梁的內力計算參考資料

1、第四章 梁的內力 第一節(jié) 工程實際中的受彎桿 受彎桿件是工程實際中最常見的一種變形桿，通常把以彎曲為主的桿件稱為梁。圖 4 1 中列舉了例子并畫出了它們的計算簡圖。如圖（a）表示的是房屋建筑中的板、梁、柱結構，其中支撐樓板的大梁 AB 受到由樓板傳遞來的均布荷載 q；圖（ b）表示的是一種簡易擋 水結構，其支持面板的斜梁 AC 受到由面板傳遞來的不均勻分布水壓力；圖（c）表示的是一小型公路橋，橋面荷載通過橫梁以集中荷載的形式作用到縱梁上；圖（d）表示的是機械中的一種蝸輪桿傳動裝置，蝸桿受到蝸輪傳遞來的集中力偶矩m 的作用。a 房屋建筑中的大梁c 小跨度公路橋地縱梁b 簡易擋水結構中的斜梁d 機

2、械傳動裝置中的蝸桿圖4-1 工程實際中的受彎桿1.1 梁的受力與變形特點 綜合上述桿件受力可以看出： 當桿件受到垂直于其軸線的外力即橫向力或受到位于軸線平面 內的外力偶作用時， 桿的軸線將由直線變?yōu)榍€， 這種變形形式稱為彎曲。在工程實際中受 彎桿件的彎曲變形較為復雜，其中最簡單的彎曲為平面彎曲。1.2 平面彎曲的概念工程中常見梁的橫截面往往至少有一根縱向對稱軸，該對稱軸與梁軸線組成一全梁的縱向對稱面（如圖 42），當梁上所有外力（包括荷載和反力）均作用在此縱向對稱面內時，梁軸 線變形后的曲線也在此縱向對稱面內， 這種彎曲稱為平面彎曲 。它是工程中最常見也最基本 的彎曲問題。1.3 梁的簡化

3、計算簡圖的選取 工程實際中梁的截面、支座與荷載形式多種多樣， 較為復雜。 為計算方便， 必須對實際梁進 行簡化，抽象出代表梁幾何與受力特征的力學模型，即梁的計算簡圖 。選取梁的計算簡圖時， 應注意遵循下列兩個原則： （ 1）盡可能地反映梁的真實受力情況； （ 2） 盡可能使力學計算簡便。1 / 25對稱軸梁軸變形曲線與外力在同一平面內圖4-2 梁的平面彎曲一般從梁本身、支座及荷載等三方面進行簡化：（1）梁本身簡化 以軸線代替梁，梁的長度稱為跨度；（2）荷載簡化 將荷載簡化為集中力、線分布力或力偶等；（3）支座簡化 主要簡化為以下三種典型支座：（a）活動鉸支座（或輥軸支座） ，其構造圖及支座簡圖

4、如圖 43（a）所示。這種支座只限 制梁在沿垂直于支承平面方向的位移，其支座反力過鉸心且垂直于支承面，用 YA 表示。（b）固定鉸支座，其構造與支座簡圖如圖43（ b）所示。這種支座限制梁在支承處沿任何方向的線位移，但不限制角位移，其支座反力過鉸心兩互相垂直分力，用XA、YA 表示。（c）固定端支座，其構造與支座簡圖如圖4 3（ c）所示。這種支座限制梁端的線位移（移動）及角位移（轉動） ，其反力可用三個分量 XA、YA 及 mA來表示。圖 41 中所示幾種工程實際中梁的計算簡圖就是采用上述簡化方法得出來的。A 樞軸輥軸Aa 活動鉸支座YA支承墊板b 固定鉸支座mAc 固定端支座圖4-3 三種

