有限差分法基本原理[行業(yè)知識(shí)]

1、有限差分法基本原理 流體的控制方程流體的控制方程 0 0 0 z p z w w y w v x w u t w y p z v w y v v x v u t v x p z u w y u v x u u t u 流體的控制方程流體的控制方程 V V V 3 2 2 3 2 2 3 2 2 z w zy w z v yz u x w xw p Dt Dw z v y w zy v yx v y u xy p Dt Dv z u x w zx v y u yx u xx p Dt Du 數(shù)值離散概述數(shù)值離散概述 有限差分法求解流動(dòng)控制方程的基本過程是：首先 將求解區(qū)域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個(gè)

2、網(wǎng)格點(diǎn)代替連 續(xù)的求解域，將待求解的流動(dòng)變量（如密度、速度等） 存儲(chǔ)在各網(wǎng)格點(diǎn)上，并將偏微分方程中的微分項(xiàng)用相 應(yīng)的差商代替，從而將偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式的 差分方程，得到含有離散點(diǎn)上的有限個(gè)未知變量的差 分方程組。求出該差分方程組的解，也就得到了網(wǎng)格 點(diǎn)上流動(dòng)變量的數(shù)值解。 離散網(wǎng)格點(diǎn)離散網(wǎng)格點(diǎn) 差分和逼近誤差差分和逼近誤差 差分概念： 設(shè)有 的解析函數(shù) ，函數(shù) 對(duì) 的導(dǎo)數(shù) 為： x)(xfy yx x xfxxf x y dx dy xx )()( limlim 00 、 分別是函數(shù)及自變量的微分， 是函數(shù)對(duì) 自變量的導(dǎo)數(shù)，又稱微商。上式中的 、 分別稱為 函數(shù)及其自變量的差分， 為函數(shù)

3、對(duì)自變量的差商。 dxdy dx dy xy x y 差分的三種形式（一階）：差分的三種形式（一階）： 向前差分)()(xfxxfy 向后差分)()(xxfxfy 中心差分)()(xxfxxfy 與其對(duì)應(yīng)的差商的三種形式（一階）： 向前差商 x xfxxf x y )()( 向后差商 x xxfxf x y )()( 中心差商 x xxfxxf x y 2 )()( 差分和逼近誤差差分和逼近誤差 由導(dǎo)數(shù)（微商）和差商的定義可知，當(dāng)自變量的 差分（增量）趨近于零時(shí)，就可以由差商得到導(dǎo)數(shù)。 因此在數(shù)值計(jì)算中常用差商近似代替導(dǎo)數(shù)。 差分和逼近誤差差分和逼近誤差 差分和逼近誤差差分和逼近誤差 用泰勒級(jí)

4、數(shù)展開可以推導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)的有限差分形式。 差分和逼近誤差差分和逼近誤差 差分和逼近誤差差分和逼近誤差 逼近誤差：差商與導(dǎo)數(shù)之間的誤差，表明差商逼近導(dǎo)數(shù)的程 度。 由函數(shù)的 Taylor 級(jí)數(shù)展開，可以得到逼近誤差相對(duì)于自變量 差分的量級(jí)，稱為用差商代替導(dǎo)數(shù)的精度。 差分和逼近誤差差分和逼近誤差 差分和逼近誤差差分和逼近誤差 差分和逼近誤差差分和逼近誤差 差分和逼近誤差差分和逼近誤差 差分和逼近誤差差分和逼近誤差 二階中心差分： 二階中心差分： 差分和逼近誤差差分和逼近誤差 差分方程的建立過程差分方程的建立過程 差分相應(yīng)于微分，差商相應(yīng)于導(dǎo)數(shù)。只不過差分差分相應(yīng)于微分，差商相應(yīng)于導(dǎo)數(shù)。只不過差分 和

5、差商是用有限形式表示的，而微分和導(dǎo)數(shù)是以極限和差商是用有限形式表示的，而微分和導(dǎo)數(shù)是以極限 形式表示的。如果將微分方程中的導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的差商形式表示的。如果將微分方程中的導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)的差商 近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。 模型方程模型方程 為了抓住問題的實(shí)質(zhì)，同時(shí)又不使討論的問題過于 復(fù)雜，常用一些簡(jiǎn)單的方程來模擬流體力學(xué)方程進(jìn)行討 論分析，以闡明關(guān)于一些離散方法的概念。這些方程就 叫做模型方程。常用的模型方程： 對(duì)流方程： 0 xt 對(duì)流擴(kuò)散方程： 2 2 xxt 熱傳導(dǎo)方程： 2 2 xt Poisson方程： f yx 2 2 2 2 Lap

