小升初數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總

1、陳江五一小學(xué)小升初數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料 第一章 數(shù)和數(shù)的運(yùn)算 一 概念 （一）整數(shù) 1. 整數(shù)的意義：自然數(shù)和 0 都是整數(shù)。 2自然數(shù)：我們?cè)跀?shù)物體的時(shí)候，用來(lái)表示物體個(gè)數(shù)的1, 2, 3叫做自然數(shù)。 一個(gè)物體也沒(méi)有，用 0表示。0也是自然數(shù)。 3計(jì)數(shù)單位：一（個(gè)）、十、百、千、萬(wàn)、十萬(wàn)、百萬(wàn)、千萬(wàn)、億 都是計(jì)數(shù)單位。 每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是 10。這樣的計(jì)數(shù)法叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。 4 數(shù)位：計(jì)數(shù)單位按照一定的順序排列起來(lái)，它們所占的位置叫做數(shù)位。 5 數(shù)的整除： （1） 整除、倍數(shù)、因數(shù)：整數(shù)a除以整數(shù)b（b工0）,除得的商是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō) a 能被 b 整除，或者說(shuō) b 能整

2、除 a 。 如果數(shù)a能被數(shù)b （b工0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)（或a的因數(shù)）。倍數(shù) 和因數(shù)是相互依存的。 例如因?yàn)?35能被7整除，所以 35是7的倍數(shù)， 7是35的因數(shù)。 一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是 1，最大的因數(shù)是它本身。例如： 10的因數(shù) 有 1、 2、 5、 10，其中最小的因數(shù)是 1，最大的因數(shù)是 10。 一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。3的倍數(shù)有：3、6 9、12其 中最小的倍數(shù)是 3 ，沒(méi)有最大的倍數(shù)。 （2）整除的性質(zhì)： 個(gè)位上是 0、 2、 4、 6、 8的數(shù)，都能被 2整除，例如： 202、 480、 304，都能被

3、2整除。 個(gè)位上是 0或5的數(shù)，都能被 5整除，例如： 5、 30、 405都能被 5整除。 一個(gè)數(shù)的各位上的數(shù)的和能被 3 整除，這個(gè)數(shù)就能被 3 整除，例如： 12、 108、 204都能被 3 整除。 一個(gè)數(shù)各位數(shù)上的和能被 9整除，這個(gè)數(shù)就能被 9整除。 能被 3整除的數(shù)不一定能被 9整除，但是能被 9整除的數(shù)一定能被 3整除。 一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被 4（或 25）整除，這個(gè)數(shù)就能被 4（或 25）整除。例如： 16、 404、 1256 都能被 4 整除， 50、 325、 500、 1675都能被 25整除。 一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被 8（或 125）整除，這個(gè)數(shù)就能被 8（或 125

4、）整除。例如： 1168、 4600、 5000、 12344都能被 8整除， 1125、 13375、 5000都能被 125整除。 （3）奇偶性：能被 2 整除的數(shù)叫做偶數(shù)。 不能被 2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。 0 也是偶數(shù)。自然數(shù)按能否被 2 整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。 （4）質(zhì)數(shù)與合數(shù)：一個(gè)數(shù)，如果只有 1 和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)） ， 100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有： 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19、 23、 29、 31、 37、 41、 43、 47、 53、 59、 61、 67、 71、 73、 79、 83、 89、 97。 一個(gè)數(shù)，如果除了 1

5、和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，例如4、6、8、9、12 都是合 數(shù)。 1 不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了 1 外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。如果把自然數(shù)按其因數(shù)的個(gè)數(shù) 的不同分類，可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和 1。 （5）分解質(zhì)因數(shù)：每個(gè)合數(shù)都可以寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因 數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如 15=3X 5, 3和5叫做15的質(zhì)因數(shù)。 把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如把28分解質(zhì)因數(shù)28=22X 7 （6）公因數(shù)與公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個(gè)，叫做這 幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，例如 12 的因數(shù)有 1、2、3

6、、4、6、12；18 的因數(shù)有 1、2、3、6、9、18。其 中， 1、2、3、6是 12和 1 8 的公因數(shù)， 6是它們的最大公因數(shù)。 公因數(shù)只有 1 的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，成互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，有下列幾種情況： 1和任何自然數(shù)互質(zhì)。相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)。兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù) 的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)。 兩個(gè)合數(shù)的公因數(shù)只有 1 時(shí)，這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)， 如果幾個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)， 就說(shuō)這幾個(gè)數(shù) 兩兩互質(zhì)。 如果較小數(shù)是較大數(shù)的因數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。 如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公因數(shù)就是 1。 幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)，

7、叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，如 2 的倍數(shù)有 2、4、6、8、10、12、14、16、18 3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18 其中6、12、18是2、3的公倍數(shù)，6是它們的最小 公倍數(shù)。 如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。 幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，而幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的。 （二）小數(shù) 1 小數(shù)的意義 把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份 得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾可 以用小數(shù)表示。 一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾 一個(gè)小數(shù)由整數(shù)部分、 小數(shù)

8、部分和小數(shù)點(diǎn)部分組成。 數(shù)中的圓點(diǎn)叫做小數(shù)點(diǎn)， 小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫 做整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。 在小數(shù)里，每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。小數(shù)部分的最高分?jǐn)?shù)單位“十分之一”和 整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進(jìn)率也是 10。 2 小數(shù)的分類 純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如： 0.25 、0.368 都是純小數(shù)。 帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。 例如： 3.25 、5.26 都是帶小數(shù)。 有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。 例如： 41.7 、25.3 、0.23 都是 有限小數(shù)。 無(wú)限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是

9、無(wú)限的小數(shù)，叫做無(wú)限小數(shù)。例如：4.33 3.1415926 無(wú)限不循環(huán)小數(shù)： 一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分， 數(shù)字排列無(wú)規(guī)律且位數(shù)無(wú)限， 這樣的小數(shù)叫做無(wú)限不循環(huán) 小數(shù)。例如：n 循環(huán)小數(shù)： 一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分， 有一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)， 這個(gè)數(shù)叫做循環(huán)小 數(shù)。例如：3.5550.033312.109109 一個(gè)循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。例如： 3.99 的循環(huán)節(jié)是“ 9 ” ，0.5454 的循環(huán)節(jié)是“ 54 ” 。 純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開(kāi)始的， 叫做純循環(huán)小數(shù)。 例如： 3.111 0.5656 混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第