5、典型支座2 / 251.4 梁的基本形式 根椐梁的支座形式和支承位置不同，簡單形式的梁有如下三種形式：（1）簡支梁。梁的支座為一端固定鉸，一端活動鉸（如圖4 4（a）；（2）外伸梁。簡支梁兩端或一端伸出支座之外（如圖44（b），（ c）；（3）懸臂梁。梁的支座為一端固定，一端自由（如圖44（ d）。P（ ） 兩端外伸梁（ ） 簡支梁P（ ） 一端外伸梁圖 4-5 用截面法求梁的內力（ ） 懸臂梁圖4-4 梁的類型這三種梁的共同特點是支座反力僅有三個，可由靜力平衡條件全部求得，故也稱為靜定梁第二節(jié) 梁的內力 剪力和彎矩2.1 截面法求梁的內力為進行梁的設計，需求梁的內力，求梁任一截面內力仍采用截

6、面法，以圖4 5（ a）為例，梁在外力（荷載 P 和反力 YA、YB）作用下處于平衡狀態(tài)。在需求梁的內力x 處用一假想截面 m-n 將梁截開分為兩段。取任意一段，如左段為脫離體。由于梁原來處于平衡狀態(tài)，取 出的任一部分也應保持平衡。從圖 45（ b）可知，左脫離體 A 端原作用有一向上的支座反 力 YA，要使它保持平衡， 由 Y 0和 M 0 ，在切開的截面 m-n 上必然存在兩個內力 分量：內力 Q 和內力偶矩 M 。內力分量 Q 位于橫截面上，稱為剪力；內力偶矩 M 位于縱向3 / 25對稱平面內，稱為彎矩。對左脫離體列平衡方程：由 Y 0,有 YA Q 0 則得由 M c 0，有 YA

7、x M 0則得 M YA x注意此處是對截面形心 c 取矩，因剪力 Q 通過截面形心 c 點，故在力矩方程中為零。同樣 可取右脫離體， 由平衡方程求出梁截面 m-n上的內力 Q和 M，其結果與左脫離體求得的 Q、 M 大小相等，方向（或轉向）相反，互為作用力與反作用力關系。 為使梁同一截面內力符號一致，必須聯(lián)系到變形狀態(tài)規(guī)定它們的正負號。若從梁 m-n 處取 一微段梁 dx，由于剪力 Q 作用會使微段發(fā)生下錯動的剪切變形。我們規(guī)定：使微段梁發(fā)生 左端向上而右端向下相對錯動的剪力 Q 為正（如圖 4 6（ a），反之為負 （如圖 46（b）； 使微段梁彎曲為向下凸時的彎矩 M 為正，反之為負（如

8、圖 46（ c）、（d）。 根據(jù)如上符號規(guī)定，圖 45中m-n 截面內力符號均為正。 下面舉例說明怎樣用截面法求梁任一截面的內力。例 4 1 外伸梁如圖 47（ a），已知均布荷載 q 和集中力偶 m qa2 ,求指定 1-1、2-2、 3-3 截面內力。(a) (b) (c) (d)圖4-6 剪力，彎矩的正負號規(guī)定之一m=qa 21CDB223q3YBYAmM1M2YAQ1Q(a)22(c) q(d) Q3圖4-7 例題 4-1 圖解（ 1）求支座反力4 / 25設支座反力YA、YB 如圖所示。由平衡方程5M A 0YB 2a m qa a 0得YB 7qa4由 Y 0YA YB qa 03

9、得 YA 3 qaA4由 M B 0 校核支座反力YA 2a m qa3qa 2a4qa22qa2所求反力無誤。（2）求 1-1 截面內力由 1-1 截面將梁分為兩段，取左段梁為脫離體，并假設截面剪力Q1和彎矩 M1 均為正，如圖4-7（ b）所示。由 Y 0YA Q1 03得Q1YAqa4由 M1 0 YA a M1 m 0M1 m YA2 qa2qa求得的 Q1 結果為負值，說明剪力實際方向與假設相反，且為負剪力；M1 結果為正值，說明彎矩實際轉向與假設相同，且為正彎矩。（3）求 2-2 截面（ B 截面右側一點）內力由 2-2 截面將梁分為兩段，取右段梁為脫離體，截面上剪力Q2和彎矩 M

