彈性力學(xué)簡明教程第四版課后習(xí)題解答

1、彈性力學(xué)簡明教程（第四版）課后習(xí)題解答徐芝綸第一章緒論1-1試舉例說明什么是均勻的各向異性體，什么是非均勻的各向同性體？【分析】均勻的各項異形體就是滿足均勻性假定，但不滿足各向同性假定；非均勻的各 向異性體，就是不滿足均勻性假定，但滿足各向同性假定?！窘獯稹烤鶆虻母黜棶愋误w如：竹材，木材。非均勻的各向同性體如：混凝土。1-2 一般的混凝土構(gòu)件和鋼筋混凝土構(gòu)件能否作為理想彈性體？ 一般的巖質(zhì)地基和 土質(zhì)地基能否作為理想彈性體？【分析】能否作為理想彈性體，要判定能否滿足四個假定：連續(xù)性，完全彈性，均勻性, 各向同性假定?！窘獯稹恳话愕幕炷翗?gòu)件和土質(zhì)地基可以作為理想彈性體；一般的鋼筋混凝土構(gòu)件和

2、巖質(zhì)地基不可以作為理想彈性體。1-3五個基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時有什么作用？【解答】（1）連續(xù)性假定：假定物體是連續(xù)的，也就是假定整個物體的體積都被組成 這個物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。引用這一假定后，物體的應(yīng)力、形變和位移等物 理量就可以看成是連續(xù)的。因此，建立彈性力學(xué)的基本方程時就可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表 示他們的變化規(guī)律。完全彈性假定：假定物體是完全彈性的，即物體在對應(yīng)形變的外力被去除后，能夠完全 恢復(fù)原型而無任何形變。這一假定，還包含形變與引起形變的應(yīng)力成正比的涵義，亦即兩者 之間是成線性關(guān)系的，即引用這一假定后，應(yīng)力與形變服從胡克定律，從而使物理方程成為 線性的方程，其

3、彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或形變的大小而變。均勻性假定：假定物體是均勻的，即整個物體是由同一材料組成的，引用這一假定后整 個物體的所有各部分才具有相同的彈性，所研究物體的部各質(zhì)點的物理性質(zhì)都是相同的，因 而物體的彈性常數(shù)不隨位直坐標(biāo)而變化。各向同性假定：假定物體是各向同性的，即物體的彈性在所有各個方向都相同，引用此 假定后，物體的彈性常數(shù)不隨方向而變。小變形假定：假定位移和變形是微小的。亦即，假定物體受力以后整個物體所有各點的 位移都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸，而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于lo這樣在建立物體變形以后的 平衡方程時，就可以方便的用變形以前的尺寸來代替變形以后的尺寸。在考察物體的位移與 形變的關(guān)系時，

4、它們的二次幕或乘積相對于其本身都可以略去不計，使得彈性力學(xué)中的徹分方程都簡化為線性的微分方程。1-4應(yīng)力和面力的符號規(guī)定有什么區(qū)別？試畫出正坐標(biāo)面和負(fù)坐標(biāo)面上的正的應(yīng)力 和正的面力的方向。【解答】應(yīng)力的符號規(guī)定是：當(dāng)作用面的外法線方向指向坐標(biāo)軸方向時（即正面時）， 這個面上的應(yīng)力（不論是正應(yīng)力還是切應(yīng)力）以沿坐標(biāo)軸的正方向為正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向 為負(fù)。當(dāng)作用面的外法線指向坐標(biāo)軸的負(fù)方向時（即負(fù)面時），該面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的 負(fù)方向為正，沿坐標(biāo)軸的正方向為負(fù)。面力的符號規(guī)定是：當(dāng)面力的指向沿坐標(biāo)軸的正方向時為正，沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向為負(fù)。 由下圖可以看出，正面上應(yīng)力分量與面力分量同號，負(fù)面上應(yīng)力分

5、量與面力分量符號相 反。y4化X(T負(fù)面5正的應(yīng)力1-5試比較彈性力學(xué)和材料力學(xué)中關(guān)于切應(yīng)力的符號規(guī)定。解答】材料力學(xué)中規(guī)定切應(yīng)力符號以使研究對象順時針轉(zhuǎn)動的切應(yīng)力為正，反之為負(fù)。 彈性力學(xué)中規(guī)定，作用于正坐標(biāo)面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸的正方向為正，作用于負(fù)坐標(biāo) 面上的切應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向為正，反之為負(fù)。1-6試舉例說明正的應(yīng)力對應(yīng)于正的形變?！窘獯稹空膽?yīng)力包括正的正應(yīng)力與正的切應(yīng)力，正的形變包 括正的正應(yīng)變與正的切應(yīng)變，本題應(yīng)從兩方面解答。正的正應(yīng)力對應(yīng)于正的正應(yīng)變：軸向拉伸情況下，產(chǎn)生軸向拉 應(yīng)力為正的應(yīng)力，引起軸向伸長變形，為正的應(yīng)變。正的切應(yīng)力對應(yīng)于正的切應(yīng)變：在如圖所示應(yīng)力狀態(tài)情況下