10、一位開(kāi)始的， 叫做混循環(huán)小數(shù)。 3.1222 0.03333 寫循環(huán)小數(shù)的時(shí)候，為了簡(jiǎn)便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個(gè)循環(huán)節(jié)，并在這個(gè)循環(huán)節(jié)的首、末 位數(shù)字上各點(diǎn)一個(gè)圓點(diǎn)。 如果循環(huán) 節(jié)只有 一個(gè)數(shù)字， 就只在它的上面點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)。 例如： 3.777 簡(jiǎn)寫作 0.5302302 簡(jiǎn)寫作 。 （三）分?jǐn)?shù) 1 分?jǐn)?shù)的意義 把單位“ 1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。 在分?jǐn)?shù)里，中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)，叫做分母，表示把單位“ 1”平均分成多 少份；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)叫做分子，表示有這樣的多少份。 把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。 2 分?jǐn)?shù)的分

11、類 真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)小于 1。 假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或等于 1。 帶分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)，通常叫做帶分?jǐn)?shù)。 3 約分和通分 把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。 分子分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。 把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來(lái)分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。 （四）百分?jǐn)?shù) 1 表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù) ,也叫做百分率 或百分比。百分?jǐn)?shù)通常用 %來(lái)表示。百分號(hào)是表示百分?jǐn)?shù)的符號(hào)。 二 方法 （一）數(shù)的讀法和寫法 1. 整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地

12、讀。讀億級(jí)、萬(wàn)級(jí)時(shí)，先按照個(gè)級(jí)的讀法去讀，再 在后面加一個(gè)“億”或“萬(wàn)”字。每一級(jí)末尾的 0都不讀出來(lái)， 其它數(shù)位連續(xù)有幾個(gè) 0都只讀一個(gè)零 2. 整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地寫，哪一個(gè)數(shù)位上一個(gè)單位也沒(méi)有，就在那個(gè)數(shù)位 上寫 0。 3. 小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀，小數(shù)點(diǎn)讀作“點(diǎn)” ，小數(shù)部分從左 向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。 4. 小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來(lái)寫，小數(shù)點(diǎn)寫在個(gè)位右下角，小數(shù) 部分順次寫出每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字。 5. 分?jǐn)?shù)的讀法：讀分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分子和分母按照整數(shù)的讀法來(lái) 讀。 6. 分?jǐn)?shù)的寫法

13、：先寫分?jǐn)?shù)線，再寫分母，最后寫分子，按照整數(shù)的寫法來(lái)寫。 7. 百分?jǐn)?shù)的讀法：讀百分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀百分之，再讀百分號(hào)前面的數(shù)，讀數(shù)時(shí)按照整數(shù)的讀法來(lái) 讀。 8. 百分?jǐn)?shù)的寫法：百分?jǐn)?shù)通常不寫成分?jǐn)?shù)形式，而在原來(lái)的分子后面加上百分號(hào)“%”來(lái)表示。 （二）數(shù)的改寫 一個(gè)較大的多位數(shù)，為了讀寫方便，常常把它改寫成用“萬(wàn)”或“億”作單位的數(shù)。有時(shí)還可以 根據(jù)需要，省略這個(gè)數(shù)某一位后面的數(shù)，寫成近似數(shù)。 1. 準(zhǔn)確數(shù)：在實(shí)際生活中，為了計(jì)數(shù)的簡(jiǎn)便，可以把一個(gè)較大的數(shù)改寫成以萬(wàn)或億為單位的數(shù)。 改寫后的數(shù)是原數(shù)的準(zhǔn)確數(shù)。 例如把 1254300000 改寫成以萬(wàn)做單位的數(shù)是 125430 萬(wàn)；改寫成 以 億做

14、單位 的數(shù) 12.543 億。 2. 近似數(shù)：根據(jù)實(shí)際需要，我們還可以把一個(gè)較大的數(shù)，省略某一位后面的尾數(shù)，用一個(gè)近似 數(shù)來(lái)表示。 例如： 1302490015 省略億后面的尾數(shù)是 13 億。 3. 四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是 4 或者比 4 小，就把尾數(shù)去掉；如果尾數(shù)的最 高位上的數(shù)是 5或者比 5大，就把尾數(shù)舍去，并向它的前一位進(jìn) 1。例如：省略 345900 萬(wàn)后面的尾 數(shù)約是 35 萬(wàn)。省略 4725097420 億后面的尾數(shù)約是 47 億。 4. 大小比較 （1）比較整數(shù)大?。罕容^整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個(gè)數(shù)就大，如果位數(shù)相同，就看最高位，最 高位上的數(shù)大，那個(gè)數(shù)就大；最

15、高位上的數(shù)相同，就看下一位，哪一位上的數(shù)大那個(gè)數(shù)就大。 （2）比較小數(shù)的大?。合瓤此鼈兊恼麛?shù)部分， ，整數(shù)部分大的那個(gè)數(shù)就大；整數(shù)部分相同的，十 分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大；十分位上的數(shù)也相同的，百分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大 （3）比較分?jǐn)?shù)的大小 :分母相同的分?jǐn)?shù)， 分子大的分?jǐn)?shù)比較大； 分子相同的數(shù)， 分母小的分?jǐn)?shù)大。 分?jǐn)?shù)的分母和分子都不相同的，先通分，再比較兩個(gè)數(shù)的大小。 （三）數(shù)的互化 1. 小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：原來(lái)有幾位小數(shù)，就在 1 的后面寫幾個(gè)零作分母，把原來(lái)的小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn) 作分子，能約分的要約分。 2. 分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數(shù)，有的不能除盡，不能化成有限

16、小數(shù)的，一般保留三位小數(shù)。 3. 一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中除了 2 和 5 以外，不含有其他的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限 小數(shù)；如果分母中含有 2 和 5 以外的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。 4. 小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，同時(shí)在后面添上百分號(hào)。 5. 百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，只要把百分號(hào)去掉，同時(shí)把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位。 6. 分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡時(shí)，通常保留三位小數(shù)），再把小數(shù)化成百 分?jǐn)?shù)。 7. 百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫成分?jǐn)?shù)，能約分的要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。 （四）數(shù)的整除 1. 把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，通常用短除法。先用能整除這個(gè)

17、合數(shù)的質(zhì)數(shù)去除，一直除到商是質(zhì) 數(shù)為止，再把除數(shù)和商寫成連乘的形式。 2. 求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法是：先用這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商只有 公因數(shù) 1 為止，然后把所有的除數(shù)連乘求積，這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的的最大公因數(shù) 。 3. 求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：先用這幾個(gè)數(shù)（或其中的部分?jǐn)?shù)）的公因數(shù)去除，一直除 到互質(zhì)（或兩兩互質(zhì)）為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘求積，這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 4. 成為互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)： 1 和任何自然數(shù)互質(zhì) ； 相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)； 當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù) 的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)； 兩個(gè)合數(shù)的公因數(shù)只有 1 時(shí)，這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)。 （

