北師大版全等三角形教(學(xué))案

1、一、同步輔導(dǎo)： 全等三角形1、概念理解：兩個三角形的形狀、大小、都一樣時，其中一個可以經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、對稱 等運(yùn)動（或稱變換）使之與另一個重合，這兩個三角形稱為全等三角形，而兩個 三角形全等的判定是幾何證明的有力工具。2、三角形全等的判定公理及推論有：（1）“邊角邊”簡稱“ SAS”（2）“角邊角”簡稱“ ASA”（3）“邊邊邊”簡稱“ SSS”（4）“角角邊”簡稱“ AAS”注意：在全等的判定中，沒有 AAA和 SSA，這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀。3、全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等。1）性質(zhì)中三角形全等是條件，結(jié)論是對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等。 而全等的判定卻剛好相反

2、。2）利用性質(zhì)和判定，學(xué)會準(zhǔn)確地找出兩個全等三角形中的對應(yīng)邊與對應(yīng)角 是關(guān)鍵。在寫兩個三角形全等時，一定把對應(yīng)的頂點(diǎn)，角、邊的順序?qū)懸恢?，?找對應(yīng)邊，角提供方便。二、例題分析：例1，如圖 ABCDEF，AB和DE，AC和 DF是對應(yīng)邊，說出對應(yīng)角和另一 組對應(yīng)邊。解： AB和 DE，AC和 DF分別為對應(yīng)邊，另一組對應(yīng)邊是 BC和 EF。對應(yīng)角為： A和D，B 和E，ACB和DFE例 2，如圖， ABE ACD，AB=AC，寫出兩個全等三角形的對應(yīng)角與對應(yīng)邊，并問圖中是否存在其它的全等三角形分析：由 AB=AC，則 AB和 AC是對應(yīng)邊，可找 AB的對角 AEB，AC的對角 ADC，則 AE

3、B和 ADC為對應(yīng)角。由 A是這兩個三角形的公共角，它與其自身 對應(yīng)，因而 A的對邊為 BE、DC為對應(yīng)邊，于是剩下的 B、 C是對應(yīng)角。 AE 和 AD 是對應(yīng)邊。解：對應(yīng)邊： AB和 AC， BE和 DC， AE和 AD對應(yīng)角： A和 A、 B 和C、AEB和ADCAB=AC，AD=AE，AB-AD=AC-A，E 即 BD=CE又由 B= C，DFB=EFC（對頂角相等） 于是構(gòu)成一對全等三角形為 BFD 和 CFE。1、找全等三角形的對應(yīng)邊，對應(yīng)角的方法是：（1）若給出對應(yīng)頂點(diǎn)即可找出對應(yīng)邊和對應(yīng)角。（2）若給出一些對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角，則按照對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，反之，對 應(yīng)角所對的邊是對

4、應(yīng)邊就可找出其他幾組對應(yīng)邊和對應(yīng)角。（3）按照兩對對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角，兩對對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊來準(zhǔn)確 找出對應(yīng)角和對應(yīng)邊。（4）一般情況下，在兩個全等三角形中，公共邊、公共角、對頂角等往往是對 應(yīng)邊，對應(yīng)角。2、利用兩個三角形的公共邊或公共角尋找對應(yīng)關(guān)系，推得新的等量元素是尋找 兩個三角形全等的重要途徑之一。如圖（一）中的 AD，圖（二）中的 BC都是相應(yīng)三角形的公共元素。圖（三）中如有 BF=CE，利用公有的線段 FC 就可推出 BC=EF。圖（四）中若有 DAB=EAC，就能推出 DAC= BAE。3、三角形全等的判定是這個單元的重點(diǎn)，也是平面幾何的重點(diǎn) 只有掌握好全等三角形的各種判

5、定方法， 才能靈活地運(yùn)用它們學(xué)好今后的知 識。證明三角形全等有五種方法： SAS、ASA、 AAS、SSS、HL為了判定兩個三角 形全等，了解和熟悉下面的基本思路很有必要。 有兩組對應(yīng)角相等時；找 有兩組對應(yīng)邊相等時；找 有一邊，一鄰角相等時；找 有一邊，一對角相等時；找任一組角相等（ AAS）說明： 由以上思路可知兩個三角形的六個元素中、若只有一對對應(yīng)元素相 等，或有兩對對應(yīng)元素相等， 則它們不一定全等。 因此要得出兩個三角形全等必 須要有三對對應(yīng)元素相等才有可能成立。 若兩個三角形中三對角對應(yīng)相等， 它們 只是形狀相同， 而大小不一定相等， 所以這兩個三角形不一定全等。 如下圖（一） 因此