6、， 切應(yīng)力均為正的切應(yīng)力，引起直角減小，故為正的切應(yīng)變?！?-7】試畫出圖14中矩形薄板的正的體力面力和應(yīng)力的方向?！窘獯稹?-8試畫出圖1-5中三角形薄板的正的面力和體力的方向?！窘獯稹俊?-9在圖1-3的六面體上，y面上切應(yīng)力ry：的合力與N面上切應(yīng)力T：y的合力是否 相等？【解答】切應(yīng)力為單位面上的力，量綱為LML ,單位為N/,滬。因此，應(yīng)力的合力應(yīng)乘以相應(yīng)的面積，設(shè)六面體微元尺寸如加如血，則y面上切應(yīng)力的合力為：rv. - dx d乙(a)N面上切應(yīng)力乙，的合力為：Tzy dx dy(b)由式(a) (b)可見，兩個切應(yīng)力的合力并不相等。【分析】作用在兩個相互垂直面上并垂直于該兩面交

7、線的切應(yīng)力的合力不相等，但對某 點的合力矩相等，才導(dǎo)出切應(yīng)力互等，性。第二章平面問題的基本理論2-1試分析說明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中（圖2-14）其應(yīng)力狀態(tài)接 近于平面應(yīng)力的情況?！窘獯稹吭诓皇苋魏蚊媪ψ饔玫目臻g表面附近的薄層中，可以認(rèn)為在該 薄層的上下表面都無面力，且在薄層所有各點都有= rx: = ry: = 0,只存 在平面應(yīng)力分量且它們不沿z方向變化，僅為馮y的函數(shù)?？?以認(rèn)為此問題是平面應(yīng)力問題。2-2試分析說明，在板面上處處受法向約束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15）, 當(dāng)板邊上只受笛y向的面力或約束，且不沿厚度變化時，其應(yīng)變狀態(tài)接近于平面應(yīng)變的情況

8、?！窘獯稹堪迳咸幪幨芊ㄏ蚣s束時6 = 0,且不受切向面力作用，則彳 y = o（相應(yīng) = r-v = ）板邊上只受馮卩向的面力或約束，所以僅存2 在且不沿厚度變化，僅為馮y的函數(shù)，故其應(yīng)變狀態(tài)接近于平2 面應(yīng)變的情況。2-3在圖2-3的微分體中，若將對形心的力矩平很條 件工Me = 0改為對角點的力矩平衡條件，試問將導(dǎo)出什么形 式的方程？【解答】將對形心的力矩平衡條件工Mc = 0,改為分別 對四個角點A、B、D、E的平衡條件，為計算方便，在z方 向的尺寸取為單位1。洌=0adx -1- + (7 +- dx)dy-1- - (r + dx)dy 1 dx _ c dy-1- 52 x dx2

9、-去-2,、I o J CO.dxAxdx一 (o + -dy)dx 1 一+(rvv + dy)dx 1 心 + fxdxdy 1 亠一 fxdxdy 1 一二 0 dy2dy22yx + 字 1 + (tyx + 牛 dy)dx 1 dy + (o. + 等如 da 1 羋 去2dydy2-r.dy 1 dx _(yxdy 1 塵r,dx-l-+ fxdxdy 1 + fydxdy-1- = 02 2 2 2g(t、dxdy(crv + - dy)dx-1- - Txydy 1 dx + 1 亍 + Txxdx Ady-ydxA- (y ：不相同。(3) 位移分量：由于位移分量要靠應(yīng)變分量

10、積分來求解，故位移分量對于兩類平面問題也不同。圖2162-8在圖2-16中，試導(dǎo)出無面力作用時AB邊界上的6,込，Gy之間的關(guān)系式【解答】由題可得：/ = cos /,/? = cos(67-90 ) = sin afx(AB) = 0jy(AB)= 0將以上條件代入公式(2-15),得：(6 )皿 cos a + (r J曲 sm a = 0,(b,)曲 sin a + (t Jab cos a = 0=(認(rèn)=-(ryxB tana = (q)肋 tan2 a【2-9】試列出圖2-17,圖2-18所示問題的全部邊界條件。在其端部小邊界上，應(yīng)用圣維南 原理列出三個積分的應(yīng)力邊界條件。VoPSh

