圓的切線證明

1、圓的切線證明1 （2011中考）.如圖，PA為。0的切線，A為切點(diǎn)，過A作0P 的垂線AB,垂足為點(diǎn)C,交。0于點(diǎn)B,延長B0與O 0交于點(diǎn)D, 與PA的延長線交于點(diǎn)E,（1）求證：PB為。0的切線； 2已知。0中，AB是直徑，過B點(diǎn)作。0的切線，連結(jié)C0,若AD 交O 0于D，求證：CD是O 0的切線。3如圖，AB=AC，AB是O 0的直徑，O 0交BC于D，DM丄AC于M求證：DM與O 0 相切.D4（2008年廈門市）已知：如圖，八中，肚.，以丄于點(diǎn)丄.BI I（第2遹（1）求證：PD是E 0的切線；5已知：如圖OO是厶ABC的外接圓，P為圓外一點(diǎn)，PA/ BC且A為劣弧的中點(diǎn)，割線 P

2、BD過圓心，交 O0于另一點(diǎn)D,連結(jié)CD（1）試判斷直線PA與O0的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 當(dāng)AB=13, BC=24時(shí)，求OO的半徑及 CD的長.6如圖，點(diǎn)B、C D都在半徑為6的OO上，過點(diǎn)C作AC/ BD交OB的延長線于點(diǎn) A，連接CD,已知 / CDBM 0BD=30 .（1）求證：AC是OO的切線；（2）求弦BD的長；（3）求圖中陰影部分的面積.7. （2010北京中考）已知：如圖，在 ABC中，D是AB邊上一點(diǎn)，圓 O過D、B、C三 點(diǎn)，DOC=2ACD=90 :。求證：直線AC是圓O的切線；如果:ACB=75 :，圓O的半徑為2,求BD的長。8、（2011?北京）如圖，在厶A

3、BC，AB=AC，以AB為直徑的O O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E,點(diǎn)F在AC的延長線上，且/ CBF= / CAB .（ 1）求證：直線 BF是。O的切線；9已知O O的半徑OA丄OB,點(diǎn)P在OB的延長線上，連結(jié) AP交O O于D，過D作O O 的切線CE交OP于C,求證：PC = CD。10 （2013年廣東省9分）如圖，O O是RtAABC的外接圓，/ ABC=90，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE丄DC交DC的延長線于點(diǎn)E.（1）求證：/ BCA= / BAD ; （ 3）求證:BE是O O的切線。I I 1. I11 （ 7分）（2013?珠海）如圖，O O經(jīng)過菱形ABCD的三

4、個(gè)頂點(diǎn) A、C、D，且與AB相切于點(diǎn)A（1）求證：BC為O O的切線；來源：網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)載EPA細(xì)說如何證明圓的切線1、證切線90 （垂直）2、 有90 證全等3、 有丄證/，錯(cuò)過來4、利用角+角=90關(guān)注：等腰（等邊）三線合一；中位線；直角三角形1 （2011中考）.如圖，PA為OO的切線，A為切點(diǎn)，過A作OP的 垂線AB垂足為點(diǎn)C,交OO于點(diǎn)B,延長BO與OO交于點(diǎn)D,與 PA的延長線交于點(diǎn)E,（1）求證：PB為O O的切線；2已知O O中，AB是直徑，過B點(diǎn)作O O的切線，連結(jié)CO,若AD / OC交O O于D，求證：CD是O O的切線。?點(diǎn)悟：要證CD是。O的切線，須證CD垂直于過切點(diǎn)D的半

5、徑，由此想到連結(jié) 0D。?證明：連結(jié)0D。? AD / 0C,?/ COB=/ A 及/ COD = / ODA?. OA = OD ,/ ODA = / OAD?/ COB=Z COD? CO 為公用邊，OD = OB? COBA COD，即/ B=Z ODC? BC是切線，AB是直徑，?/ B= 90,/ ODC = 90,? CD是O O的切線。?點(diǎn)撥：輔助線OD構(gòu)造于“切線的判定定理”與“全等三角形”兩個(gè)基本圖形，先用切 線的性質(zhì)定理，后用判定定理。3如圖，AB=AC，AB是O O的直徑，O O交BC于D，DM丄AC于M求證：DM與O O相切.D3(2008年廈門市)已知：如圖中，4

6、二，以J為直徑的色G交丄T于點(diǎn)， 匚二于點(diǎn)二.(1)求證：丄匸是的切線；(2)若- Lii1. j-r - 2，求門的值.p 廠(1)證明:Q閔-AC，又 0P 二 0B，又皐二工于丄 一，二是_的切線4已知：如圖OO是厶ABC的外接圓，P為圓外一點(diǎn)，PA/ BC且A為劣弧的中點(diǎn)，割線 PBD過圓心，交 O0于另一點(diǎn)D,連結(jié)CD.的半徑及CD的長.(1)求證：AC是OO的切線;來源：網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)載(1)試判斷直線PA與O0的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.6的OO上，過點(diǎn)C作AC/ BD交OB的延長線于點(diǎn) A，連接CD已知求弦BD的長；求圖中陰影部分的面積.5. （2010北京中考）已知：如圖，在 ABC