18、五）約分和通分 約分的方法： 用分子和分母的公因數(shù) （1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為止。 通分的方法： 先求出原來(lái)的幾個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)， 然后把各分?jǐn)?shù)化成用這個(gè)最小公倍數(shù)作 分母的分?jǐn)?shù)。 三 性質(zhì)和規(guī)律 （一）商不變的規(guī)律 商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或者同時(shí)縮小相同的倍，商不變。 （二）小數(shù)的性質(zhì) 小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。 （三）小數(shù)點(diǎn)位置的移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化 1. 小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位， 原來(lái)的數(shù)就擴(kuò)大 10倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位， 原來(lái)的數(shù)就擴(kuò)大 100 倍； 小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)三位，原來(lái)的數(shù)就擴(kuò)大1000倍 2. 小

19、數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位， 原來(lái)的數(shù)就縮小 10倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位， 原來(lái)的數(shù)就縮小 100倍； 小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)三位，原來(lái)的數(shù)就縮小1000倍 3. 小數(shù)點(diǎn)向左移或者向右移位數(shù)不夠時(shí)，要用“ 0補(bǔ)足位。 （四）分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì) 分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（零除外） ，分?jǐn)?shù)的大小不變。 五）分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系 1. 被除數(shù)十除數(shù)=被除數(shù)/除數(shù) 2. 因?yàn)榱悴荒茏鞒龜?shù)，所以分?jǐn)?shù)的分母不能為零。 3. 被除數(shù) 相當(dāng)于分子，除數(shù)相當(dāng)于分母。 四 運(yùn)算的意義 （一）整數(shù)四則運(yùn)算 1 整數(shù)加法： 把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算叫做加法。 在加法里，相加的數(shù)叫做加數(shù)，加得的數(shù)叫做和。加數(shù)是部

20、分?jǐn)?shù)，和是總數(shù)。 加數(shù)+加數(shù)=和 一個(gè)加數(shù)=和另一個(gè)加數(shù) 2 整數(shù)減法： 已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算叫做減法。 在減法里，已知的和叫做被減數(shù)，已知的加數(shù)叫做減數(shù)，未知的加數(shù)叫做差。被減數(shù)是總數(shù)，減 數(shù)和差分別是部分?jǐn)?shù)。 加法和減法互為逆運(yùn)算。 3 整數(shù)乘法： 求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算叫做乘法。 在乘法里，相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)都叫做因數(shù)。相同加數(shù)的和叫做積。 在乘法里， 0 和任何數(shù)相乘都得 0. 1 和任何數(shù)相乘都的任何數(shù)。 一個(gè)因數(shù)X 個(gè)因數(shù)=積一個(gè)因數(shù)=積十另一個(gè)因數(shù) 4 整數(shù)除法： 已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算叫做除法。 在除法里

21、，已知的積叫做被除數(shù)，已知的一個(gè)因數(shù)叫做除數(shù)，所求的因數(shù)叫做商。 乘法和除法互為逆運(yùn)算。 在除法里， 0不能做除數(shù)。因?yàn)?0 和任何數(shù)相乘都得 0，所以任何一個(gè)數(shù)除以 0，均得不到一個(gè) 確定的商。 被除數(shù)十除數(shù)=商 除數(shù)=被除數(shù)十商 被除數(shù)=商乂除數(shù) （二）小數(shù)四則運(yùn)算 1. 小數(shù)加法： 小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。 2. 小數(shù)減法： 小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。 已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)， 求另一個(gè)加數(shù)的 運(yùn)算. 3. 小數(shù)乘法： 小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相同， 就是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算； 一個(gè)數(shù)乘純小數(shù) 的意義是求這個(gè)數(shù)的

22、十分之幾、百分之幾、千分之幾是多少。 4. 小數(shù)除法： 小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同， 就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)， 求另一個(gè)因數(shù) 的運(yùn)算。 5. 乘方 : 求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方。例如3 X 3 =32 (三) 分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算 1. 分?jǐn)?shù)加法：分?jǐn)?shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。 是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。 2. 分?jǐn)?shù)減法：分?jǐn)?shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)， 求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算。 3. 分?jǐn)?shù)乘法：分?jǐn)?shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。 4. 乘積是 1的兩個(gè)數(shù)叫做互為倒數(shù)。 5. 分?jǐn)?shù)除法：分?jǐn)?shù)除法的

23、意義與整數(shù)除法的意義相同。就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)， 求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。 (四) 運(yùn)算定律 1. 加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變，即 a+b=b+a 。 2. 加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)；或者先把后兩個(gè)數(shù)相加， 再和第一個(gè)數(shù)相加它們的和不變，即( a+b)+c=a+(b+c) 。 3. 乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置它們的積不變，即aX b=bX a。 4. 乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，再乘以第三個(gè)數(shù)；或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘， 再和第一個(gè)數(shù)相乘，它們的積不變，即 (aX b)X c=aX (bX c) 。 5.

24、 乘法分配律：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以把兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘再把兩個(gè)積相加， 即 (a+b)X c=aX c+bX c 。 6. 減法的性質(zhì)：從一個(gè)數(shù)里連續(xù)減去幾個(gè)數(shù)，可以從這個(gè)數(shù)里減去所有減數(shù)的和，差不變，即 a-b-c=a-(b+c) 。 (五) 運(yùn)算法則 1. 整數(shù)加法計(jì)算法則：相同數(shù)位對(duì)齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前一位進(jìn)一。 2. 整數(shù)減法計(jì)算法則：相同數(shù)位對(duì)齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)不夠減，就從它的前一位退 一作十，和本位上的數(shù)合并在一起，再減。 3. 整數(shù)乘法計(jì)算法則：先用一個(gè)因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個(gè)因數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)，用因 數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得

25、的數(shù)的末尾就對(duì)齊哪一位，然后把各次乘得的數(shù)加起來(lái)。 4. 整數(shù)除法計(jì)算法則：先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位； 如果不 夠除，就多看一位， 除到被除數(shù)的哪一位， 商就寫在哪一位的上面。 如果哪一位上不夠商 1，要補(bǔ)“0” 占位。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù)。 5. 小數(shù)乘法法則：先按照整數(shù)乘法的計(jì)算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右 邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)；如果位數(shù)不夠，就用“0”補(bǔ)足。 6. 除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計(jì)算法則：先按照整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小 數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添“ 0”，再繼續(xù)除。 7. 除數(shù)是

26、小數(shù)的除法計(jì)算法則：先移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移 動(dòng)幾位（位數(shù)不夠的補(bǔ)“ 0”），然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進(jìn)行計(jì)算。 8. 同分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法 :同分母分?jǐn)?shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。 9. 異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法 :先通分，然后按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的的法則進(jìn)行計(jì)算。 10. 帶分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法 :整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減，再把所得的數(shù)合并起來(lái)。 11. 分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則 :分?jǐn)?shù)乘整數(shù)， 用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子， 分母不變； 分?jǐn)?shù)乘 分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。 12. 分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則 :甲數(shù)除以乙數(shù)（ 0