11、2q圖 2-17圖 2-18【分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件，若為小邊界也可寫成圣維南原理的三個積 分形式，大邊界上應(yīng)精確滿足公式（2-15）。【解答】圖2-17：上（尸0）左（A=0）右（A=b）/0-11m-1007.v()0Qg(y+M)-pg(y+h)兀($)Pgh,00代入公式（2-15）得在主要邊界上上精確滿足應(yīng)力邊界條件：（ah 二-Qg（y+J,（rJ,=o = o；(bJz = -Qg(y + 勺),億)J ；在小邊界y = o,能精確滿足下列應(yīng)力邊界條件:。）円一加，（）,“ = 0在小邊界y = h2f能精確滿足下列位移邊界條件：（嘰他=og班=0這兩個位移邊

12、界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替，當(dāng)板厚5=1 時，可求得固定端約束反力分別為：F, = -pgh仏 M = 0由于y =仏為正面，故應(yīng)力分量與面力分量同號，則有:dx = -pghbxdx = 0dx = O圖2-18上下主要邊界力y=h/29應(yīng)精確滿足公式(2-15)/m兀(s)兀(s)h y =0-10q2hy =-0102(by)z/2 = 一q (ry.t)y=./r/2 = 尸卅2 = (Tyx)yh/2 = 一4在x=0的小邊界上，應(yīng)用圣維南原理，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件：負(fù)面上應(yīng)力與面力符 號相反，有J-/J/2(6、ho” = -Fsrhil5%。

13、曲=-在蠱習(xí)的小邊界上，可應(yīng)用位移邊界條件日=0日=0這兩個位移邊界條件也可改用三個 積分的應(yīng)力邊界條件來代替。首先，求固定端約束反力，按面力正方向假設(shè)畫反力，如圖所示，列平衡方程求反力:M工耳=a Fn + F； = qj = F； =qj 一 FN工 F、. = 0遲+ E + q/ = 0dR = q/-厲工Ma = 0,M + AT+/ + Lql2 丄qJh = 0 = M =迪_ _Fs衛(wèi)2 2 2 2由于x習(xí)為正面，應(yīng)力分量與面力分量同號，故rh/2Lum”訂:：(bJ.Tydy=M = -M -FJ-豊：A)a=F； = -ql-Fs2-10試應(yīng)用圣維南原理，列出圖2-19所示

14、的兩個問題 中OA邊上的三個積分的應(yīng)力邊界條件，并比較兩者的面力是否 是是靜力等效？【解答】由于OA為小邊界，故其上可用圣維南原理, 寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件：-Y(a)上端面OA面上面力fx = 0,/v = -q由于OA面為負(fù)面，故應(yīng)力主矢.主矩與面力主矢-主矩符OAbh hAb/2 b/2 12fo (bJZ dx = -f 恥T：?沁=一 仏)尸嚴(yán)=一 f加T：號 IS)y=0dx=0y=02-x dx = -qb212 (對OA中點取矩)號相反，有(b)應(yīng)用圣維南原理，負(fù)面上的應(yīng)力主矢和主矩與面力主矢和主矩符號相反，面力主矢y向為正, 主矩為負(fù)，則6) dF、一理Jo y / y=

15、0A 2仏)=0綜上所述，在小邊界oA,兩個問題的三個積分的應(yīng)力邊界條件相同，故這兩個問題是靜力 等效的。2-111檢驗平面問題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】(1)在區(qū)域用位移表示的平衡微分方程式(2-18);(2)在嘉上用位移表示的應(yīng)力邊界條件式(2-19);(3)在s“上的位移邊界條件式(2-14);對于平面應(yīng)變問題，需將& 作相應(yīng)的變換?！痉治觥看藛栴}同時也是按位移求解平面應(yīng)力問題時，位移分量必須滿足的條件。2-12檢驗平面問題中的應(yīng)力分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】(1)在區(qū)域A的平衡微分方程式(2-2);(2) 在區(qū)域A用應(yīng)力表示的相容方程式(2-21)或(

16、2-22);(3) 在邊界上的應(yīng)力邊界條件式(2-15),其中假設(shè)只求解全部為應(yīng)力邊界條件的問題;(4) 對于多連體，還需滿足位移單值條件。【分析】此問題同時也是按應(yīng)力求解平面問題時，應(yīng)力分量必須滿足的條件?！狙a題】檢驗平面問題中的應(yīng)變分量是否為正確解答的條件是什么？【解答】用應(yīng)變表示的相容方程式(2-20)2-13檢驗平面問題中的應(yīng)力函數(shù)是否為正確解答的條件是什么？【解答】(1)在區(qū)域A用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程式(2-25);(2) 在邊界S上的應(yīng)力邊界條件式(2-15)，假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件；(3) 若為多連體，還需滿足位移單值條件?！痉治觥看藛栴}同時也是求解應(yīng)力函數(shù)的條件。2-14檢驗