7、中，D是AB邊上一點(diǎn)，圓 O過D、B、C三 點(diǎn)，DOC=2ACD=90 :。求證：直線AC是圓O的切線；如果:ACB=75 :，圓O的半徑為2,求BD的長。6、（2011?北京）如圖，在厶ABC，AB=AC，以AB為直徑的。O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E,點(diǎn)F在AC的延長線上，且/ CBF= / CAB .（1）求證：直線BF是。O的切線；?例 6.已知。O的半徑OA丄OB，點(diǎn)P在OB的延長線上，連結(jié)AP交。O于D，過D作。 O的切線CE交OP于C,求證：PC= CD。?點(diǎn)悟：要證PC= CD，可證它們所對(duì)的角等，即證/ P=Z CDP，又 OA丄OB，故可利 用同角（或等角）的余角相等證題。?

8、證明：連結(jié)OD，貝U OD丄CE。?/ EDA + Z ODA = 90? OA 丄 OB?/ A + Z P= 90，?又 v OA = OD，?/ ODA = / A，/ P=Z EDA?./ EDA = / CDP，?/ P=Z CDP，a PC= CD?點(diǎn)撥：在證題時(shí)，有切線可連結(jié)切點(diǎn)的半徑，利用切線性質(zhì)定理得到垂直關(guān)系。7（ 2013年廣東省9分）如圖，OO是RtA ABC的外接圓，/ ABC=90，弦BD=BA ,AB=12，BC=5，BE丄DC交DC的延長線于點(diǎn)E.（1）求證：/ BCA= / BAD ;（2）求DE的長；（3）求證:BE是O O的切線。【答案】 解：（1）證明：

9、v BD=BA，/ BDA= / BAD。vZ BCA= / BDA （圓周角定理），/ BCA= Z BAD。(2)vZ BDE= Z CAB (圓周角定理)，Z BED= Z CBA=90，BD =DE AC AB來源：網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)載BD=BA=12 , BC=5,.根據(jù)勾股定理得：AC=1312 DE13 一 12，解得:DE14413(3)證明：連接OB, OD,AB =DB 在厶ABO和厶DBO中B0二B0 ,OA =0D ABO DBO ( SSS)。錦元數(shù)學(xué)工作室繪制vZ ABO= / OAB= / BDC,：/ DBO= / BDC。二 OB/ ED。 BE 丄 ED，二 EB 丄

10、BO。二 OB 丄 BE。v OB是O O的半徑，二BE是O O的切線。&( 7分)(2013?珠海)如圖，O O經(jīng)過菱形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn) A、C、D，且與AB相切于點(diǎn)A(1) 求證：BC為O O的切線；(2) 求/ B的度數(shù).考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì).分析：(1)連結(jié)OA、OB、OC、BD，根據(jù)切線的性質(zhì)得 OA丄AB，即Z OAB=90 再根據(jù)菱形的性質(zhì)得 BA=BC，然后根據(jù) SSS”可判斷 ABCCBO，則Z BOC= ZOAC=90 于是可根據(jù)切線的判定方法即可得到結(jié)論；(2)由厶ABC CBO得Z AOB= Z COB，則Z AOB= Z COB，由于菱形的對(duì)角線 平分

11、對(duì)角，所以點(diǎn) O在BD上，利用三角形外角性質(zhì)有ZBOC= Z ODC+ Z OCD，貝UZ BOC=2 Z ODC ,由于 CB=CD，則 Z OBC= Z ODC，所以Z BOC=2 Z OBC，根據(jù)Z BOC+ Z OBC=90 可計(jì)算出Z OBC=30 然后利用Z ABC=2 Z OBC計(jì)算即可.解答：(1)證明：連結(jié) OA、OB、OC、BD，如圖，v AB與O切于A點(diǎn)， OA 丄 AB，即 Z OAB=90 v四邊形ABCD為菱形， BA=BC ,在厶ABC和厶CBO中rAB=CB OA=OC ,QB 二 OB ABC 也厶 CBO , Z BOC= Z OAC=90 OCX BC, BC為O O的切線；(2)解： ABC CBO , Z AOB= Z COB ,v四邊形ABCD為菱形， BD 平分Z ABC , CB=CD ,點(diǎn)0在BD上，/ BOC= / ODC+ / OCD ,而 OD=OC ,/ ODC= / OCD ,/ BOC=2 / ODC ,而 CB=CD ,/ OBC= / ODC ,/ BOC=