10、2 均設為正，如圖4-7（ c）。由 Y 0 Q2 qa 0得 Q2 qaa由 M2 0 M 2 qa 02M22qa2（4）求 3-3截面（ D截面左側邊一點）內力取右端為脫離體， 3-3 截面無限靠近 D 點，線分布力 q的分布長度趨于 0，則 3-3 截面上 Q3 0，M3 0。2.2 截面法直接由外力求截面內力的法則5 / 25上例說明了運用截面法求任一截面內力的方法。因脫離體的平衡條件Y 0的含義為：脫離體上所有外力和內力在 Y軸方向投影的代數(shù)和為零。其中只有剪力Q 為未知量，移到方程式右邊即得直接由外力求任一截面剪力的法則：QY左側外力（或 Y右側外力）4-2-1 )（1）某截面的

11、剪力等于該截面一側所有外力在截面上投影的代數(shù)和，即代數(shù)和中的符號為截面左側向上的外力 （或右側向下的外力） 使截面產生正的剪力， 反之產 生負剪力，如圖 4-8（a）所示，截面上的剪力為正。同樣，脫離體平衡條件M c 0的含義為：脫離體上所有外力和內力對截面形心取力矩的代數(shù)和為零。其中只有彎矩 M 為未知量，移到方程右邊即得直接由外力求任一截面彎矩的 法則：P外Q(+)左上右下 剪力為正mm左順右逆M(+)彎矩為正P外(b)P外P外(a)圖4-8 剪力，彎矩的正負號規(guī)定之二（2）某截面的彎矩等于該截面一側所有外力對截面形心力矩的代數(shù)和，即 MM c左側外力（或 Mc右側外力）（ 4-4-2）代

12、數(shù)和中的符號為截面的左邊繞截面順時針轉的力矩或力偶矩（或右邊繞截面逆時針轉的力矩或力偶矩）使截面產生正的彎矩，反之產生負彎矩。如圖4-8（ b）所示，截面上的彎矩為正。這樣，運用上述兩法則就不必取脫離體，可用式（4-2-1）和（ 4-2-2）直接由截面左側（或右側）外力計算任一截面剪力和彎矩。 此兩法則是由截面法推出的， 但比截面法用起來更方 便快捷，對于求梁的內力極為有用，必須熟練掌握。讀者可用此方法驗證例 4-1 的結果是否 正確。第三節(jié) 剪力圖與彎矩圖 在一般情況下，梁截面上的內力（剪力和彎矩）隨截面位置 x的不同而變化，故橫截面的剪 力和彎矩都可表示為截面位置 x的函數(shù)，即Q Q（x）

13、,M M （x） 通常把它們分別叫做剪力方程和彎矩方程。在寫這些方程時，一般是以梁左端為 x 坐標原點， 但為計算方便，有時也可將原點取在梁右端或梁上任意點。由剪力方程和彎矩方程， 我們可以了解剪力和彎矩沿全梁各截面上的變化情況， 從而找出最 大內力截面即危險截面作為將來設計的依據(jù)。 為了形象地表示剪力、彎矩沿梁長的變化情況， 可根據(jù)剪力方程和彎矩方程分別繪制剪力圖和彎矩圖。即以梁根據(jù)剪力方程和彎矩方程作剪力圖和彎矩圖的方法與前面軸力圖及扭矩圖作法類似，6 / 25橫截面沿軸線的位置為橫坐標x，以橫截面上的剪力或彎矩為縱坐標，按照適當?shù)谋壤L出QQ（x）或 M M（x）的曲線。繪制剪力圖時，一