17、下列應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答：YXboXqyqq a a q圖 2-20(a)圖 2-20, =j = Txy = 0o【解答】在單連體中檢驗應(yīng)力分量是否是圖示問題的解答，必須滿足：(1)平衡微分方程(2-2);(2)用應(yīng)力表示的相容方程(2-21); (3)應(yīng)力邊界條件(2-15)。dx=0(1) 將應(yīng)力分量代入平衡微分方程式，且 = A =oda dr寧+匸竺=顯然滿足dy OX(2)將應(yīng)力分量代入用應(yīng)力表示的相容方程式(2-21),有 V 2(1等式珂喬+看歸y卜#e右應(yīng)力分量不滿足相容方程。因此，該組應(yīng)力分量不是圖示問題的解答。(b)圖2-21,由材料力學(xué)公式,(取梁的厚度b=l)

18、,得出所示問題的解答：7=-r =-（A2-4r）o又根據(jù)平衡徹分方程和邊界條件得出： th4 lh37-yv_ A2_。試導(dǎo)出上述公式，并檢驗解答的正確性。-2 lh /臚 2 I【解答】（1）推導(dǎo)公式在分布荷載作用下，梁發(fā)生彎曲形變，梁橫截面是寬度為1,高為h的矩形，其對中性軸（Z軸）的慣性矩/ = ,應(yīng)用截面法可求出任意截面的彎矩方程和剪力方程所以截面任意點的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為:根據(jù)平衡微分方程第二式（體力不計）。dy dx根據(jù)邊界條件。）、“2=2 lh lh3 21將應(yīng)力分量代入平衡微分方程（2-2） 第一式：左=一6彳活+ 拮= =右 滿足 inIn第二式自然滿足將應(yīng)力分量代入相

19、容方程（2-23）應(yīng)力分量不滿足相容方程。故，該分量組分量不是圖示問題的解答?！?-15】試證明：在發(fā)生最大與最小切應(yīng)力的面上，正應(yīng)力的數(shù)值都等于兩個主應(yīng)力的平均值?！窘獯稹浚?）確定最大最小切應(yīng)力發(fā)生位置任意斜面上的切應(yīng)力為”=加?（6-5）,用關(guān)系式I2 + m2 = 1消去m,得 rn = 土/J1-廠（込 -5）= 廠-廠（q -bj = 1/4-（1/2-/2）2（6 一bj由上式可見當(dāng)；-12 = 0時，即/ = 、伶時，幾為最大或最小，為 億）心=土魚咅。因此,2V 2mm2切應(yīng)力的最大，最小值發(fā)生在與衣軸及y軸（即應(yīng)力主向）成45的斜面上。（2）求最大，最小切應(yīng)力作用面上，正應(yīng)

20、力6的值任一斜面上的正應(yīng)力為最大、最小切應(yīng)力作用面上/= 皿，帶入上式，得U = （ 5 - b J + 鼻=* （ “ + b2 ）證畢。2-16設(shè)已求得一點處的應(yīng)力分量，試求5,6,0(a)cr = 100, b、. = 50, rxy = 10/50; (b)(rx = 200, b、=。，Tvy 400;(c)7 = -2000,(J. =1000,r = -400; (d)o =-1000, 7v =-1500,r =500.【解答】由公式（2-6）tan =100-50 T得 cn 二 arctan100+502-150=/50= 3516r(b)200 + 0土2N+(-400)

21、亠512-31251? ?00e = aictan: = arctan (-0.78)= -37572000 + 100土-2ooo+ioooy+(_4OO)2 |1052-2052廿amtan竺存2 “叭“珂2叱(1000 + 1500+ 5002 =-691-1809乞=arctail 69U 1000 = aictanO.618 = 31。4315002-17】設(shè)有任意形狀的等候厚度薄板，體力可以不計，在全部邊界上(包括孔口邊界上)受有均勻壓力q.試證6 =込,=7及 J = 0能滿足平衡微分方程、相容方程和應(yīng)力邊界條件，也能滿足位移單值條 件，因而就是正確的解答?！窘獯稹?1)將應(yīng)力分