27、 除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。 （六）運(yùn)算順序 1. 小數(shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同。 2. 分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同。 3. 沒(méi)有括號(hào)的混合運(yùn)算 : 同級(jí)運(yùn)算從左往右依次運(yùn)算；兩級(jí)運(yùn)算 先算乘、除法，后算加減法。 4. 有括號(hào)的混合運(yùn)算 : 先算小括號(hào)里面的，再算中括號(hào)里面的，最后算括號(hào)外面的。 5. 第一級(jí)運(yùn)算：加法和減法叫做第一級(jí)運(yùn)算。 6. 第二級(jí)運(yùn)算：乘法和除法叫做第二級(jí)運(yùn)算。 五 應(yīng)用 （一）整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用 1 簡(jiǎn)單應(yīng)用題 （1）簡(jiǎn)單應(yīng)用題：只含有一種基本數(shù)量關(guān)系，或用一步運(yùn)算解答的應(yīng)用題，通常叫做簡(jiǎn)單應(yīng)用 題。 （2）解題步驟： a 審題理解

28、題意：了解應(yīng)用題的內(nèi)容，知道應(yīng)用題的條件和問(wèn)題。讀題時(shí)，不丟字不添字邊讀邊 思考，弄明白題中每句話的意思。也可以復(fù)述條件和問(wèn)題，幫助理解題意。 b選擇算法和列式計(jì)算：這是解答應(yīng)用題的中心工作。從題目中告訴什么，要求什么著手，逐步 根據(jù)所給的條件和問(wèn)題，聯(lián)系四則運(yùn)算的含義，分析數(shù)量關(guān)系，確定算法，進(jìn)行解答并標(biāo)明正確的單 位名稱。 C 檢驗(yàn)：就是根據(jù)應(yīng)用題的條件和問(wèn)題進(jìn)行檢查看所列算式和計(jì)算過(guò)程是否正確， 是否符合題意。 如果發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，馬上改正。 2 復(fù)合應(yīng)用題 （1）有兩個(gè)或兩個(gè)以上的基本數(shù)量關(guān)系組成的，用兩步或兩步以上運(yùn)算解答的應(yīng)用題，通常叫 做復(fù)合應(yīng)用題。 （2）含有三個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的

29、應(yīng)用題。 求比兩個(gè)數(shù)的和多（少）幾個(gè)數(shù)的應(yīng)用題。 8 / 24 比較兩數(shù)差與倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題。 （3）含有兩個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題。 已知兩數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）與其中一個(gè)數(shù)，求兩個(gè)數(shù)的和（或差） 。 已知兩數(shù)之和與其中一個(gè)數(shù)，求兩個(gè)數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系） 。 （4）解答連乘連除應(yīng)用題。 （5）解答三步計(jì)算的應(yīng)用題。 （6）解答小數(shù)計(jì)算的應(yīng)用題：小數(shù)計(jì)算的加法、減法、乘法和除法的應(yīng)用題，他們的數(shù)量關(guān)系、 結(jié)構(gòu)、和解題方式都與正式應(yīng)用題基本相同，只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間含有小數(shù)。 d 答案：根據(jù)計(jì)算的結(jié)果，先口答，逐步過(guò)渡到筆答。 （ 3 ） 解答加法應(yīng)用題： a求總數(shù)的應(yīng)用題：已知甲

30、數(shù)是多少，乙數(shù)是多少，求甲乙兩數(shù)的和是多少。 b 求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少，求乙數(shù)是多少。 （4 ） 解答減法應(yīng)用題： a求剩余的應(yīng)用題：從已知數(shù)中去掉一部分，求剩下的部分。 -b求兩個(gè)數(shù)相差的多少的應(yīng)用題： 已知甲乙兩數(shù)各是多少，求甲數(shù)比乙數(shù)多多少，或乙數(shù)比甲數(shù) 少多少。 c求比一個(gè)數(shù)少幾的數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，乙數(shù)比甲數(shù)少多少，求乙數(shù)是多少。 （5 ） 解答乘法應(yīng)用題： a求相同加數(shù)和的應(yīng)用題：已知相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)，求總數(shù)。 b 求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)是多少，另一個(gè)數(shù)是它的幾倍，求另一個(gè)數(shù)是多 少。 （ 6） 解答除法應(yīng)用

31、題： a把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，求每一份是多少的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)和把這個(gè)數(shù)平均分成幾份的， 求每一份是多少。 b 求一個(gè)數(shù)里包含幾個(gè)另一個(gè)數(shù)的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)和每份是多少，求可以分成幾份。 C 求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題：已知甲數(shù)乙數(shù)各是多少，求較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍。 d 已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù)的應(yīng)用題。 （7）常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系： 總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量；路程=速度X時(shí)間；工作總量=工作時(shí)間X工效；總產(chǎn)量=單產(chǎn)量X數(shù)量 3 典型應(yīng)用題 具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)用題，通常叫做典型應(yīng)用題。 （1）平均數(shù)問(wèn)題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。 解題關(guān)鍵：在于確定總數(shù)量和與之相

32、對(duì)應(yīng)的總份數(shù)。 算術(shù)平均數(shù)：已知幾個(gè)不相等的同類量和與之相對(duì)應(yīng)的份數(shù)，求平均每份是多少。數(shù)量關(guān)系式： 數(shù)量之和*數(shù)量的個(gè)數(shù)=算術(shù)平均數(shù)。 加權(quán)平均數(shù)：已知兩個(gè)以上若干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多少。 數(shù)量關(guān)系式 （部分平均數(shù)X權(quán)數(shù)）的總和十（權(quán)數(shù)的和） =加權(quán)平均數(shù)。 差額平均數(shù)： 是把各個(gè)大于或小于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分， 求的是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)與各數(shù)相差之 和的平均數(shù)。 數(shù)量關(guān)系式：（大數(shù)-小數(shù)）十2=小數(shù)應(yīng)得數(shù) 最大數(shù)與各數(shù)之差的和十總份數(shù)=最大數(shù)應(yīng)給數(shù) 最 大數(shù)與個(gè)數(shù)之差的和*總份數(shù)=最小數(shù)應(yīng)得數(shù)。 例：一輛汽車以每小時(shí) 100 千米 的速度從甲地開(kāi)往乙地， 又以每小時(shí) 60 千米的速度從乙

33、地開(kāi) 往甲地。求這輛車的平均速度。 分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設(shè)為“ 1 ”，則汽車 行駛的總路程為“ 2 ”，從甲地到乙地的速度為 100，所用的時(shí)間為1*100，汽車從乙地到甲地 速度為60千米，所用的時(shí)間是1*60，汽車共行的時(shí)間為1* 100 +1*60,汽車的平均速度為2 * （1*100 +1*60）=75 （千米） （2）歸一問(wèn)題：已知相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的 規(guī)律是相同的，這種問(wèn)題稱之為歸一問(wèn)題。 根據(jù)求“單一量”的步驟的多少，歸一問(wèn)題可以分為一次歸一問(wèn)題，兩次歸一問(wèn)題。 根據(jù)球癡單一量之后，解題采

