彈塑性力學(xué)習(xí)題及答案

1、DOC文檔資料2.12.22.3本教材習(xí)題和參考答案及部分習(xí)題解答計(jì)算：(1)Op i心 q 5qj6jk， (2)epqi UjkAjk， (3)QpQpBkiBj。答案(1)答案（2）解：（3）證明：若（需證明）設(shè)a、pi 】qqjjk = -pk ；epqi ejk Ajk = Apq - Aqp ；ejp ekip B Bij =(；條“-山：沖)Bki Bo = Bii Bjj BjiBj。 aij aji ，貝it ejk ajk 0。b和c是三個(gè)矢量，試證明: a b a cb b b c c b c c4 a, b, c2aia證：因?yàn)閎aaibaiCaia2a3aibiCib

2、ccc=bi$b2C2b3a2C3衛(wèi)3b2C2b3C3所以a adet ba.caaibbcccai=det(bia2b2C2a J ai bs5丄aa2bib2b31aa2a 3abiCi)=bd b3a2b2C2JcGC3a3b3C3CiC2C3Ia a a b a ca aiaibaQaia2a3aibiCib a b b b c=b a bbi b Ci=bib2b3a2b2 C2c a c b c cc a cbi Ci CiCiC2C3a3b3C3即得=a, b, c2。2.4設(shè)a、b、c和d是四個(gè)矢量，證明：(a b) (c d) =(a c)(b d) -(a d)(b c)

3、證明：(a b) (c d)二DOC文檔資料z軸轉(zhuǎn)動(dòng)V角度，得到新坐標(biāo)系，如圖2.4所示。試圖2.4Cili2 i n jl j 2 j.mAili2 in Bj lj2jm2.5設(shè)有矢量u =ue。原坐標(biāo)系繞 求矢量U在新坐標(biāo)系中的分量。答案：ui 二ui cost U2Sin v ,U2 =_uisin v U2COS J ,U3=U3。2.6設(shè)有二階張量T =TijG ： &。當(dāng)作和上題相同的坐標(biāo)變換時(shí)，試求張量T在新坐標(biāo)系中的分量Till T12 Ti3和T33 o 提示：坐標(biāo)變換系數(shù)與上題相同。 答案：T 1 J1 +T22 小-T22 Rs?日 +Ti2 +T21 前2 日,222

4、T 2+18$2日 +T21sin,222T 3，=Ti3cos日幵23sin 日,T3 3 T33 o2.7設(shè)有3n個(gè)數(shù)Ai2 in，對(duì)任意m階張量Bjij2 jm，定義2A2 in是n階張量若Cili2 inji j2 j.m為門階張量，試證明證：為書寫簡(jiǎn)單起見，取n =2，m =2，則2.8設(shè)A為二階張量，試證明I A= trA o證：2.9設(shè)a為矢量，A為二階張量，試證明：(i) a A(At a)T， A a(a AT)T證：(1) -(AT a)T =(Aji e - ej akek)T =(Ajie : akejknen )T =-(Aji ak ejkn ei : en) 丁

5、= - Ajn akejki e : en=akek Ajn ej ；en =a A。證：(2) -(a AT)T 二2.10已知張量T具有矩陣1 2 3T = 4 5 6J 8 9一求T的對(duì)稱和反對(duì)稱部分及反對(duì)稱部分的軸向矢量 解：2.11已知二階張量T的矩陣為3-10T = -1302 0 1一求T的特征值和特征矢量。解： 2.12求下列兩個(gè)二階張量的特征值和特征矢量：A - ： I I m : m， B =m ： n n ： m其中，:-和1是實(shí)數(shù)，m和n是兩個(gè)相互垂直的單位矢量。解：因?yàn)锳 m= （一:Im ： m） m = （1）m，m垂直的任意單所以m是A的特征矢量，用 l ：-是

6、和其對(duì)應(yīng)的特征值。設(shè) a是和 位矢量，則有A a =（-訂m ： m） a = ： a所以和m垂直的任意單位矢量都是 A的特征矢量，相應(yīng)的特征值為 征方程的重根。(e +e 3)(e2 +e 3)上面定義的ei是相互垂直的單位矢量。張量B可以表示成B =0e _ e 一匕-e2 +e3 - e3所以，三個(gè)特征值是1、0和1,對(duì)應(yīng)的特征矢量是 e3、e和e。2.13設(shè)a和b是矢量，證明：、：心：(:門:a)-；(導(dǎo) a2a(2)(ab)=b (、a)-a(、b)a(b)-b(a)證：(1)(2)12.14 設(shè) a =x2ya3i -2xz3e2 - xz2e3，求 w(a、a)及其軸向矢量。解:

7、w =g(a、a)=*(x2z 2z3)e ： e2 (x2y -z2)e e3 -(2z3 x2z)e e-6xz2e. e (z2 -x2 y) e3 ： e 6xz2g由上式很容易得到軸向矢量，也可以按下面的方法計(jì)算軸向矢量二 a =舟6xz2e (x2y_z2)e(2z3 x2z)。2.15設(shè)S是一閉曲面，r是從原點(diǎn)0到任意一點(diǎn)的矢徑，試證明：(1) 若原點(diǎn)O在S的外面，積分(2) 若原點(diǎn)O在S的內(nèi)部，積分證：當(dāng)r -0時(shí)，有(b)因?yàn)樵c(diǎn)在S的外面，上式在S所圍的區(qū)域V中處處成立，所以由高斯公式得尹S八(帥=0。SV因?yàn)樵c(diǎn)在S的內(nèi)部，所以必定存在一個(gè)以原點(diǎn)為球心、半徑為a的球面S完

8、全在S的內(nèi)部。用V表示由S和S 所圍的區(qū)域，在 V中式(b)成立，所以背dS背 dS .背dS+)dV=0S SSSV即S在S 上,s羅dSr =a， n - r/a，于是S =dS =4 二。FSDOC文檔資料2.16設(shè)f =ye(x _2xz)e2 -xy，試計(jì)算積分 f ) ndS。式中S是球面Sx2 y2 - z a在 xy平面的上面部分.解：用c表示圓x2 y2 =a2 ,即球面x2 y2 z2 =a2和xy平面的交線。由Stokes 公式得(l f ) ndS=f dr = ydx xdy =0。SccAVV*第二早3.1設(shè)r是矢徑、u是位移，r=r+u。求述，并證明：當(dāng)口門丨1時(shí)

9、，世是一個(gè)可逆 drdr的二階張量。解：也二屯型=| uvdr dr dr址=|切可的行列式就是書中的式(3.2)，當(dāng)Ui,jL 1時(shí)，這一行列式大于零，所以dr遜可逆。dr3.2設(shè)位移場(chǎng)為u=A r，這里的A是二階常張量，即 A和r無(wú)關(guān)。求應(yīng)變張量 反對(duì) 稱張量Q =(Uu)/2及其軸向矢量 3。怕(A+AT)，Q=1(AAT)，1 1 -3u =丄 ei Ajk ej ： ek x e22:xAjkGjmCm 區(qū)k心ile AkGjmemki = AjiGjme2 2 23.3設(shè)位移場(chǎng)為u =A r，這里的A是二階常張量，且 Ui,j L 1。請(qǐng)證明:(1) 變形前的直線在變形后仍為直線；

10、(2) 變形前的平面在變形后仍然是一個(gè)平面；(3) 變形前的兩個(gè)平行平面在變形后仍為兩個(gè)平行的平面。證：(1)方向和矢量a相同且過(guò)矢徑為ro的點(diǎn)的直線方程可以寫成r 二ta ro其中t是可變的參數(shù)。變形后的矢徑為r =r u =r A r =(lA) r(1)DOC文檔資料用I A點(diǎn)積式(1)的兩邊，并利用式(2),得r =t(I A) a (I A) ro上式也是直線方程，所表示的直線和矢量 所以變形前的直線變形后仍然是直線。(I A) a平行，過(guò)矢徑為(I A) ro的點(diǎn)。 因?yàn)閁i,j L 1，所以I A可逆。記B二(I - A) J，則r (IA)r B r(3)變形前任意一個(gè)平面的方