22、量6 = 0；= 0 ,和體力分量fx = fy= 0分別帶入平衡微分方程、相容方程+ L = odx 內(nèi) v-H仏+ bJ = 0(b)顯然滿足(a) (b)(2)對干微小的三角板力，dx,妙都為正值，斜邊上的方向余弦I = cos(n,x),/7i = cos(n,y),將6 = s = w=0 ,代入平面問題的應(yīng)力邊界條件的表達(dá)式(2-15),且 fv = -qcos(n,x)Jy=qcos(n,y),則有(jx cos(77, x) = -qcos(7?,x), o; cos(虬 y) = -qcos(仏 y)所以 6=_qQy=_q對于單連體，上述條件就是確定應(yīng)力的全部條件。(3)對

23、于多連體，應(yīng)校核位移單值條件是否滿足。該題為平面應(yīng)力情況，首先，將應(yīng)力分量代入物理方程（2-12）,得形變分量,（ 一1）（“ 一 1）c(d)J = e 么=Eq7x = 將（d）式中形變分量代入幾何方程（2-8）,得du (z/-l)內(nèi)(/-l)別 du 八_ = + = 0ox 令9r前兩式積分得到”=平 gx + /； (y), v=平 qy + f2 EE其中分別任意的待定函數(shù)，可以通過幾何方程的第三式求出，將式代入式2）的第三式，得如y) _如x) dydx等式左邊只是y的函數(shù)，而等式右邊只是x的函數(shù)。因此，只可能兩邊都等于同一個常數(shù)血， 于是有積分后得 z （y） = -coy

24、+ 竝、人（x） = cox+vQ代入式（f）得位移分量(“ -1)u =E心也Eqx-a)y + uQqy + a)x+vQ(g)其中。飛口為表示剛體位移量的常數(shù)，需由約束條件求得從式（g）可見，位移是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，滿足位移單值條件。因而，應(yīng)力分量是正確的解2-18設(shè)有矩形截面的懸臂梁，在自由端受有集中荷載F （圖2-22）,體力可以不計。試根 據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎應(yīng)力b、. = 0,然后證明這些表達(dá)式滿足平衡微分方程和相容方程，再說明 這些表達(dá)式是否就表示正確的解答。彎應(yīng)力crv =豊衛(wèi)y = -詈xy ；Lh該截面上的剪力為Fv(x) = -F,剪應(yīng)力為FQ)S*bl.(h )-

25、yb22lx(/F/12)6F(lf取擠壓應(yīng)力by = 0(2) 將應(yīng)力分量代入平衡微分方程檢驗.，-12F12F_ 七第一式：左=)，+ -=0 =右h h第二式：左=0+0=0=右該應(yīng)力分量滿足平衡徹分方程。(3) 將應(yīng)力分量代入應(yīng)力表示的相容方程左=V2(7v + b、.)= 0 =右滿足相容方程(4) 考察邊界條件在主要邊界y = 力/ 2上，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件(2-15)-1=0y = -2h ,y =上2代入公式(2-15)，得(6)十=0,(譏十在次要邊界上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件，代入應(yīng)力分量主矢主矩CJeody = 0 =洞面力主矢J-h/2訂” 0)x=o)d) =

26、 O =面力主矩J：(H)T： 一等百一門心=F = y向面力主矢滿足應(yīng)力邊界條件在次要邊界上，首先求出固定邊面力約束反力，按正方向假設(shè)，即面力的主矢、主矩，F(xiàn)n=O、Fs=F,M =Fl其次，將應(yīng)力分量代入應(yīng)力主矢、主矩表達(dá)式，判斷是否與面力主矢與主矩等效:z 、 f rh/2 12 尸 f f CLLWJy T”下冏=o=fnr/i72#ch/2 12尸.L?% 曲= -LE = -Fl = M滿足應(yīng)力邊界條件，因此，它們是該問題的正確解答。2-19試證明，如果體力雖然不是常量，但卻是有勢的力，即體力分量可以表示為dvdVA = -Jv = -,其中v是勢函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示

27、成為oxoyoyoxoxoy,試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程?！窘獯稹浚?）將人,人帶入平衡微分方程（2-2）dax oryx+ + A =0 dx dv9rda dr 亠爐人=0 ox=dVdxdydx 1 /dVdvdx勿=0=0(a)將（a）式變換為g(6-u)+ - = o(b)oxoyxy&(、八 ( -v)+ = 為了滿足式（b）,可以取dxdy9r少+H rxy（2）對體力、應(yīng)力分量求偏導(dǎo)數(shù)，得dfx _d2Vdfy _d2Vdxdx2 dydy2(0d2ax 夕d2V d2ax夕d2Vdx2dx2d)rdx2、 dy2dy4dy2必540)d2V0S04 d2Vdx1 dx4 dx2 O

