《概率統(tǒng)計及其應用》期末總輔導

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習 隨機事件及其概率隨機事件及其概率 一、主要內(nèi)容：一、主要內(nèi)容： 1 1、隨機事件的定義、關(guān)系及其運算、隨機事件的定義、關(guān)系及其運算 2 2、隨機事件概率的定義（統(tǒng)計定義、古典概型定義）、隨機事件概率的定義（統(tǒng)計定義、古典概型定義） 3 3、隨機事件概率的計算、隨機事件概率的計算 注意利用：注意利用： (1)(1)、概率的加法公式、概率的加法公式 (2)(2)、概率的性質(zhì)、概率的性質(zhì) (3)(3)、條件概率公式、條件概率公式 (4)(4)、乘法公式、乘法公式 (5)(5)、全概率公式、全概率公式 (6)(6)、貝葉斯公式、貝葉斯公式 (7)(7)、相互獨

2、立事件的概率計算公式、相互獨立事件的概率計算公式 二二. . 應記憶的公式應記憶的公式 德莫根律德莫根律 加法公式加法公式 條件概率公式條件概率公式 乘法公式乘法公式 全概率公式全概率公式 貝葉斯公式貝葉斯公式 相互獨立事件的概率計算公式相互獨立事件的概率計算公式 )()()()(ABPBPAPBAP i n i i n i i n i i n i AA , AA 1111 三三. . 例題分析例題分析 12/54/13/12/11 )()()(1 )(1)()( ABPBPAP BAPBAPBAP )(),(),|( , 4/1)(, 3/1)(, 2/1)( BAPBAPABP ABPBP

3、AP 求求 若若 2/1)2/1/()4/1()(/ )()|( APABPABP解解 例例1 1 4/312/13/12/11)( 12/14/13/1)()( )()()()( ）（故故 其中其中 BAP ABBPBAP BAPBPAPBAP 將將3 3個球隨機地放入個球隨機地放入4 4個盒子中，求任意一個個盒子中，求任意一個 盒子有盒子有3 3個球的概率個球的概率. . 16/1 43 1 4 C P 例例2 2 解解 例例3 3 有有3 3只盒子，甲盒中裝有只盒子，甲盒中裝有2 2支紅鋼筆，支紅鋼筆，4 4支藍鋼支藍鋼 筆，乙盒中裝有筆，乙盒中裝有4 4支紅鋼筆，支紅鋼筆，2 2支藍鋼

4、筆，丙盒中裝支藍鋼筆，丙盒中裝 有有3 3支紅鋼筆，支紅鋼筆，3 3支藍鋼筆，今從中任取一支，設(shè)到支藍鋼筆，今從中任取一支，設(shè)到 3 3只盒中取物的機會相同，求取出的鋼筆是紅鋼筆只盒中取物的機會相同，求取出的鋼筆是紅鋼筆 的概率。的概率。 解解 設(shè)設(shè) A 表示取到的一支鋼筆為紅色筆，表示取到的一支鋼筆為紅色筆，Bi 分別分別 表示在甲、乙、丙盒中取鋼筆，表示在甲、乙、丙盒中取鋼筆，i=1=1，2 2，3,3,則則 P( (Bi）=1/3=1/3， , 2/16/3)|( 3/26/4)|(, 3/16/2)|( 3 21 BAP BAPBAP 2/12/13/13/23/13/13/1 )|(

5、)()( 3 1 i i i BAPBPAP 則由全概率公式則由全概率公式 社會調(diào)查把居民按收入分為高、中、低三類調(diào)社會調(diào)查把居民按收入分為高、中、低三類調(diào) 查結(jié)果是這三類居民分別占總戶數(shù)的查結(jié)果是這三類居民分別占總戶數(shù)的10%10%，60%60%， 30%30%，而銀行存款在一萬元以上的戶數(shù)在這三類居民，而銀行存款在一萬元以上的戶數(shù)在這三類居民 中分別為中分別為100 %100 %，60%60%，5%5% 1. 1. 求存款在一萬元以上的戶數(shù)在全體居民中的比率。求存款在一萬元以上的戶數(shù)在全體居民中的比率。 2. 2. 若已知某戶的存款在一萬元以上，求該戶屬中等若已知某戶的存款在一萬元以上，求

6、該戶屬中等 收入家庭的概率收入家庭的概率. . 例例4 4 1.1.由全概率公式知由全概率公式知 2. 2. 由貝葉斯公式知由貝葉斯公式知 475. 005. 03 . 06 . 06 . 01 . 01 . 0 )|()()( 3 1 ii i ABPAPBP 76. 0 475. 0 6 . 06 . 0 )( )|()( )|( 22 2 BP BAPAP BAP 設(shè)設(shè) Ai 分別表示分別表示“高、中、低收入家庭高、中、低收入家庭”的事的事 件件(i=1，2，3); B 表示表示“存款在一萬元以上的戶數(shù)存款在一萬元以上的戶數(shù)” 解解 隨機變量及其分布隨機變量及其分布 一一 、主要內(nèi)容、主