11、程可以表示成a r =c(4)其中a是和平面垂直的一個(gè)常矢量，C是常數(shù)。將式(3)代入式(4)，得(a B) r -c (5)上式表示的是和矢量 a B垂直的平面。所以變形前的平面在變形后仍然是平面。(3) 變形前兩個(gè)平行的平面可以表示成a r ， a r = C2變形后變成(a B)r ，(a B)r仍是兩個(gè)平行的平面。3.4在某點(diǎn)附近，若能確定任意微線段的長(zhǎng)度變化，試問(wèn)是否能確定任意兩條微線段之間 夾角的變化；反之，若能確定某點(diǎn)附近任意兩條微線段之間的夾角變化，試問(wèn)能否確 定任意微線段的長(zhǎng)度變化。答案：能；能。3.5設(shè)位移場(chǎng)為u二A r，其中A是二階常張量，n和m是兩個(gè)單位矢量，它們之間的

12、夾 角為。求變形后;的減小量。1答案：n (A AT) m ctg ( n A n m A m)。si nB3.6設(shè)n和m是兩個(gè)單位矢量，dr =ndr和、；r =m: r是兩個(gè)微小的矢量，變形前它們 所張的平行四邊形面積為A=dr汶6r，試用應(yīng)變張量把變形時(shí)它的面積變化率A/A表示出來(lái)，其中 A是面積變形前后的改變量。 解：變形后，d r和、：r變成dW = dr e d w id， er w r對(duì)上面兩式進(jìn)行叉積，并略去高階小量，得dr r dr r dr e r dr ； r 對(duì)上式兩邊進(jìn)行自身點(diǎn)積，略去高階小量，得 (d白 內(nèi)(dW r)(drr) (dr、r) 2(dr e、r) (

13、dm) 2(dr* ：1r) (dm)(a)注意到(drr) gr m=(a ：a)2 ： a2 2( ：a)a（drr） （dr、.r） =A2所以，從式（a）可得A （dr 、r） （dr 、r） （dr &r） （dr 、r）A 一（dr、r） （dr、r）(n m) (n m) - (n) (n m)(nxm) (nxm)利用習(xí)題2.4中的等式，上式也可寫成.A n n -2(n -e m)(n m) m &mA1-(n m)23.7設(shè)在一個(gè)確定的坐標(biāo)系中的應(yīng)變分量為胡,讓坐標(biāo)系繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)V角，得一個(gè)新的坐標(biāo)系，求在新坐標(biāo)系中的應(yīng)變分量。答案：；xcos2v ；xysin2 n，22一

14、 士5os2r-；xySin2r，22X；xy = _ sin2 v；xycos2vx z ；xz COS V z sin ： “ ，y z = ；xz Sin V ；yz COs ，-z ；z3.8在Oxy平面上，Oa、Ob、Oc和x軸正方向之間的夾角分別為 0：、60：、120， 如圖3.9所示，這三個(gè)方向的正應(yīng)變分別為；a、 ；b和；c。求平面上任意方向的相對(duì)伸長(zhǎng)度；n。答案：；n亠玉込2二333()sin2 二33.9試說(shuō)明下列應(yīng)變分量是否可能發(fā)生：二 x axy2 ，二 y =ax y，二z axy ，yz =ay2 bz2， xz ax2 by2， xy =0 其中a和b為常數(shù)。解

15、：3.10確定常數(shù)Ao, A ,Bo, B , Co,Ci,C2之間的關(guān)系，使下列應(yīng)變分量滿足協(xié)調(diào)方程Sx =Ao +A (x2+y2)+x4 +y4，Sv =Bo +B (x2 +y2) +x4 +y4， xy =Co Ci xy( x2 y2 C2)，0 zx zy解：3.11若物體的變形是均勻的，即應(yīng)變張量和空間位置無(wú)關(guān)，試寫岀位移的一般表達(dá)式 解：(由于應(yīng)變張量 和空間位置無(wú)關(guān)，所以書中的式(3.36a)簡(jiǎn)化成)3.12 設(shè)矗=ax ,；y二by,；z=cz,:xy-；yz-；zx=0，其中 a , b , c 是常量，求位移的一般表達(dá)式。解：第四章4.1已知物體內(nèi)一點(diǎn)的六個(gè)應(yīng)力分量為

16、：-X 50a，- y 0，- z =-30a , :yz =-75a , :zx 80a , -xy 50a試求法線方向余弦為 皿=2 , “2m =冷的微分面上的總應(yīng)力 T、正應(yīng)力 6和剪應(yīng)力，n。答案：總應(yīng)力 t 巧2 T22 T32 =111.8a。正應(yīng)力二n =Tn =26.04a。剪應(yīng)力= ,；T2 -；一昭=108.7a。4.2過(guò)某點(diǎn)有兩個(gè)面，它們的法向單位矢量分別為 n和m ,在這兩個(gè)面上的應(yīng)力矢量分別 為T和T2，試證T m =T2 n。證：(利用應(yīng)力張量的對(duì)稱性)4.3某點(diǎn)的應(yīng)力張量為:二 xxy：Jxz012 Izx可 zy Oz210且已知經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的某一平面上的應(yīng)力矢量