34、用乘法還是除法，歸一問(wèn)題可以分為正歸一問(wèn)題，反歸一問(wèn)題。 一次歸一問(wèn)題，用一步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問(wèn)題。又稱“單歸一。 ” 兩次歸一問(wèn)題，用兩步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問(wèn)題。又稱“雙歸一。 ” 正歸一問(wèn)題：用等分除法求出“單一量”之后，再用乘法計(jì)算結(jié)果的歸一問(wèn)題。 反歸一問(wèn)題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計(jì)算結(jié)果的歸一問(wèn)題。 解題關(guān)鍵：從已知的一組對(duì)應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量（單一量） ，然后以它為標(biāo)準(zhǔn)，根 據(jù)題目的要求算出結(jié)果。 數(shù)量關(guān)系式：?jiǎn)我涣縳份數(shù)=總數(shù)量（正歸一） 總數(shù)量*單一量 =份數(shù)（反歸一） 例一個(gè)織布工人，在七月份織布 4774 米 ， 照這樣計(jì)算，

35、織布 6930 米 ，需要多少天？ 分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。 693 0 *（ 477 4 * 31 ）=45 （天） （3）歸總問(wèn)題：是已知單位數(shù)量和計(jì)量單位數(shù)量的個(gè)數(shù)，以及不同的單位數(shù)量（或單位數(shù)量的 個(gè)數(shù)），通過(guò)求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個(gè)數(shù)（或單位數(shù)量） 。 特點(diǎn)：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過(guò)變化的規(guī)律相反，和反比 例算法彼此相通。 數(shù)量關(guān)系式：?jiǎn)挝粩?shù)量x單位個(gè)數(shù)*另一個(gè)單位數(shù)量 =另一個(gè)單位數(shù)量 單位數(shù)量x單位個(gè)數(shù)*另 一個(gè)單位數(shù)量 = 另一個(gè)單位數(shù)量。 例 修一條水渠，原計(jì)劃每天修 800 米 ，6 天修完。實(shí)際 4 天修完，每天修了

36、多少米？ 分析：因?yàn)橐蟪雒刻煨薜拈L(zhǎng)度，就必須先求出水渠的長(zhǎng)度。所以也把這類應(yīng)用題叫做“歸總問(wèn) 題”。不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問(wèn)題是先求出總量，再求單一量。 80 0 x 6 * 4=1200 （米） （4）和差問(wèn)題：已知大小兩個(gè)數(shù)的和，以及他們的差，求這兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題叫做和差 問(wèn)題。 解題關(guān)鍵：是把大小兩個(gè)數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個(gè)大數(shù)的和（或兩個(gè)小數(shù)的和） ，然后再求另一個(gè)數(shù)。 解題規(guī)律：（和差）* 2 = 大數(shù) 大數(shù)差 =小數(shù) （和差）* 2=小數(shù) 和小數(shù) = 大數(shù) 例 某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要臨時(shí)從乙班調(diào) 46 人到甲班工作，這時(shí)乙 班比甲班

37、人數(shù)少 12 人，求原來(lái)甲班和乙班各有多少人？ 分析：從乙班調(diào) 46 人到甲班，對(duì)于總數(shù)沒(méi)有變化，現(xiàn)在把乙數(shù)轉(zhuǎn)化成 2 個(gè)乙班，即 9 4 12 ， 由此得到現(xiàn)在的乙班是（9 4 - 12 ）- 2=41 （人），乙班在調(diào)出46人之前應(yīng)該為41+46=87 （人）, 甲班為 9 4 87=7（人） （5）和倍問(wèn)題：已知兩個(gè)數(shù)的和及它們之間的倍數(shù) 關(guān)系，求兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題，叫做和 倍問(wèn)題。 解題關(guān)鍵：找準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)（即 1 倍數(shù)）一般說(shuō)來(lái)，題中說(shuō)是“誰(shuí)”的幾倍，把誰(shuí)就確定為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。 求出倍數(shù)和之后， 再求出標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量是多少。 根據(jù)另一個(gè)數(shù)（也可能是幾個(gè)數(shù)） 與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系， 再去求另一個(gè)數(shù)

38、（或幾個(gè)數(shù)）的數(shù)量。 解題規(guī)律：和*倍數(shù)和=標(biāo)準(zhǔn)數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)X倍數(shù)=另一個(gè)數(shù) 例:汽車運(yùn)輸場(chǎng)有大小貨車 115 輛，大貨車比小貨車的 5 倍多 7 輛，運(yùn)輸場(chǎng)有大貨車和小汽車 各有多少輛？ 分析：大貨車比小貨車的 5 倍還多 7 輛，這 7 輛也在總數(shù) 115 輛內(nèi)，為了使總數(shù)與（ 5+1 ） 倍對(duì)應(yīng)，總車輛數(shù)應(yīng)（ 115-7 ）輛 。 列式為（115-7 ）-（ 5+1 ）=18（輛），18 X 5+7=97（輛） （6）差倍問(wèn)題：已知兩個(gè)數(shù)的差，及兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。 解題規(guī)律：兩個(gè)數(shù)的差*（倍數(shù)1 ）=標(biāo)準(zhǔn)數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)X倍數(shù)=另一個(gè)數(shù)。 例 甲乙兩根繩子，甲繩長(zhǎng) 63

39、 米 ，乙繩長(zhǎng) 29 米 ，兩根繩剪去同樣的長(zhǎng)度，結(jié)果甲所剩的長(zhǎng) 度是乙繩 長(zhǎng)的 3 倍，甲乙兩繩所剩長(zhǎng)度各多少米？ 各減去多少米？ 分析：兩根繩子剪去相同的一段，長(zhǎng)度差沒(méi)變，甲繩所剩的長(zhǎng)度是乙繩的3 倍，實(shí)比乙繩多 （3-1 ）倍，以乙繩的長(zhǎng)度為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。列式（63-29 ）-（ 3-1 ）=17 （米）乙繩剩下的長(zhǎng)度， 17 X 3=51 （米）甲繩剩下的長(zhǎng)度， 29-17=12 （米）剪去的長(zhǎng)度。 （ 7）行程問(wèn)題：關(guān)于走路、行車等問(wèn)題，一般都是計(jì)算路程、時(shí)間、速度，叫做行程問(wèn)題。解 答這類問(wèn)題首先要搞清楚速度、 時(shí)間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念， 了解他們之間的關(guān)系， 再根據(jù)這類