6、lace方程： 0 2 2 2 2 yx 差分方程的建立過程差分方程的建立過程 以對(duì)流方程說明差分方程的建立過程。以對(duì)流方程說明差分方程的建立過程。 )()0 ,( 0 xx xt 1.劃分網(wǎng)格 選定步長(zhǎng) 和 ，然后在坐標(biāo)平面用平行于坐標(biāo)軸 的兩族直線劃分網(wǎng)格： xt ., 2, 1, 0 ., 2, 1, 0, 0 ntnt ixixx n i 2.針對(duì)某一點(diǎn)，用差商近似代替導(dǎo)數(shù) 對(duì)流方程在 點(diǎn)為),( ni tx 0 n i n i xt 差分方程的建立過程差分方程的建立過程 t t x x i x 1i x 1i x n t 1n t 1n t o 時(shí)間導(dǎo)數(shù)用一階向前差商近似代替： tt

7、 n i n i n i 1 空間導(dǎo)數(shù)用一階中心差商近似代替： xx n i n i n i 2 11 0 2 11 1 xt n i n i n i n i 則對(duì)流方程在 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的差分方程為),( ni tx 差分方程和其定解條件一起，稱為相應(yīng)微分方程 問題的差分格式。上述初值問題的差分格式可改寫為： )( )( 2 0 11 1 ii n i n i n i n i x x t 觀察上述差分格式可看出：若知道第 層的 ，可 由一個(gè)差分式子直接算出第 層的 ，故稱這類格式 為顯示格式。 n 1n 顯式有限差分模板： 時(shí)間推進(jìn)： 例 考慮長(zhǎng)度為1的均勻 直桿，其表面是絕熱的， 而且桿截面足夠細(xì)

8、，可 以把斷面上的所有點(diǎn)的溫度看成是相同的。 軸取為沿 桿軸方向， 對(duì)應(yīng)桿的端點(diǎn)，則桿內(nèi)溫度分布 隨時(shí)間變化由下面的擴(kuò)散方程來描述： x 1, 0 xx ),(txT 2 2 x T t T 100), 1( 100), 0( 0)0,( tT tT xT 時(shí)間導(dǎo)數(shù)用一階向前差商近似代替： t TT t T n i n i n i 1 空間導(dǎo)數(shù)用二階中心差商近似代替： 2 11 2 2 2 x TTT x T n i n i n i n i )2( 11 2 1n i n i n i n i n i TTT x t TT 取 ，則最終的差分方程：5.0, 1.0,10 2 tx )( 2 1

9、11 1n i n i n i TTT 顯式有限差分模板： x t T 0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 100100000000000 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 50 50 62.5 62.5 68.8 68.8 0 25 25 37.5 37.5 45.3 0 0 12.5 12.5 21.9 21.9 0 0 0 6.25 6.25 14.1 0 0 0 0 6.25 6.25 0 0 0 6.25 6.25 14.1 0 0 1

10、2.5 12.5 21.9 21.9 0 25 25 37.5 37.5 45.3 50 50 62.5 62.5 68.8 68.8 如仍取 而為縮短計(jì)算時(shí)間，時(shí)間 步長(zhǎng) 取 ，則最終的差分方程： , 1.0,10 2 x n i n i n i n i TTTT 11 1 0.1t x t T 0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0 0.0 0.5 1.0 1.5 100100000000000 100 100 100 100 100 100 100 0 200 0 100 -100 0 0 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100 0 100