28、y dx2dy2 dy1(2-21)將（c）式代入公式（2-21）得平面應(yīng)力情況下應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程夕 d2V 夕 d2V d4 d2V d4 d2V -+ + + + +，+b(6 + bv) = -(1 + )dx2dy2 dx2 勿4 +dF + dx+ dx2dy2 +df+P整理得:產(chǎn)夕夕+ =_（】_）dx4 + 2 dx2dy2 dy4(d2v 刊)dyr)(d)即平面應(yīng)力問題中的相容方程為V40)= -(l-/)V2V將（0）式代入公式（2-22）或?qū)ⅲ╠）式中的替換為臺的平面應(yīng)變情況下的相容方程:(e)二 +q冬)dx dxdy 勿 1一/八6對即 * = 一上型.評。1

29、一證畢。第三章平面問題的直角坐標(biāo)解答3-1為什么在主要邊界（大邊界）上必須滿足精確的應(yīng)力邊界條件式（2-15）,而 在小邊界上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來 代替？如果在主要邊界上用三個積分的應(yīng)力邊界條件代替式（2-15）,將會發(fā)生什么問題？【解答】彈性力學(xué)問題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問題，而要使邊界條件完全得到滿足, 往往比較困難。這時，圣維南原理可為簡化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將 物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影 響近處的應(yīng)力分布，對遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以忽略不計。如果在占邊界絕大部分的主要

30、邊界上 用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替精確的應(yīng)力邊界條件（公式2-15）,就會影響大部分區(qū)域 的應(yīng)力分布，會使問題的解答精度不足。3-2如果在某一應(yīng)力邊界問題中，除了一個小邊界條件，平衡微分方程和其它的應(yīng) 力邊界條件都已滿足，試證：在最后的這個小邊界上，三個積分的應(yīng)力邊界條件必然是自然 滿足的，固而可以不必校核?！窘獯稹繀^(qū)域的每一微小單元均滿足平衡條件，應(yīng)力邊界條件實質(zhì)上是邊界上微分體的 平衡條件，即外力（面力）與力（應(yīng)力）的平衡條件。研究對象整體的外力是滿足平衡條件 的，其它應(yīng)力邊界條件也都滿足，那么在最后的這個次要邊界上，三個積分的應(yīng)力邊界條件 是自然滿足的，因而可以不必校核。3-3如果某

31、一應(yīng)力邊界問題中有m個主要邊界和n個小邊界，試問在主要邊界和 小邊界上各應(yīng)滿足什么類型的應(yīng)力邊界條件，各有幾個條件？【解答】在m個主要邊界上，每個邊界應(yīng)有2個精確的應(yīng)力邊界條件，公式（2-15）, 共2m個；在n個次要邊界上，如果能滿足精確應(yīng)力邊界條件，則有2n個；如果不能滿足 公式（2-15）的精確應(yīng)力邊界條件，則可以用三個靜力等效的積分邊界條件來代替2個精 確應(yīng)力邊界條件，共3n個。圖3-83-4試考察應(yīng)力函數(shù)= a），在圖3-8所示的矩形 板和坐標(biāo)系中能解決什么問題（體力不計）P【解答】相容條件：不論系數(shù)a取何值，應(yīng)力函數(shù)=。才總能滿足應(yīng)力函 數(shù)表示的相容方程，式（2-25）.求應(yīng)力分量

32、當(dāng)體力不計時，將應(yīng)力函數(shù)代入公式（2-24）,得6 = 6,b,=0,y = 0考察邊界條件上下邊界上應(yīng)力分量均為零，故上下邊界上無面力.左右邊界上；當(dāng)a0時，考察6分布情況，注意到= 0，故y向無面力左端:X=(v)a=o = 6ay (oh) fy =(心)口 = o右端:(bj日二 6ay(0 ) = /?/ 6同理可知，當(dāng)avo時，可以解決偏心壓縮問題。和主矩。【解答】(1)由應(yīng)力函數(shù)=or,得應(yīng)力分量表達(dá)式6 = 0,込=lay, G = ryx = -2ax+ )s=fx(s)考察邊界條件，由公式(2-15) _ 主要邊界，上邊界y =上，面力為fAy=-)=2axZ(y=-|)=