40、問(wèn)題的規(guī)律解答。 解題關(guān)鍵及規(guī)律： 同時(shí)同地相背而行：路程=速度和X時(shí)間。同時(shí)相向而行：相遇時(shí)間=速度和X時(shí)間 同時(shí)同向而行（速度慢的在前，快的在后） ：追及時(shí)間 =路程速度差。 同時(shí)同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差X時(shí)間。 例 甲在乙的后面 28 千米 ，兩人同時(shí)同向而行， 甲每小時(shí)行 16 千米 ，乙每小時(shí)行 9 千米 ， 甲幾小時(shí)追上乙？ 分析：甲每小時(shí)比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小時(shí)可以追近乙（ 16-9 ）千米，這是速 度差。 已知甲在乙的后面 28 千米 （追擊路程）， 28 千米 里包含著幾個(gè)（ 16-9 ）千米，也就是追 擊所需要的時(shí)間。列式 2

41、 8 -（ 16-9 ）=4 （小時(shí)） （8）流水問(wèn)題：一般是研究船在“流水”中航行的問(wèn)題。它是行程問(wèn)題中比較特殊的一種類型， 它也是一種和差問(wèn)題。它的特點(diǎn)主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。 船速：船在靜水中航行的速度。水速：水流動(dòng)的速度。 順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣?。逆水速度：船逆流航行的速度?順?biāo)?=船速水速；逆速 =船速水速 解題關(guān)鍵： 因?yàn)轫樍魉俣仁谴倥c水速的和， 逆流速度是船速與水速的差， 所以流水問(wèn)題當(dāng)作和 差問(wèn)題解答。 解題時(shí)要以水流為線索。 解題規(guī)律：船行速度=（順?biāo)俣?逆流速度）* 2;流水速度=（順流速度逆流速度）* 2 路程=順流速度X 順流航行所需時(shí)間；路程

42、=逆流速度X逆流航行所需時(shí)間 例 一只輪船從甲地開(kāi)往乙地順?biāo)?，每小時(shí)行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到甲 地。逆水比順?biāo)嘈?2 小時(shí)，已知水速每小時(shí) 4 千米。求甲乙兩地相距多少千米？ 分析：此題必須先知道順?biāo)乃俣群晚標(biāo)枰臅r(shí)間， 或者逆水速度和逆水的時(shí)間。 已知順?biāo)?速度和水流 速度，因此不難算出逆水的速度，但順?biāo)玫臅r(shí)間，逆水所用的時(shí)間不知道，只知道 順?biāo)饶嫠儆?2 小時(shí)，抓住這一點(diǎn)，就可以就能算出順?biāo)畯募椎氐揭业氐乃玫臅r(shí)間，這樣就能 算出甲乙兩地的路程。列式為284 X 2=20 （千米）2 0 X 2 =40 （千米）40十（4 X 2 ）=5 （小時(shí)）

43、 28 X 5=140 （千米）。 （9）還原問(wèn)題：已知某未知數(shù)，經(jīng)過(guò)一定的四則運(yùn)算后所得的結(jié)果，求這個(gè)未知數(shù)的應(yīng)用題， 我們叫做還原問(wèn)題。 解題關(guān)鍵：要弄清每一步變化與未知數(shù)的關(guān)系。 解題規(guī)律：從最后結(jié)果 出發(fā)，采用與原題中相反的運(yùn)算（逆運(yùn)算）方法，逐步推導(dǎo)出原數(shù)。 根據(jù)原題的運(yùn)算順序列出數(shù)量關(guān)系，然后采用逆運(yùn)算的方法計(jì)算推導(dǎo)出原數(shù)。 解答還原問(wèn)題時(shí)注意觀察運(yùn)算的順序。若需要先算加減法，后算乘除法時(shí)別忘記寫括號(hào)。 例 某小學(xué)三年級(jí)四個(gè)班共有學(xué)生 168 人，如果四班調(diào) 3 人到三班， 三班調(diào) 6 人到二班， 二班 調(diào) 6 人到一班，一班調(diào) 2 人到四班，則四個(gè)班的人數(shù)相等，四個(gè)班原有學(xué)生多少

44、人？ 分析：當(dāng)四個(gè)班人數(shù)相等時(shí)，應(yīng)為168十4 ,以四班為例，它調(diào)給三班3人，又從一班調(diào)入2 人，所以四班原有的人數(shù)減去 3再加上2等于平均數(shù)。四班原有人數(shù)列式為168十4-2+3=43 （人） 一班原有人數(shù)列式為 168 - 4-6+2=38 （人）；二班原有人數(shù)列式為 168 - 4-6+6=42 （人）三 班原有人數(shù)列式為 168 - 4-3+6=45 （人）。 （10）植樹(shù)問(wèn)題：這類應(yīng)用題是以“植樹(shù)”為內(nèi)容。凡是研究總路程、株距、段數(shù)、棵樹(shù)四種數(shù) 量關(guān)系的應(yīng)用題，叫做植樹(shù)問(wèn)題。 解題關(guān)鍵： 解答植樹(shù)問(wèn)題首先要判斷地形， 分清是否封閉圖形， 從而確定是沿線段植樹(shù)還是沿周 長(zhǎng)植樹(shù)，然后按基

45、本公式進(jìn)行計(jì)算。 解題規(guī)律：沿線段植樹(shù)： 棵樹(shù)=段數(shù)+1棵樹(shù)=總路程*株距+1 ; 株距=總路程*（棵樹(shù)-1）總路程=株距X（棵樹(shù)-1） 沿周長(zhǎng)植樹(shù)： 棵樹(shù)=總路程十株距株距=總路程十棵樹(shù)總路程=株距X棵樹(shù) 例 沿公路一旁埋電線桿 301 根，每相鄰的兩根的間距是 50 米 。后來(lái)全部改裝，只埋了 201 根。求改裝后每相鄰兩根的間距。 分析：本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數(shù)減掉一。列式為50 X （ 301-1 ） - （ 201-1 ） =75 （米） （11）盈虧問(wèn)題：是在等分除法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。他的特點(diǎn)是把一定數(shù)量的物品，平均分 配給一定數(shù)量的人，在兩次分配中，一次有余，一次

46、不足（或兩次都有余，或兩次都不足） ，已知所 余和不足的數(shù)量，求物品適量和參加分配人數(shù)的問(wèn)題，叫盈虧問(wèn)題。 解題關(guān)鍵：盈虧問(wèn)題的解法要點(diǎn)是先求兩次分配中分配者沒(méi)份所得物品數(shù)量的差， 再求兩次分配 中各次共分物品的差（也稱總差額） ，用前一個(gè)差去除后一個(gè)差，就得到分配者的數(shù)，進(jìn)而再求得物 品數(shù)。 解題規(guī)律：總差額十每人差額 二人數(shù) 總差額的求法可以分為以下四種情況： 第一次多余，第二次不足，總差額 =多余 + 不足 第一次正好，第二次多余或不足 ，總差額 =多余或不足 第一次多余，第二次也多余，總差額 =大多余 -小多余 第一次不足，第二次也不足， 總差額= 大不足-小不足 例 參加美術(shù)小組的同