6、要判定三角形全等的三對對應(yīng)元素中， 至少有一對是邊。 還要注意一個三角 形中的兩邊及其中一邊所對的角對應(yīng)相等， 這兩個三角形不一定全等。 如圖（二） 中，ABC和 ABD中，AB=AB，AC=AD， B=B但 ABC和 ABD明顯的不全等。注：全等三角形判定沒有（ AAA）和（ SSA）例 3，如圖， AD=AE，D、E在 BC上， BD=C，E1=2，求證： ABD ACE 分析：已知條件中已經(jīng)給出了 AD=AE，BD=CE，要證明 ABD ACE，只需 證明 AD與 BD，AE與 EC的夾角相等，根據(jù) SAS，定理就可以得出結(jié)論。證明：（1）（2）在ABD和ACE中（注意書寫時必須把表示對

7、應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫 在對應(yīng)位置上。）3）（4） ABD ACE（SAS）說明：全等三角形的論證， 是研究圖形性質(zhì)的重要工具， 是進(jìn)一步學(xué)習(xí)平面 幾何知識的基礎(chǔ)。因?yàn)檠芯繄D形的性質(zhì)時， 往往要從研究圖形中的線段相等關(guān)系或角的相等關(guān) 系入手，發(fā)現(xiàn)和論證全等三角形正是研究這些關(guān)系的基本方法； 另一方面，論 證全等三角形又是訓(xùn)練推理論證的起始，是培養(yǎng)邏輯推理能力的關(guān)鍵的一環(huán)。三角形全等證明的基本模式是：題設(shè) 12具體的可以分為四步基本格式。（1）證明三角形全等需要有三個條件，三個條件中如有需要預(yù)先證明的， 應(yīng)預(yù)先證出。（2）寫出在哪兩個三角形中證明全等。（3）按順序列出三個條件，用大括號合在一起，并寫出推

8、理的根據(jù)。（4）寫出結(jié)論。例 4 ，已知如圖， AC與 BD 相交于 O,OA=O，COB=OD，求證： OAB= OCD。分析：從已知條件出發(fā)，可以證出 AOD COB，AOB COD，由AOD COB，可得 1=2，3=4，AD=BC，由AOBCOD可得5=6，7= 8，AB=CD，這個思路可在下圖列出：對于簡單的幾何證明題，可以采用這種推理方法，這種方法是由已知推得 甲，再由甲推得乙， 再由乙推得丙直至推得結(jié)論。 這種方法是“由因?qū)Ч薄?如果從已知條件出發(fā)能推出的結(jié)果較多， 要有目的地決定取舍， 取與求證有聯(lián)系 的，舍去與求證無關(guān)的。證明：在 AOB和 COD中 AOB COD（SAS

9、） OAB= OCD（全等三角形的對應(yīng)角相等）例 5，已知如圖， AB=AC， 1= 2AD CD，AEBE，求證： AD=AE分析： AD、AE分別在 ADG和 AEH中， 1=2，可證出 D=E但少一對邊相等，因此此路不通。 AD、AE 又分別在 ADC和 AEB中，知道 D=E，AB=AC，又已知 1=2，可以證出 DAC=EAB，所以通過 ADC AEB，得出 AD=AE這個思路可用下圖表示：這種思考過程與例 4 所分析的思考過程恰好相反，它是從要證明的結(jié)論入 手的，利用學(xué)過的公理，定理，定義等去推想：要證這個結(jié)論需要具備什么條件？ 如果這個條件（記作條件甲）已具備了，那么結(jié)論就成立，

10、然后再去推想，如果 需要條件甲成立， 又需具備什么條件？這樣一步步向上追溯， 直到所需要的條件 能由已知條件推得為止，這是“執(zhí)果索因”的過程這是思考過程，找到思路后，在證明中仍要像以前一樣從已知開始，一步 步推出結(jié)論，書寫的表達(dá)與這個思考過程正好相反。證明： ADDC，（已知） D=900（垂直定義）AE BE（已知） E=900（垂直定義）又 1=2（已知） 1+BAC=2+BAC（等式性質(zhì)） 即DAC=EAB在 ADC和 AEB中 ADC AEB（AAS）AD=AE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）例 6，已知如圖， AB=DC，AD=BC， O是 DB的中點(diǎn)，過 O點(diǎn)的直線分別與 DA 和 BC

11、的延長線交于 E、 F，求證： E= F。分析：欲證 E=F 有兩條思路；一是證明 DE/BF，則內(nèi)錯角相等；一是 證明 E和F 所在的兩個三角形全等。從題中給定的已知條件中 E、F 所在 的三角形似乎不具備條件，于是考慮證明 DE/BF。欲證兩直線平行，常見的方 法是考慮兩直線被第三條直線所截得的同位角， 內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)。 此 題圖中 DE與 BF被 EF、AB、DC所截成的角只有內(nèi)錯角，故只需證出一組內(nèi)錯角 相等即可，據(jù)圖給定的條件不難證明 DAB= BCD，進(jìn)一步可證原題。證明：在 ABD和 CDB中 ABD CDB（SSS）1=2（全等三角形的對應(yīng)角相等）DE/BF（內(nèi)錯角相