33、皿 主要邊界，下邊界y = *面力為 次要邊界，左邊界上，面力的主矢，主矩為蠱向主矢：耳=一；：9丄=。心=0y向主矢：Fy = -_hf2(Tjx=ody = 0主矩：M=-L；0=0ydy = o 次要邊界，右邊界“習(xí)上，面力的主矢，主矩為r/r/2.蠱向主矢：耳=加“)口心=0y 向主矢：F； = ； ； (rn)x=/ 心=J：； (2al)dy = -2alh主矩：M = ； (erJ 日 ydy = 0彈性體邊界上面力分布及次要邊界面上面力的主矢，主矩如圖所示=bxy2將應(yīng)力函數(shù)代入公式(2-24),得應(yīng)力分量表達(dá)式6 = 2bx , s = 0, ro. = ryx = -2by

34、考察應(yīng)力邊界條件，主要邊界,由公式(2-15)得h_ ( h _ ( h在y = -主要邊界，上邊界上，面力為fxy = - = bhjy = - = 0在y氣,下邊界上，面力為兀y = =-Jyy = =在次要邊界上，分布面力可按(2-15)計算，面里的主矢、主矩可通過三個積分邊界條件 求得：在左邊界x=0,面力分布為 (x = 0)二0,(x = 0) = 2by面力的主矢、主矩為向主矢：1F嚴(yán)-E（bJi=dy = oy向主矢：10 = -J（召）,=。心=一扭（“幾。dy = 0C fi 2主矩；M = -力:O=o ydy = 0在右邊界上，面力分布為fx(x = l) = 2blj

35、y(x = l) = -2by面力的主矢、主矩為x 向主矢：F： = J：；(=0無(y=_彳卜冷,兀卜=_下邊界尸*上，面力為=0乙)次要邊界上，分布面力可按(2-15)計算，面力的主矢.主矩可通過三個積分邊界求 得：左邊界x=O9面力分布為fx = 0) = 0jy(x=0) = 3cy2面力的主矢、主矩為X向主矢:j佇=-；：（6） = 0向主矢：1? = ：（dy T：（一3夕）心=押主矩：M=_LW)3dy = o右邊界x = /,面力分布為fx(x = l) = 6cly,fy(x = l) = -3cy2面力的主矢.主矩為%/*ph 門X 向主矢 F； =（6）日 dy = _c

36、lydy = 0y向主矢：尺=（：）/ = J：（3，）d）撲 主矩：“=匸：（6 ）日燉=匸：6塚心=|冊 彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界上面力的主矢和主矩，如圖所示【解答】（1）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程（2-25）a4odx4 dx2dy2 dy4 ，顯然滿足（2）將代入式（2-24），得應(yīng)力分量表達(dá)式/?12Fxv9F（3）由邊界形狀及應(yīng)力分量反推邊界上的面力:在主要邊界上(上下邊界)上，y = ,應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件式(2-15),應(yīng)因此，在主要邊界土*上，無任何面力，即Z(y=m=，/(y=少=0在丫習(xí)的次要邊界上，面力分別為:工一凹八3尸h3F(4y22h h2因此，各邊界上的

37、面力分布如圖所示:rr kr ha /OHaNB/在X習(xí)的次要邊界上，面力可寫成主矢主矩形式:x=0旬主矢：仏=打/心=0, 向主矢：Fsi=f；J.dy = F, 主矩:M=fxydy = O,因此，可以畫出主要邊界上的面力,比=匚：加=0鼻=匸:関=-尸和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖:(a)(b)因此，該應(yīng)力函數(shù)可解決懸臂梁在自由端受集中力F作用的問題。0亍,勿“ 臚2業(yè)亠込dx2d)2一24妙h代入(2-25),可知應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程。(2)將代入公式(2-24),求應(yīng)力分量表達(dá)式:F 6qx2y 4qy5 iqy=wfxX=nr+nrih 9rr _丁 _6qx If 2“一麗一

38、亍丐一)(3)考察邊界條件，由應(yīng)力分量及邊界形狀反推面力：在主要邊界y =-* (上面)，應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件(2-15) ()*)=-( 丁 Jsx = o (尸一 卜 - (S= q 在主要邊界y = %下面)，也應(yīng)該滿足(2-15)A b = /? / 2) = (sJ,=磯=0, z (y = /? / 2)= (s) w = 0 在次要邊界X = O上，分布面力為.(x = o) = (巧)口 =警一等/v(x = 0)= 一億) = () 應(yīng)用圣維南原理，可寫成三個積分的應(yīng)力邊界條件:在次要邊界x = /,分布面力為3qy6ql(h2應(yīng)用圣維南原理，可寫成三個積分的應(yīng)力邊界條件：