14、般規(guī)定正號剪力畫在x 軸上側，負號剪力畫在 x軸下側，并注上正負號； 繪制彎矩圖時則規(guī)定正彎矩畫在 x軸的下側， 負彎矩畫 在 x 軸的上側， 這也就是把彎矩圖畫在梁受拉的一側， 以便鋼筋混凝土梁根據(jù)彎矩圖配置鋼 筋。彎矩圖可以不注正負號。 由剪力圖和彎矩圖可直觀確定梁剪力、彎矩的最大值及其所在截面位置。例 4-2 作圖 4-9（ a）所示簡支梁受均布荷載的剪力圖和彎矩圖。()ql =276.9kN.m圖4-9 例題4-2 圖解 （ 1）求支座反力由 Y 0 和對稱條件知A 為原點，并將 x 表示在圖上。（ a）YA YB q2l（2）列出剪力方程和彎矩方程：以左端qlQ（x） YA qx q

15、x 0 x lb）M x YAx qa x2 q2l x q2x 0 x l注意，由于反力 YA ql /2 的指向是朝上的， 它將使梁的任一截面上產生正號的剪力和彎矩， 因此在式（ a）和式（ b）中它們的符號均為正；由于均布荷載 q 的指向是朝下的，它將使左 段梁的任一截面上產生負號的剪力和彎矩，分布力 q 的合力為分布力圖的面積 qx,且作用在 分布力圖的形心 x 處，而分布力對截面形心的力矩的大小為其合力乘以合力到截面形心的22距離即 qx x ，因此在式（ a）中的 qx 項和式（ b ）中的 qx 項都帶負號。 22（3）作剪力圖和彎矩圖從式（ a）中可知， Q（x）是 x的一次函

16、數(shù)，說明剪力圖是一條直線。故以x0和x l 分別代人，就可得到梁的左端和右端截面上的剪力分別為7 / 254-9 （ b）所示。QB x l2 ql 2YB由這兩個控制數(shù)值可畫出一條直線，即為梁的剪力圖，如圖 從式（ b）可知彎矩方程是 x 的二次式，說明彎矩圖是一條二次拋物線，至少需由三個控制 點確定。故以 x0，xl/2，x=l 分別代入式（ b）得Mx0 0, M l ql ， Mx l 0 x0 x 2l8 x l有了這三個控制數(shù)值，就可畫出式（b）表示的拋物線，即彎矩圖，如圖4-9（ c）所示。對于初學者，為便于作圖，可先將上面求得的各控制點的Q、M 值排列如下表的示，然后根據(jù)表中數(shù)

17、據(jù)及剪力方程和彎矩方程所示曲線的性質作出剪力圖和彎矩圖。由作出的剪力圖和彎矩圖可以看出， 最大剪力發(fā)生在梁的兩端， 并且其絕對值相等， 數(shù)值為 Qmax q2l ；最大彎矩發(fā)生在跨中點處（ Q 0）， Mxmaql2 /8。x0l2lQ(x)ql20ql2M(x)0ql280將已知的 q 56.9kN /m 和 l=6.24m 分別代入可得ql 56.9 6.24Qmax177.5kN22ql 2256.9 6.242M max276.9kN mmax 88例 4-3 作圖 4-10（a）所示簡支梁受集中力 P 作用的剪力圖及彎矩圖。A CP B圖4-10 例題 4-3 圖8 / 25解 （

18、1）求支座反力Pb由MB 0 求得 YAlPa由MA 0 求得 YB Pa（2）分段列剪力方程和彎矩方程由于 C 處作用有集中力 P， AC 和 CB 兩段梁的剪力方程和彎矩方程并不相同。因此，必須 分別列出各段的剪力方程和彎矩方程：AC 段： Q x YA Pb0xa)M(x) YAxPbx(0 x a)CB 段： Q(x)YA P Plb P P(l b)Paaxb，則最大剪力發(fā)生在 BC 段，即 Q Pa/l 。而最大彎矩發(fā)生在力 P max作用截面處， Mmax Pab / l ；若 a=b,即當梁中點受集中力時，最大彎矩發(fā)生在梁中點截面上， M max Pl /4 。由圖還可看出，在