12、等，兩直線平行） E=F（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）例 7如圖，在 ABC中， AD平分 BAC，AB+BD=A，C求 B C的值分析一：題目中的條件 AB+BD=A，C使用起來不直觀。若延長 AB，在延長線上取 BM等于 BD，則可以得到 AB+BD=AM=，AC易于使用， 這種方法叫“補(bǔ)短法”， 通過補(bǔ)長線段，得到容易使用的相等線段。解：延長 AB到 M，使 BM=B，D 連結(jié) DM，則 AM=AB+BM=，AC 1=2，AD=AD， ADM ADC， M=C 又BM=B，D 則 M=BDM， ABC=2M=2C，即 B:C=2:1分析二：還可以在 AC上截取 AN=AB，就能將條件 AB+

13、BD=A轉(zhuǎn)C 化為 NC=B。D 這種方法叫做“截長法”， 和第一種方法統(tǒng)稱“截長補(bǔ)短法”， 常用于線段之間 的關(guān)系證明或者條件的利用。另一解：如圖 2：在 AC上截取 AN=AB，由條件易知 ABD AND，則 DN=DB AND=B，又 AC=AB+BD=AN+NCN C=BD=N，D C=NDC B=AND=2 C B: C=2:1圖（2）注：此題中， 使用了等腰三角形兩底角相等的知識， 在小學(xué)中大家已學(xué)過， 在以后還要學(xué)習(xí)三、同步測試選擇題： A 組：1在 ABC和 DEF中，已知 AB=DE， B=E，增加下面的條件后，還不能判定 ABC DEF的是（ ）A、BC=EFB、AC=DF

14、C 、 A=DD、 C=F2下列四組線段，能組成三角形的是（A、2、2、5B、3、7、10C、 3、 5、9D、4、5、73能判定兩個等腰三角形全等的是（A、底角與頂角對應(yīng)相等B、底角與底邊對應(yīng)相等C、兩腰對應(yīng)相等D、底對應(yīng)相等4如圖， O是 AC、BD的中點(diǎn)，如果每一對全等三角形為一組，那么，圖中全等三角形的組數(shù)為（ ）A、1B、2C、3D、45如圖， BFAC，CEAB，且ABC=ACB，則可判定 BECCFB，其依據(jù)是（）A、 ASA公理或 AASB、SSS公理C、SAS公理D、三個角相等。選擇題： B 組：1. 在 ABC中， AB=AC，高 BF、CE、AD交于一點(diǎn) O，如圖, 全等

15、三角形的對 數(shù)是（ ）。A、4B、5C、6D、72. 如圖， 1=2，3=4，EC=AD證明 ABD EBC 時，應(yīng)用的方法是（ ）。A、 AAS B、SASC、 SSSD、定義3. 如圖，在 ABC中，A：B： C=3：5：10,又 ABC ABC，則 BCA：BCB等于（）A、1：2B、1：3C、2： 3D、1：4參考答案A組：1.B2.D3.B4.D 5.AB 組 ：1.D2.A3.D講解：1. 解：根據(jù)全等三角形的判定方法，有 AOE AOF， EOB FOC，BOD COD， AOBAOC， ABD ACD， AEC AFB， ECB FBC。 故本題應(yīng)選（ D）2. 排除（ B）、

16、（ C）、（D）三種情況，本題應(yīng)選（ A）3. 解： A： B： C=3： 5： 10,A+B+C=180， A=180=30，B=180=50，C=180=100， 設(shè) BCA=x， BCB=y，ABC ABC，BCA= BCA BCA+BCB=BCA+ACA=100 x+y=100,BCB=ACA=y,A、C、B 三點(diǎn)共線，BCB+BCA+ACA=180, x+2y=180 解得： BCA：BCB=x：y=1：4。四、中考解析： 全等三角形1已知：如圖， OA=OB，OC=OD，AD、 BC相交于 E，則圖中全等三角形共有（ ） A2對 B3對 C4對 D5對考點(diǎn) ：三角形全等的判定方法有

17、：“ SAS”、“ ASA”、“ SSS”、“ AAS”. 考題評析： 要特別注意：不能用邊邊角和角角角做依據(jù)判定三角形全等答案：C2. 如圖，已知 AC=BD，要使得 ABCDCB，只需增加的一個條件是考點(diǎn)： 全等三角形的判定評析： 因圖中 BC是公共邊，又知 AC=DB所以根據(jù)三角形全等的判定方 法可以再加 AB=DC或 ACB=DBC或AO=DO或BO=CO都可以判定 ABCDCB。答案： AB=DC或ACB=DBC或AO=DO或 BO=CO3. （ 北京市東城區(qū)）在 ABC與 ABC中， A=A，CD和 CD 分別為AB邊和 AB邊上的中線，再從以下三個條件：AB=AB AC=AC CD=CD 中任取兩個為題設(shè)，另一個為結(jié)論，則最多可以構(gòu)成 個正確的命題?？键c(diǎn)： 全等三角形的判定及性質(zhì) 評析：因