17、為零，求二y及該平面的單位法向矢量。解：設(shè)要求的單位法向矢量為ni，則按題意有-ij nj =0即n2 2n3 =0，ni 門門2 n3 =0，2ni n2 =0(a)上面第二式的兩倍減去第一式和第三式，得(2心2)n2 =0上式有兩個(gè)解：n2 =0或二y =1。若n2 =0 ,則代入式(a)中的三個(gè)式子，可得ni = n3 =0，這是不可能的。所以必有y =1。將”y =1代入式(a)，利用n n =1， 可求得4.4基礎(chǔ)的懸臂伸出部分具有三角柱體形狀，見圖 試驗(yàn)證應(yīng)力分量4.8，下部受均勻壓力作用，斜面自由,(7十C)二 y =A( -arctg丫化B)x x y2y2z = yz = x

18、z =0， .xy =-A 2x2 +y2滿足平衡方程，并根據(jù)面力邊界條件確定常數(shù)A、B 和 C。解：將題中的應(yīng)力分量代入平衡方程，可知它們滿足平衡方程。在y=0的邊界上，有邊界條件圖4.8(二y)y：e =-q， 所給的應(yīng)力分量 件，得AB - - q在上斜面上，有( xy ) y 0xy自動(dòng)滿足上面的第二個(gè)條件。將二y的表達(dá)式代入上面的第一個(gè)條(1)yxtg 1，所以斜面上的應(yīng)力分量可以簡(jiǎn)化成ex =AC- sin ：cos 1 C)，二x =A(； sin 一：cos,B), xy - - Asin2z = yz = xz =0斜面上的外法向方向余弦為rn =-sin : , n2 =_

19、cosl -, n3 =0將式(2)和(3)代入邊界條件 G nj =0，得】C =0JA(sin I： - I ：cos :)ABcos ： =0聯(lián)立求解(1)和，得4.5圖4.9表示一三角形水壩，已求得應(yīng)力分量為B =tg，C =-x 二ax by， - y 二ex dy， - z =0， yz =xz 0 ， ixy = - dx - ay - x和,分別是壩身和水的比重。求常數(shù) a、b、 使上述應(yīng)力分量滿足邊界條件。解：在x =0的邊界上，有邊界條件G7x)xfi =- iy，( xy )x：0 =0將題中的應(yīng)力分量代入上面兩式，可解得：a=0 ,b - - 1。在左側(cè)的斜面上，x=y

20、tg 1，外法向方向余弦為ni =cos :, n2 - - sin ： ， n3 =0把應(yīng)力分量和上面得到的有關(guān)結(jié)果代入邊界條件；飛門)=0，可解得：d = Qtg2 - , c=ctg ：( -2 1ctg2 ：)。4.6物體的表面由f(x,y,z)=0確定，沿物體表面作用著與其外法向一致的分布載荷p(x, y,z)，試寫出其邊界條件。解：物體表面上任意一點(diǎn)的外法向單位矢量為按題意，邊界條件為因此Vf=pf _ 即 廳訴=pf八 f Vf 八 f、f上式的指標(biāo)形式為-ij f, jPf,i。4.7如圖4.10所示，半徑為a的球體，一半沉浸在密度為r的液體內(nèi)，試寫出該球的全部邊界條件。解：球面的外法向單位矢量為當(dāng)z乞0時(shí)，有邊界條件(T n =0 即(T r =0 或,ij Xj =0。當(dāng)z _0時(shí)，球面上的壓力為gz，其中g(shù)為重力加速度，邊界條件為；n - - ：?gzn 即 cr r - -:-gzr 或 ；二 Xj -gzx。4.8物體的應(yīng)力狀態(tài)為；二，其中二為矢徑r的函數(shù)。(1)證明物體所受的體積力是有勢(shì)力，即存在一個(gè)函數(shù)，使f ； 寫出物體表面上的面力表達(dá)式。解：(1)應(yīng)力場(chǎng)必須滿足