19、集中力 P 作用的截面 C 處，彎矩圖的斜率x0alQ(x)Pb l左側 右側Pb Pb llPb lM（x）0Pab l0Pb Pa 發(fā)生突變，形成尖角；同時剪力圖上的數(shù)值也突然由 變?yōu)?。這種突變現(xiàn)象的發(fā) ll 生是由于我們假設集中力 P是作用在梁的一 “點”上。實際上， 集中荷載不可能只作用在梁的一“點”上， 而是作用在梁的一段微小的長度上，而剪力、 彎矩在這段微小的梁段上還是逐漸 地連續(xù)變化的。圖 4-11 表示出梁在這種荷載作用下的剪力圖和彎矩圖的實際情況：剪力圖 是連續(xù)變化（如圖 4-11（ b）的，而彎矩圖是一段光滑曲線（如圖4-11（ c）。由于設計時需求的是最大剪力和彎矩，

20、將這種微小長度上實際分布荷載簡化為作用于一點的集中力會給9 / 25內力計算帶來方便， 并且引起的誤差很小。同時可知，由于集中力處剪力突變，故剪力方程 式（ a）中 x 的變化為開區(qū)間（即 0xa）。而彎矩在該處不變，故彎矩方程式（b）中的 x變化為閉區(qū)間（ 0 x a ）。B圖4-11 在集中力作用下 圖與 圖的實際形狀例 4-4 圖 4-12（a）所示簡支梁在 C 截面上受集中力偶 m作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。 解（ 1）求支座反力假設反力 YA、YB 方向如圖所示。mYB(a)(b)mbl圖mal (c)圖4-12 例題 4-4圖0,YAl m 0, 得 YA m由 M A 0, m

21、 YBl 0 ，得 YB。YA與 YB求得的支座反力 YB 帶有負號，說明它的實際方向與圖中假設方向相反，由此可知 組成一個力偶與外力偶 m 平衡。m 作用，故只有（2）分別列 Q、M 方程以梁左端 A 為坐標原點。由于全梁只有集中力偶10 / 25個剪力方程0xa 時，在集中力偶 m 作用處的右側橫截面上的彎矩為最大。maxmbl當集中力偶作用在梁的一端， 例如左端 （如圖 4-13（a）時，其剪力圖無變化 （圖 4-13（b）， 但彎矩圖將變?yōu)橐粌A斜直線（如圖4-13（ c）。mAB(a)圖(b)(c)圖4-13作用在梁的一端時的 圖由此例可看出，在集中力偶作用處剪力圖不變，而彎矩圖發(fā)生突

22、變。第四節(jié) 荷載、剪力和彎矩間的關系如圖 4-14（a）所示的梁、受向上分布荷載 q（x）作用，若用垂直于梁軸線且相距為dx 的兩個假想截面 m-m和 n-n由梁 x處切出一微梁段。因 dx非常微小，在微段上作用的分布荷 載 q（x）可看做是均布的，設截面左邊內力分別為Q（x）、 M （x） ，則右邊內力相對左邊有一增量，故為 Q（x） dQ（x）、M （x） dM （ x） ，且都假設為正值，如圖 5-14（b）所示，根據(jù)微11 / 25Q(x)(x)(a)圖 4-14和 間的微分關系段平衡條件，由 Y 0，有Q(x) q( x)dx Q(x) dQ(x) 0 軸則以向下為正。即 M 互在梁

23、受控一側，這是與其它內力圖不同之處 根據(jù)以上微分關系可將剪力圖和彎矩圖的規(guī)律歸納如表 4-1所示。利用表 4-1 可以校核剪力 圖和彎矩圖。整理可得由 M o 0，有dQd(xx) q(x)dx4-4-1)M(x) Q(x)dx q(x)dx dxM(x) dM(x) 0忽略高階微量q(x)d2x一項，整理可得dMdx(x) Q(x)4-4-2)對式（ 4-4-2 ）再求一次導數(shù)并由式（ 4-4-1 ）可得2dM 2(x)dx2q(x)4-4-3)此三式就是荷載集度 q（ x），剪力 Q（x）和彎矩 M（x）間的微分關系。由以上分析可知， 它們的力學意義是平衡方程。 一階導數(shù)的幾何意義是圖形的