11、 -100 100 0 200 差分法的基本理論差分法的基本理論 上例中，令 表示差分方程的精確解利用Taylor級(jí)數(shù)將 上式中鄰近節(jié)點(diǎn)的解在(i，n)點(diǎn)展開，整理并略去上標(biāo)后可得 上式就是與差分方程等價(jià)的微分方程式。一般地說，任何一個(gè)微 分方程的差分方程,其差商都可以用Taylor 級(jí)數(shù)表示，這樣都可 以得到一個(gè)與差分方程對(duì)應(yīng)的新的微分方程，該微分方程稱為差 分方程的修正方程式。 1.相容性 )2( 11 2 1n i n i n i n i n i TTT x t TT ),( 122 42 4 42 2 2 2 2 xtO x Tx t Tt E E x T t T n i n i T

12、T ),( niT ),( 122 22 4 42 2 2 2 2 xtO x Tx t Tt E E x T t T n i n i T T 上式中的 就是差分方程與微分方程的差別，稱之為截?cái)嗾`截?cái)嗾` 差差。顯然 與 、 成正比，一般情況下，當(dāng)步長(zhǎng)趨向零時(shí),有 限差分方程的截?cái)嗾`差是趨向于零的，則稱有限差分方程與相應(yīng) 的偏微分方程是相容相容的。 一個(gè)可用的偏微分方程的差分表達(dá)式必須是相容的。否則在 、 趨近零時(shí)，差分方程不能趨于原微分方程，差分方程的解 就不能代表微分方程的解，差分求解就失去了意義! T E T Etx tx 2.收斂性 收斂性研究的是差分方程的解與微分方程的解之間的差別問

13、題。如果在求解區(qū)域中的任一離散點(diǎn) 上，當(dāng)網(wǎng)格步長(zhǎng) 、 趨于零時(shí)，有限差分方程的解趨近于所近似的微分方程解，則稱有 限差分方程的解是收斂的。 一般情況下，證明收斂性是非常難的，暫不予以證明。 ),(txtx t i tx TniT 0,0 lim),( 3.穩(wěn)定性 穩(wěn)定性討論的是差分解的誤差在計(jì)算過程中的發(fā)展問題。在 數(shù)值解中，引進(jìn)誤差是不可避免的，電子計(jì)算機(jī)也有舍入誤差， 因此實(shí)際算得的有限差分方程的解是近似解。這種誤差是要向其 他方向傳播的，如果計(jì)算中引入的誤差在以后逐層計(jì)算過程中影 響逐漸消失或者保持有界，則稱差分方程是穩(wěn)定的。否則就是不 穩(wěn)定的。 2 11 2 1 ),2( x t ST

14、TT x t TT n i n i n i n i n i n i n i n i n i STTSSTT 11 1 )21( n i n i n i n i STTSSTT * 1 * 1 1* )21( 上式中 為差分方程的精確解,如果令 為差分方程的近似數(shù)值 解，之間的誤差為 。同樣，近似數(shù)值解也滿足同樣的方程： n i T n i T * n i n i n i n i SSS 11 1 )21( 分析例題 Von Neumann穩(wěn)定性分析方法簡(jiǎn)介穩(wěn)定性分析方法簡(jiǎn)介 上式稱為誤差傳播方程。 4.Lax等價(jià)定理 對(duì)于一個(gè)適定的線性初值問題，如果有限差分近似是相容 的，則穩(wěn)定性是收斂性的充

15、分和必要條件。這是有限差分方法最 基本的定律。 適用條件： 1）偏微分方程的解存在、唯一且連續(xù)地依賴于初值； 2）該定理只適用于線性問題，對(duì)非線性此定理至今未得到 證明。 重要的實(shí)際意義：一般情況下，證明有限差分方程的解收 斂于它所近似的偏微分方程的解比較困難。而證明有限差分方程 的穩(wěn)定性和相容性相對(duì)來說比較容易。根據(jù)該定理只要證明有限 差分方程是相容的、穩(wěn)定的，就保證了收斂性。 幾種差分格式介紹幾種差分格式介紹 FTCS格式（時(shí)間向前差分、空間中心差分） )()0 ,( 0 xuxu x u a t u )( 0 2 0 11 1 ii n i n i n i n i xuu x uu t uu )( )( 2 0 11 1 ii n i n i n i n i xuu uu x t auu 幾種差分格式介紹幾種差分格式介紹 FTFS格式（時(shí)間向前差分、空間向前差分） )( 0 0 1 1 ii n i n i n i n i xuu x uu t uu )( )( 0 1 1 ii n