.【總結(jié)升華】一般情況下求法向量用待定系數(shù)法。由于法向量沒(méi)規(guī)定長(zhǎng)度，僅規(guī)定了方向，所以有一個(gè)自由度，可把的某個(gè)坐標(biāo)設(shè)為1，再求另兩個(gè)坐標(biāo)。平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向

7、量也是法向量，所以本題的單位法向量應(yīng)有兩解。舉一反三：【變式】若(1,5,1)，(2,3,5)（1）若，求實(shí)數(shù)k的值；（2）若，求實(shí)數(shù)k的值；（3）若取得最小值，求實(shí)數(shù)k的值。【答案】(1)，即由，解得； (2)，即，解得；(3) 當(dāng)時(shí)，取得最小值。類(lèi)型二：向量法證明平行或垂直【例2】如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)（）證明：直線；（）求異面直線AB與MD所成角的大??； （）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。【解析】作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系,(1)設(shè)平面OCD的法向量為,則即 取,解得(2)設(shè)與所成的角為, , 與所成角的大小為(

8、3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對(duì)值,由 , 得.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為【總結(jié)升華】1. 用向量證明線面平行的方法有：(1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；(2)證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；(3)證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示2. 用向量法證垂直問(wèn)題：(1)證明線線垂直，只需證明兩直線的方向向量數(shù)量積為0；(2)證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)證明面面垂直，只需證明兩平面的法向量的數(shù)量積為0，或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂

9、直舉一反三：【變式】ID 401056【高清視頻空間向量在立體幾何中的應(yīng)用例題1】如圖，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點(diǎn)求證：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，令A(yù)BAA14，則A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(xiàn)(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4)(1)取AB中點(diǎn)為N，則N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，(2，4，0)，(2，4，0)，.DENC，又NC在平面ABC內(nèi)，DE不在平面ABC內(nèi)，故DE平面ABC.(

10、2)(2，2，4)，(2，2，2)，(2，2，0)，(2)22(2)(4)(2)0，則，B1FEF，(2)222(4)00.，即B1FAF，又AFFEF，B1F平面AEF.類(lèi)型三：異面直線所成的角【例3】正方體ABCD-EFGH的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)P在AC上，Q在BG上，且AP=BQ=a, 求直線PQ與AD所成的角【答案】90【解析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，,，QP與AD所成的角為90。【總結(jié)升華】建立坐標(biāo)系后，求出 可由求解。舉一反三：【變式】如圖，在直四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，側(cè)棱長(zhǎng)為（1）與能否垂直？請(qǐng)證明你的判斷；（2）當(dāng)在上變化時(shí)，求異面直線與所成角的取值范圍。【答案】菱形中，于，

11、設(shè)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則（1），與不能垂直。（2），設(shè)，又，直線與所成角的取值范圍是。類(lèi)型四：直線與平面所成的角【例4】如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，。試確定，使直線與平面所成角的正切值為；【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).所以又由的一個(gè)法向量.設(shè)與所成的角為，則依題意有，解得.故當(dāng)時(shí)，直線。舉一反三：【變式】如圖，三棱錐P-ABC中，ABC=，PA=1，AB=，AC=2，PA面ABC(1)求直線AB和直線PC所成角的余弦

12、值；(2)求PC和面ABC所成角的正弦值；【答案】 (1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AP所在直線為y軸、z軸,以過(guò)A點(diǎn)且平行于BC直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系.在直角ABC中,AB=，AC=2，BC=1A(0,0,0)，B(0,0)，C(1,0)，P(0,0,1).(0,0)，(1,),cos=直線AB與直線PC所成的角余弦為.(2)取平面ABC的一個(gè)法向量=(0，0，1)，設(shè)PC和面ABC所成的角為，則sin=|cos|=.PC和面ABC所成的角的正弦值為類(lèi)型五：二面角【例5】 ID 401056 【高清視頻空間向量在立體幾何中的應(yīng)用例題2】如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形A

13、A1B1B的中心，AA12，C1H平面AA1B1B，且C1H.(1)求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角AA1C1B1的正弦值；(3)設(shè)N為棱B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)M在平面AA1B1B內(nèi)，且MN平面A1B1C1，求線段BM的長(zhǎng)【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，依題意得A(2，0，0)，B(0，0，0)，C(，)，A1(2，2，0)，B1(0，2，0)，C1(，)(1)易得(，)，(2，0，0)，于是cos，所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為.(2)易知(0，2，0)，(，)設(shè)平面AA1C1的一個(gè)法向量m(x，y，z)，則即不妨令x，可得m(，0，)設(shè)平