7、要內(nèi)容 ( (一一) ) 一維隨機變量及其分布一維隨機變量及其分布 1. 1. 隨機變量的分布函數(shù)及其性質(zhì)隨機變量的分布函數(shù)及其性質(zhì) 2. 2. 離散型隨機變量及其分布函數(shù)離散型隨機變量及其分布函數(shù) 3. 3. 常見離散型隨機變量及其分布律常見離散型隨機變量及其分布律 (1)(1)兩點分布兩點分布 (2)(2)二項分布二項分布 (3)(3)泊松分布泊松分布 4. 4. 連續(xù)型隨機變量及其分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量及其分布函數(shù) 5. 5.常見連續(xù)型隨機變量及其分布密度常見連續(xù)型隨機變量及其分布密度 (1)(1)均勻分布均勻分布 (2)(2)正態(tài)分布正態(tài)分布 (3)(3)指數(shù)分布指數(shù)分布 ( (二二)

8、 ) 二維隨機變量及其分布二維隨機變量及其分布 1. 1. 二維隨機變量的定義二維隨機變量的定義 2. 2. 二維隨機變量的分布函數(shù)二維隨機變量的分布函數(shù) 3. 3. 二維離散型隨機變量及其分布律二維離散型隨機變量及其分布律 4. 4. 二維連續(xù)型隨機變量的分布密度二維連續(xù)型隨機變量的分布密度 5. 5. 邊緣分布邊緣分布, , 6. 6. 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性 7.7. 隨機變量簡單函數(shù)的分布隨機變量簡單函數(shù)的分布 1)1)一維隨機變量函數(shù)的分布一維隨機變量函數(shù)的分布 2)2)二維隨機變量函數(shù)的分布二維隨機變量函數(shù)的分布 二、應記憶的公式二、應記憶的公式 (1)(1) (2)(2

9、) 計算公式計算公式: : 離散型離散型 連續(xù)型連續(xù)型 )()(xXPxF xx k k xXPxF)()( x dxxfxF)()( (5)(5) 正態(tài)分布概率的計算公式正態(tài)分布概率的計算公式 )1 , 0(),()3( 2 N X YNX ，則，則若若 (4)(4) 常見隨機變量的分布律或分布密度常見隨機變量的分布律或分布密度 ，則則若若),( 2 NX )1 x xXP()( )()( x xXP1)2 )3 12 21 xx xXxP()()( 三、例題分析三、例題分析 例例1 1 從一批產(chǎn)品包括從一批產(chǎn)品包括10件正品件正品, 3件次品中重復抽件次品中重復抽 取取,每次取每次取1件直

10、到取得正品為止，若每件產(chǎn)品被抽到件直到取得正品為止，若每件產(chǎn)品被抽到 的機會相同的機會相同, 求抽取次數(shù)求抽取次數(shù) X 的分布律的分布律. P(X=1)=10/13, P(X=2)=(3/13) *(10/12)=5/26 P(X=3)=(3/13)*(2/12)*(10/11)=5/143 P(X=4)= (3/13)*(2/12)*(1/11)*(10/10)=1/286 故故 X 的分布律為的分布律為 解解 X1234 P10/135/265/1431/286 例例2 2 解解 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 求求:（1）A 的值；的值； （2）X 落在（落在（0.2

11、, 0.6）內(nèi)的概率；）內(nèi)的概率； （3）X 的密度函數(shù)的密度函數(shù) f（x）. 1, 1 10, 0, 0 )( 2 x xAx x xF ，而而1)1(1lim)(lim 2 11 FAxxF xx ，的的連連續(xù)續(xù)性性，有有由由)(lim)1()()1( 1 xFFxF x 1 A故故 例例3 3 解解 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 的分布律為的分布律為 X-2-1013 P1/51/61/51/1511/30 求求 Y=X 2 的分布律的分布律. 由由 X 的分布律有的分布律有 Y 取值為取值為 4,1,0,9 PY=0=PX=0=1/5 PY=1=PX= -1+PX=1=1/6+1/15=7

12、/30 PY=4=PX=2+PX= -2=0+1/5=1/5 PY=9=PX=3+PX= -3=11/30+0=11/30 Y0149 故故 Y 的分布律為的分布律為 例例4 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 的分布密度為的分布密度為 其他其他0 2 10 )(21xx xx xf x dxxfxF0)()( 時時，當當10 x 2 )( 2 0 x xdxxF x 試求試求X 的分布函數(shù)的分布函數(shù) F(x). 解解 當當 x 0 時時， 例例4 4 解解 . 95. 0|10|)2 ,10( 2 的的值值求求 ，已已知知隨隨機機變變量量 c cXPNX 95. 01)2/(