47、學(xué)，每個(gè)人分的相同的支數(shù)的色筆，如果小組 10 人，則多 25 支，如果 小組有 12 人，色筆多余 5 支。求每人 分得幾支？共有多少支色鉛筆？ 分析：每個(gè)同學(xué)分到的色筆相等。這個(gè)活動(dòng)小組有 12 人，比 10 人多 2 人，而色筆多出了 （25-5 ） =20支，2個(gè)人多出20支，一個(gè)人分得10支。列式為（25-5 ） - （ 12-10 ） =10 （支）10 X 12+5=125 （支）。 （ 12）年齡問(wèn)題：將差為一定值的兩個(gè)數(shù)作為題中的一個(gè)條件，這種應(yīng)用題被稱為“年齡問(wèn)題” 。 解題關(guān)鍵：年齡問(wèn)題與和差、和倍、 差倍問(wèn)題類似，主要特點(diǎn)是隨著時(shí)間的變化，年歲不斷增 長(zhǎng)，但大小兩個(gè)不同

48、年齡的差是不會(huì)改變的，因此，年齡問(wèn)題是一種“差不變”的問(wèn)題，解題時(shí)，要 善于利用差不變的特點(diǎn)。 例 父親 48 歲，兒子 21 歲。問(wèn)幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍？ 分析：父子的年齡差為 48-21=27 （歲）。由于幾年前父親年齡是兒子的 4 倍，可知父子年齡的 倍數(shù)差是（ 4-1 ）倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡， 從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍。列式為：21- （ 48-21 ）-（ 4-1 ） =12 （年） （ 13）雞兔問(wèn)題：已知“雞兔”的總頭數(shù)和總腿數(shù)。求“雞”和“兔”各多少只的一類應(yīng)用題。 通常稱為“雞兔問(wèn)題”又稱雞兔同籠問(wèn)題 解題關(guān)鍵：解答雞兔問(wèn)題一般采用

49、假設(shè)法，假設(shè)全是一種動(dòng)物（如全是“雞”或全是“兔” ，然 后根據(jù)出現(xiàn)的腿數(shù)差，可推算出某一種的頭數(shù)。 解題規(guī)律：（總腿數(shù)-雞腿數(shù)X總頭數(shù)）寧一只雞兔腿數(shù)的差 =兔子只數(shù) 兔子只數(shù)=（總腿數(shù)-2X總頭數(shù)）十2 如果假設(shè)全是兔子，可以有下面的式子： 雞的只數(shù)=（4 X總頭數(shù)-總腿數(shù)）十2 兔的頭數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù) 例 雞兔同籠共 50 個(gè)頭， 170 條腿。問(wèn)雞兔各有多少只？ 兔子只數(shù) （170-2 X 50 ）- 2 =35 （只）雞的只數(shù) 50-35=15 （只） （二）分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用 1 分?jǐn)?shù)加減法應(yīng)用題： 分?jǐn)?shù)加減法的應(yīng)用題與整數(shù)加減法的應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)、 數(shù)量關(guān)系和解題方法基本相同，

50、所不同的只 是在已知數(shù)或未知數(shù)中含有分?jǐn)?shù)。 2 分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題： 是指已知一個(gè)數(shù)，求它的幾分之幾是多少的應(yīng)用題。 特征：已知單位“ 1”的量和分率，求與分率所對(duì)應(yīng)的實(shí)際數(shù)量。 解題關(guān)鍵：準(zhǔn)確判斷單位“ 1”的量。找準(zhǔn)要求問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的分率，然后根據(jù)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意 義正確列式。 3 分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題： 求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）是多少。 特征：已知一個(gè)數(shù)和另一個(gè)數(shù)，求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾或百分之幾。 “一個(gè)數(shù)”是比較 量，“另一個(gè)數(shù)”是標(biāo)準(zhǔn)量。求分率或百分率，也就是求他們的倍數(shù)關(guān)系。 解題關(guān)鍵：從問(wèn)題入手，搞清把誰(shuí)看作標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)也就是把誰(shuí)看作了“單位一” ，誰(shuí)和單位一的量 作比

51、較，誰(shuí)就作被除數(shù)。 甲是乙的幾分之幾（百分之幾） :甲是比較量，乙是標(biāo)準(zhǔn)量，用甲除以乙。 甲比乙多（或少）幾分之幾（百分之幾） ：甲減乙比乙多（或少幾分之幾）或（百分之幾） 。關(guān)系 式（甲數(shù)減乙數(shù)） /乙數(shù)或（甲數(shù)減乙數(shù)） /甲數(shù) 。 已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾） ,求這個(gè)數(shù)。 特征：已知一個(gè)實(shí)際數(shù)量和它相對(duì)應(yīng)的分率，求單位“1”的量。 解題關(guān)鍵：準(zhǔn)確判斷單位“ 1”的量把單位“ 1”的量看成 x 根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義列方程，或者根 據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義列算式，但必須找準(zhǔn)和分率相對(duì)應(yīng)的已知實(shí)際數(shù)量。 4 出勤率 發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)/試驗(yàn)種子數(shù)X 100% 小麥的出粉率=面粉的重量/小麥的重量X

52、 100% 產(chǎn)品的合格率=合格的產(chǎn)品數(shù)/產(chǎn)品總數(shù)X 100% 職工的出勤率=實(shí)際出勤人數(shù)/應(yīng)出勤人數(shù)X 100% 5 工程問(wèn)題： 是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的特例， 它與整數(shù)的工作問(wèn)題有著密切的聯(lián)系。 它是探討工作總量、 工作效率和工 作時(shí)間三個(gè)數(shù)量之間相互關(guān)系的一種應(yīng)用題。 解題關(guān)鍵：把工作總量看作單位 “1”，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)， 然后根據(jù)題目的具體情況， 靈活運(yùn)用公式。 數(shù)量關(guān)系式： 工作總量二工作效率X工作時(shí)間；工作效率=工作總量十工作時(shí)間 工作時(shí)間二工作總量十工作效率；工作總量十工作效率和=合作時(shí)間 6 納稅 納稅就是把根據(jù)國(guó)家各種稅法的有關(guān)規(guī)定， 按照一定的比率把集體或個(gè)人收入的一部分繳