14、面A1B1C1的一個(gè)法向量n(x，y，z)，則即不妨令y，可得n(0，)則cosm，n，從而sinm，n，所以二面角AA1C1B1的正弦值為.(3)由N為棱B1C1的中點(diǎn)，得N(，)設(shè)M(a，b，0)，則(a，b，)因?yàn)镸N平面A1B1C1，由(2)知平面A1B1C1的一個(gè)法向量為n(0，)，所以n，所以a0，解得.故M(，0)因此(，0)，所以線段BM的長(zhǎng)|.【總結(jié)升華】求兩異面直線所成的角，用向量法就是求兩直線上的兩方向向量的夾角，但需注意二者范圍的區(qū)別同樣地，利用向量法求二面角的大小，就是求兩個(gè)半平面的法向量的夾角(或夾角的補(bǔ)角)，在具體求解中應(yīng)適當(dāng)選取或求解直線的方向向量及平面的法向量

15、在空間直角坐標(biāo)系中，常采用待定系數(shù)法求平面的法向量舉一反三：【變式】如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BECF，BCF=CEF=90，EF=2。（）求證：AE平面DCF；（）當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角AEFC的大小為60？【解析】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以和分別作為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系DABEFCyzx設(shè)，則，（）證明：，所以，從而，所以平面因?yàn)槠矫?，所以平面平面故平面（）解：因?yàn)?，所以，從而解得所以，設(shè)與平面垂直，則，解得又因?yàn)槠矫妫?，得到所以?dāng)為時(shí)，二面角的大小為類(lèi)型六：空間距離【例5】如圖，BCD與MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面B

16、CD，AB2.求點(diǎn)A到平面MBC的距離【解析】取CD中點(diǎn)O，連接OB，OM，則OBCD，OMCD.又平面MCD平面BCD，所以MO平面BCD.取O為原點(diǎn)，直線OC、BO、OM為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖OBOM，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為C(1，0，0)，M(0，0，)，B(0，0)，A(0，2)(1)設(shè)是平面MBC的法向量，則(1，0)，(0，)由得0即xy0；由得0即yz0.取(，1，1)，(0，0，2)，則d.故點(diǎn)A到平面MBC的距離為.法二：(1)取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，則OBOM，OBCD，MOCD，又平面MCD平面BCD，則MO平面BCD，所以MOAB，所以MO平面ABC，

17、故M，O到平面ABC的距離相等作OHBC于H，連MH，則MHBC.求得OHOCsin60，MH.設(shè)點(diǎn)A到平面MBC的距離為d，由VAMBCVMABC得SMBCdSABCOH.即2d22，解得d.【總結(jié)升華】利用向量法求點(diǎn)到平面的距離的步驟如下：(1)求出該平面的一個(gè)法向量；(2)找出以該點(diǎn)及平面內(nèi)的某點(diǎn)為端點(diǎn)的線段對(duì)應(yīng)的向量；(3)利用公式d求距離舉一反三：【變式】如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，,求點(diǎn)E到平面ACD的距離。【答案】以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面ACD的法向量為則，令得是平面ACD的一個(gè)法向量。又點(diǎn)E到平面ACD的距離類(lèi)型七、利用空間向量解決

18、立體幾何中的探索問(wèn)題【例6】在四棱錐中，/，平面，. （）設(shè)平面平面，求證：/； （）求證：平面；（）設(shè)點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值【證明】（） 因?yàn)?，平面，平面，所以/平面. 因?yàn)槠矫?，平面平面，所?. （）：因?yàn)槠矫妫砸詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，. 所以 ，所以，.所以 ，. 因?yàn)?，平面，平面，所以 平面. （）解：設(shè)（其中），直線與平面所成角為.所以 .所以 .所以 即. 所以 . 由（）知平面的一個(gè)法向量為. 因?yàn)?，所以 .解得 .所以 . 【總結(jié)升華】空間向量最適合于解決這類(lèi)立體幾何中的探索性問(wèn)題，它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜繁難的作圖、論證、推理，只需通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷。在解題過(guò)程上中，往往把“是否存在”問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，所以使問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)單、有效，在立體幾何二輪復(fù)習(xí)中，我們要善于運(yùn)用這一方法。舉一反三：【變式】在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形， 平面，且是的中點(diǎn).（）求證：平面；（）求二面角的大??；（）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與所成的角為？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.CAFEBMD【解析】（）取的中點(diǎn)，連接.NCAFEBMD在中，是的中點(diǎn)，