13、2 2/2/ |10|10| c cXPcXP 579 . 0)2/( c所以所以 查表得查表得 c/2=1.96，即即 c = 3.92. 例例5 5 解解 （X，Y）的聯(lián)合分布律為）的聯(lián)合分布律為 Y X012 00.10.250.15 10.150.200.15 X 0 1 2 P 0.25 0.45 0.30 求（求（1 1）X 的邊緣密度；（的邊緣密度；（2 2）Y 的邊緣密度的邊緣密度. . Y 0 1 P 0.5 0.5 ).(),( ., 0 10, 10,8 ),( yfxf xyxy yxf YX YX 求邊緣概率密度求邊緣概率密度 其它其它 具有聯(lián)合概率密度具有聯(lián)合概率密

14、度和和設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 解解,10時時當當 x yyxfxf X d),()( xyxy4d8 1 0 例例6 ,10時時或或當當 xx . 0d),()( yyxfxf X 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征 一一 、主要內(nèi)容、主要內(nèi)容 1. 1. 隨機變量的數(shù)學期望隨機變量的數(shù)學期望 2. 2. 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 3. 3. 數(shù)學期望的性質(zhì)數(shù)學期望的性質(zhì) 4. 4. 隨機變量的方差隨機變量的方差 5. 5. 隨機變量函數(shù)的方差隨機變量函數(shù)的方差 6. 6. 隨機變量方差的性質(zhì)隨機變量方差的性質(zhì) 二、應記憶的公式二、應記憶的公式 1.1.隨機變量的數(shù)學期望和

15、方差的計算公式；隨機變量的數(shù)學期望和方差的計算公式； 2.2.隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望和方差的計算公式；隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望和方差的計算公式； 3.3.常見常見7 7種隨機變量的數(shù)學期望及方差種隨機變量的數(shù)學期望及方差 （1 1）兩點分布）兩點分布 （2 2）二項分布）二項分布 （3 3）泊松分布）泊松分布 （4 4）均勻分布）均勻分布 （5 5）正態(tài)分布）正態(tài)分布 （6 6）指數(shù)分布）指數(shù)分布 三、例題分析三、例題分析 X-202 P0.40.30.3 2 . 03 . 023 . 004 . 0)2()( XE 4 .1358 . 235)(3)53( 22 XEXE 例例1 1設(shè)隨機變量

16、設(shè)隨機變量 X 的分布律為的分布律為 求求 E(X)，E(3X 2 + 5). 解解 4 .133 . 0523 3 . 05034 . 05)2(3)53( 2 222 XE 或或 例例2 2設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X 的概率密度為的概率密度為 解解 00 0 )( x xe xf x 求求 Y=2X 的數(shù)學期望的數(shù)學期望. dxxxfXEYE)(2)2()( 22 0 dxxe x 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念與 抽樣分布抽樣分布 一一 、主要內(nèi)容、主要內(nèi)容 1. 1. 總體和樣本總體和樣本 2. 2. 樣本的分布樣本的分布 3. 3. 統(tǒng)計量和樣本矩（樣本均值，樣本方統(tǒng)計量和樣本

17、矩（樣本均值，樣本方 差，樣本的原點矩和中心矩）差，樣本的原點矩和中心矩） 4. 4. 經(jīng)驗分布函數(shù)經(jīng)驗分布函數(shù) 5. 5. 三大分布的定義及其性質(zhì)三大分布的定義及其性質(zhì) 二、典型例題二、典型例題 )(XE 例例1 1 設(shè)總體設(shè)總體 X 的數(shù)學期望為的數(shù)學期望為E(X)8，方差，方差 為為D(X)2， X1 , Xn 為來自為來自 X 的樣本的樣本, 則則 )(XD8 2/n )( 2 SE )( 2 SD2 1 2 4 n )2 , 0(),2 , 0( 2 21 2 21 NXXNXX 服服從從什什么么分分布布？問問 為為樣樣本本，設(shè)設(shè)總總體體 2 21 2 21 21 2 )/()( ,

18、), 0( XXXXY XXNX )1 , 1() 2 () 2 ( )( )( 2 21 2 21 2 21 2 21 F XXXX XX XX Y 例例2 2 解解由已知，由已知， 所以所以 )1() 2 (),1() 2 ( 22212221 XXXX 從而從而 參數(shù)估計參數(shù)估計 一一 、主要內(nèi)容、主要內(nèi)容 1 1參數(shù)點估計的概念，求點估計的兩種參數(shù)點估計的概念，求點估計的兩種 方法：矩估計和極大似然估計方法；方法：矩估計和極大似然估計方法； 2 2估計量的評選標準：無偏性、有效估計量的評選標準：無偏性、有效 性、一致性；性、一致性； 3. 3. 正態(tài)總體的均值與方差的置信區(qū)間正態(tài)總體的均值與方差的置信區(qū)間. . 二、典型例