53、納給國(guó) 家。 繳納的稅款叫應(yīng)納稅款。 應(yīng)納稅額與各種收入的（銷售額、營(yíng)業(yè)額、應(yīng)納稅所得額）的比率叫做稅率。 利息 存入銀行的錢叫做本金。 取款時(shí)銀行多支付的錢叫做利息。 利息與本金的比值叫做利率。 利息二本金X利率X時(shí)間 第二章 度量衡 一 長(zhǎng)度 （一 ） 什么是長(zhǎng)度 長(zhǎng)度是一維空間的度量。 （二 ） 長(zhǎng)度常用單位 公里（km） 米（m） 分米（dm） 厘米（cm） 毫米（mm） 微米（um） （三） 單位之間的換算 1毫米 =1000微米 1厘米 =10毫米 1分米 =10厘米 1米 =1000毫米 1 千米=1000米 二 面積 （一）什么是面積 面積，就是物體所占平面的大小。對(duì)立體物體的

54、表面的多少的測(cè)量一般稱表面積。 （二）常用的面積單位 平方毫米 平方厘米 平方分米 平方米 平方千米 （三）面積單位的換算 1平方厘米 =100平方毫米 1平方分米=100平方厘米 1平方米 =100平方分米 1公傾 =10000平方米 1平方公里 =100公頃 三 體積和容積 （一）什么是體積、容積 體積，就是物體所占空間的大小。 容積，箱子、油桶、倉(cāng)庫(kù)等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積 （二）常用單位 1 體積單位 立方米 立方分米 立方厘米 2 容積單位 升 毫升 （三）單位換算 1 體積單位 1立方米=1000立方分米； 1立方分米=1000立方厘米 2 容積單位 1升=1000

55、毫升； 1升=1立方米; 1毫升=1立方厘米 四 質(zhì)量 （一）什么是質(zhì)量 質(zhì)量，就是表示表示物體有多重。 （二）常用單位 噸 t 千克 kg 克 g （三）常用換算 一噸=1000千克； 1千克=1000克 五 時(shí)間 （一）什么是時(shí)間 是指有起點(diǎn)和終點(diǎn)的一段時(shí)間 （二）常用單位 世紀(jì)、 年 、 月 、 日 、 時(shí) 、 分、 秒 （三）單位換算 1世紀(jì)=100年； 1年=365天平年； 一年=366天閏年 一、三、五、七、八、十、十二是大月 大月有 31 天 四、六、九、十一是小月小月 小月有 30 天 平年 2月有 28天 閏年 2月有 29天 1 天= 24 小時(shí) 1 小時(shí) =60 分 一分

56、 =60 秒 六 貨幣 （一）什么是貨幣 貨幣是充當(dāng)一切商品的等價(jià)物的特殊商品。貨幣是價(jià)值的一般代表，可以購(gòu)買任何別的商品 （二）常用單位 元角分 （三）單位換算 1 元=10 角 1 角 =10 分 第三章 代數(shù)初步知識(shí) 一、用字母表示數(shù) 1 用字母表示數(shù)的意義和作用 用字母表示數(shù)，可以把數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)明的表達(dá)出來(lái)，同時(shí)也可以表示運(yùn)算的結(jié)果。 2用字母表示常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算定律和性質(zhì)、幾何形體的計(jì)算公式 （1）常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系 路程用 s 表示，速度 v 用表示，時(shí)間用 t 表示，三者之間的關(guān)系： s=vt v=s/t t=s/v 總價(jià)用a表示，單價(jià)用b表示，數(shù)量用c表示，三者之間的關(guān)系：a=b

57、c b=a/c c=a/b （2）運(yùn)算定律和性質(zhì) 加法交換律： a+b=b+a 加法結(jié)合律： (a+b)+c=a+(b+c) 乘法交換律： ab=ba 乘法結(jié)合律： (ab)c=a(bc) 乘法分配律： (a+b)c=ac+bc 減法的性質(zhì)： a-(b+c) =a-b-c （3）用字母表示幾何形體的公式 長(zhǎng)方形的長(zhǎng)用a表示，寬用b表示，周長(zhǎng)用c表示，面積用s表示：c=2（a+b） s=ab 正方形的邊長(zhǎng)a用表示，周長(zhǎng)用c表示，面積用s表示：c=4a s=a2 平行四邊形的底a用表示，高用h表示，面積用s表示：s=ah 三角形的底用a表示，高用h表示，面積用s表示：s=ah/2 梯形的上底用a表

58、示，下底b用表示，高用h表示，中位線用m表示，面積用s表示：s=（a+b）h/2 ； s=mh 圓的半徑用r表示，直徑用d表示，周長(zhǎng)用c表示，面積用s表示：c=nd=2nrs=n r2 扇形的半徑用r表示，n表示圓心角的度數(shù)，面積用s表示：s=n nr2/360 長(zhǎng)方體的長(zhǎng)用 a 表示，寬用 b 表示，高用 h 表示，表面積用 s 表示，體積用 v 表示： v=sh ； s=2（ab+ah+bh） ； v=abh 正方體的棱長(zhǎng)用a表示，底面周長(zhǎng)c用表示，底面積用s表示，體積用v表示：s=6a2 ； v=a3 圓柱的高用h表示，底面周長(zhǎng)用c表示，底面積用s表示，體積用v表示.：s側(cè)=ch ； s

59、表=s 側(cè) +2s 底 ； v=sh 圓錐的高用 h 表示，底面積用 s 表示， 體積用 v 表示. ： v=sh/3 3 用字母表示數(shù)的寫法 數(shù)字和字母、字母和字母相乘時(shí)，乘號(hào)可以記作“ .”，或者省略不寫，數(shù)字要寫在字母的前面。 當(dāng)“ 1”與任何字母相乘時(shí)， “1”省略不寫。 在一個(gè)問(wèn)題中，同一個(gè)字母表示同一個(gè)量，不同的量用不同的字母表示。 用含有字母的式子表示問(wèn)題的答案時(shí)， 除數(shù)一般寫成分母， 如果式子中有加號(hào)或者減號(hào)， 要先用 括號(hào)把含字母的式子括起來(lái)，再在括號(hào)后面寫上單位的名稱。 4 將數(shù)值代入式子求值 把具體的數(shù)代入式子求值時(shí)，要注意書寫格式：先寫出字母等于幾，然后寫出原式，再把數(shù)

60、 代入式子求值。字母表示的是數(shù)，后面不寫單位名稱。 同一個(gè)式子，式子中所含字母取不同的數(shù)值，那么所求出的式子的值也不相同。 二、簡(jiǎn)易方程 （一）方程和方程的解 1方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。 注意方程是等式，又含有未知數(shù)，兩者缺一不可。 方程和算術(shù)式不同。算術(shù)式是一個(gè)式子，它由運(yùn)算符號(hào)和已知數(shù)組成，它表示未知數(shù)。方程是 個(gè)等式，在方程里的未知數(shù)可以參加運(yùn)算，并且只有當(dāng)未知數(shù)為特定的數(shù)值時(shí) ，方程才成立 2 方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。 三、解方程 解方程，求方程的解的過(guò)程叫做解方程。 四、列方程解應(yīng)用題 1 列方程解應(yīng)用題的意義 用方程式去解答應(yīng)用題求得應(yīng)用題的