24、斜率。 因此式（4-4-1）和（ 4-4-2） 說明：剪力圖上一點處的斜率等于梁上該點處的荷載集度；彎矩圖上一點處的斜率等于梁上該點處的剪力 。二階導數(shù)的幾何意義是圖形斜率的變化率即圖形的凸凹向。因此式（4-4-3 ）說明：彎矩圖上一點處的凸凹方向可由梁上該點處荷載集度q（x）符號來決定 。注意，這里荷載的符號和坐標指向的規(guī)定為：分布荷載向上為正， x軸向右為正，剪力圖的 Q 軸向上為正，彎矩圖的 M12 / 25例題 4-5 梁的荷載及剪力圖、彎矩圖如圖 4-15 所示，試用微分關系校核其正確性。P1=120kNYA75()圖()圖(P 2=60kNq1=30kN/mq2=20kN/mBYB

25、754583.85025FG3015.6Dm=80kN.m1575圖4-15 例題4-5 圖解（ 1）由平衡方程求反力得YA 75k ， YB 25K 。2）列表校核如下：M E 4.5YB 2q2 3.5 P2 2.5 2.5q1 2.54. 5 25 2 20 3. 5 60 2. 25. 530283.8k mM G 1.25YB2q2 1.25 1.25 25 20 1.252 2215. k6 m （看右脫離體） 各梁段或截面的內力變化均與表 4-1 相符，所作 Q、由式（ 4-4-1）可得在 x=a 和 x=b 處兩截面間的積分為圖正確。 bdQ（x）abq（x）dx ，也可寫成

26、abQ(b) Q(a) q(x)dxa4-4-4)同理，由式（ 4-4-2）可得13 / 25bM (b) M (a) Q(x)dx( 4-4-5)a式（ 4-4-4）和（ 4-4-5）表示荷載集度 q（x）、剪力 Q（x）和彎矩 例題 4-5 的附表梁段或截面ACCCDDDFFFB荷載q=0P1 120(kN)q=0m 80kN m反時針轉q=30kNP2 60kNq=20kN/mQ圖Q 75k水平線向下突變 120kNQc右 75 12045kNQ 45kN無變化斜直線Q0處E點向下突變QF右 75 60 15kN斜直線Q 0 處 G點M圖斜直線斜率有改變有尖點M c 75kN m斜直線有

27、突變 突變值80kNEE 點有極值ME83.8kN m斜率有改變有尖點有尖點GG 處有極值MG15.6kN m14 / 25表4-1 梁的荷載，剪力圖，彎矩圖相互關系q=0無分布荷載梁段）q0q0 時Q0 時水平線PPQPPPaQ =0 外， 有極值 （ 圖凹向與荷載 類 似弓箭的形狀）截面有尖角或轉折 （圖形斜率隨 的突 變而改變，形成尖角 和轉折）截面 突變，（逆時針）向上 突變，突變值Q qaPQ2PP2qaqaM Pl4mQmlmMm2M（x）間的積分關系。式（ 4-4-4）和式（ 4-4-5）分別說明：（ 1）剪力圖上任意二截面的剪力差值 （或改變） 等于此二截面間的分布荷載圖的面積

28、。 （2）彎矩上任意二截面的彎矩差值（或改變）等于此二截面間剪力圖的面積。 運用上述積分關系時需注意： a、 b 之間不能有集中力或集中力偶，此外圖中面積有正 負之分。綜合運用上面介紹的微分關系和積分關系，除了可校核剪力圖和彎矩圖的正確性之外， 還可更簡捷地繪制剪力圖和彎矩圖， 并可從荷載圖、 剪力圖、 彎矩圖中的任一個圖直接畫出 其它的兩個圖。必須指出， 作梁的剪力圖、 彎矩圖方法有多種， 如：分段列出內力方程， 根據(jù)方程作圖； 直接用微分關系作剪力圖和彎矩圖等。 后一種方法是作梁的內力圖的簡捷快速的方法。 用微 分關系作內力圖的步驟是：第一步，求反力；第二步，分段求各段控制截面的內力值；第