39、Eg：；)rz=匸:/(*/)曲=匸：-_6y臚5/J)6ql(h2 %/y dy=-qi(6g/( 4 3qy十、/F 5A /? 5hydy = -ql2綜上，可畫出主要邊界上的面力分布和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖因此，此應(yīng)力函數(shù)能解決懸臂梁在上邊界受向下均布荷載q的問題。3-8設(shè)有矩形截面的長豎柱，密度為p,在一邊側(cè)面上受均布剪力 q (圖3-10),試求應(yīng)力分量。【解答】釆用半逆法求解。pg圖310由材料力學(xué)解答假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。(1)假定應(yīng)力分量的函數(shù)形式。根據(jù)材料力學(xué)，彎曲應(yīng)力S主要與截面的彎矩有關(guān)，剪應(yīng)力6,主要與截面的剪力有關(guān)，而擠壓應(yīng)力6主要與橫向荷載有關(guān)，本題橫

40、向荷載為零，則6=0(2)推求應(yīng)力函數(shù)的形式將6=0,體力fx=ojy=pgf R入公式(2-24)有對y積分，得=W(x)+/；(x) 其中W都是*的待定函數(shù)。(3)由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)。將(b)式代入相容方程(2-25)，得)dx4 dx4(a)(b)在區(qū)域應(yīng)力函數(shù)必須滿足相容方程，(c)式為y的一次方程，相容方程要求它有無數(shù)多個根(全豎柱的y值都應(yīng)滿足它)，可見其系數(shù)與自由項都必須為零，即WdY(x) = odx4dx兩個方程要求f (x) = Ar3 + Bx2 + Cx,扎(x) = Dxz + Ex2(d)/(x)中的常數(shù)項，Z(x)中的常數(shù)項和一次項已被略去，因為這三項在的表達(dá)

41、式中成為7的一次項及常數(shù)項，不影響應(yīng)力分量。將(d)式代入(b)式，得應(yīng)力函數(shù)=y(Av3 + Bx2 + Cr)+(Df + Ex2)(4)由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量(e) =少獷Or9r(f)一 fyy = 6 Axy + 2 By + 6Dx + 2E-pgy(S)(h)= - = -3Ax2-2Bx-Cdxdy考察邊界條件利用邊界條件確定待定系數(shù)A、B、C、D、Eo主要邊界x = 0上（左）：（bJ、=o=O，m=o = O將（f）, （h）代入（bJg=0,自然滿足（心）、=0 =-C = o主要邊界X = b上，（7）耳=，自然滿足（）“ = ?,將）式代入，得aQz=-3Ab-2Bb-

42、C = q（j）在次要邊界y = o上，應(yīng)用圣維南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件:(k)(m)J：(o；)、=odx = (6Dx+2E)dx = 3Db2 + 2Eb = 0J。( )=()xdx = (6Dx + 2E )xdx = 2Db，+ Eb2 = 0J： () v=odx = J： (一3Ar，- 2 Bx 一 C#x = -Ab5 - Bb -Cb = 0 由式(i), (j), (k), (1), (m)聯(lián)立求得A = B = C = D = E = 0Ir b代入公式(g), (h)得應(yīng)力分量1-3訃 Qgy,1111b/2b/21-1th/ /Vf / / / / /

43、/hbO圖3113-9圖3-11所示的墻，高度為h,寬度為b, hb, 在兩側(cè)面上受到均布剪力q的作用，試應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)=Axy + Bxy求解應(yīng)力分量?！窘獯稹堪窗肽娼夥ㄇ蠼?。將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程(2-25)顯然滿足。由公式(2-24)求應(yīng)力分量表達(dá)式，體力為零，有=6Bxy ,dxdy=4一3府考察邊界條件:在主要邊界x = -b/2,精確滿足公式(2-15)(6)十=0g)i2 =第一式自然滿足，第二式為一在主要邊界汶上，精確滿足式(2-15)(6)+=0,(.)皿=-第一式自然滿足，第二式為3A Bb = ci4在次要邊界上，可用圣維南原理，寫出三個積分的應(yīng)力邊界條件:匚：(bJ/ = O滿足rfe/2 /(b)滿足vv)y=Odx =b J13；(從彳府)dx = 護(hù)八0聯(lián)立(a) (c)得系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得n 12q9仁山對6 = 0, =歹切 =式1 - 1 2戸JTb23-10設(shè)單位厚度的懸臂梁在左端受到集中力和力矩作用，體力可以不計，/?(圖3-12)，試用應(yīng)力函數(shù)=Axy + By2 + Cy3 + Dxyz求解 應(yīng)力分量。【解答】釆用半逆解法求解(1)將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程(2-25),顯然滿足 (2)由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量，代入公式(2-24)crv =2B + 6