29、三 步，按微分關系分析各段在荷載作用下內力圖的形狀，并將控制截面內力繪成曲線。15 / 25例 4-6 圖 4-16（ a）為梁剪力圖，試求此梁的荷載圖與彎矩圖（已知梁上無集中力偶）圖ADEBC50kN.m50kN圖ABEa50kNCCD50kN圖4-16 例題4-6 圖解（ 1）求荷載圖由 QA= 50kN 知梁在 A 處有一向下集中力為 50kN， B 截面兩側剪力由 50kN 突變到 50kN，故梁在 B 截面必有一向上荷載 100kN。AB段、 BC段 Q圖為水平線，故兩段無分布荷載作用， q=0。 CE段為右下斜直線，斜 率為常量，故梁上必有向下的均布荷載，荷載集度大小等于剪力圖的斜

30、率，即50q25kN / m2E 截面的剪力由 50kN 變到 0 ，故梁上必有向上的集中力 50kN。根據(jù)以上分析結果， 可畫出梁的荷載圖如圖 4-16（ b）。（ 2）求彎矩圖AB段：Q 為負值，且為水平線，故 M 為一向上斜直線。 M A 0， MB的大小等于 AB 間 剪力圖面積，即MB 501 50kNmBC：Q 為正值，且為水平線，故 M 為一向下的斜直線。aMc M B Q（x）dx 50 50 1 0。CE段： q0， M為一下凸曲線。 q=25kNm，D點 QD0，M有極值，1M D M c（50 2） 0 50 50kN m。D c 2E 端鉸處無集中力偶， MA 0。 根

31、據(jù)上述分析，畫出梁的彎矩圖，如圖4-16（ c）所示。第五節(jié) 按疊加原理作剪力圖和彎矩圖 從前面所列舉的例題中，我們看到，截面上的剪力或彎矩都與荷載（如q、P、m 等）保持線性關系。 當梁在荷載作用下產生的變形很小時， 即小變形條件下， 梁上有多個荷載作 用時， 每個荷載引起的剪力、 彎矩將不受其它荷載的影響。 所以要計算當梁上某一截面處的 內力， 只要分別算出每項荷載單獨作用時該截面上的內力， 然后求其代數(shù)和， 就得到該截面 上的總內力值。這樣由幾個荷載引起的某一參量， （內力、反力、應力或位移等）等于每個 荷載單獨作用時所引起的該參量的代數(shù)和。這個結論稱為疊加原理 。只要所求參量與荷載是1

32、6 / 25線性關系，這個原理就能成立。用疊加原理作幾個荷載作用下梁的剪力、 彎矩圖時， 先分別作出梁在每個荷載單獨作用 下的剪力圖和彎矩圖， 然后將各圖的相應縱坐標疊加起來， 就得到梁在幾個荷載共同作用下 的剪力圖和彎矩圖。 當對梁在簡單荷載作用下的剪力彎矩圖較熟悉時， 使用疊加原理就特別 方便（如圖 4-17 所示）。PPqPPqAB=AB+ABa b c圖4-17 例題 4-7圖例 4-7 用疊加法作圖 4-17 （a）所示簡支梁在集中力 P 和均布荷載 q 共同作用下的剪力 圖和彎矩圖。解 先分別作出簡支梁僅受集中力 P 和僅受均布荷載 q 作用時的剪力圖和彎矩圖，如圖 4-17（ b

33、）、（ c）所示。然后分別將兩個剪力圖和彎矩圖的相應縱坐標疊加起來，如圖4-17（a）所示，也就得到簡支梁在集中力P 和均布荷載 q 共同作用下的剪力圖和彎矩圖。在進行圖形疊加時，若各個圖形有不同的正負號，如圖4-18（注意 q 的方向是向上，與 P 方向相反，故內力正負號相反）中的f 和 h，g 和 i 可將它們畫在底線的同一邊，分別如圖 4-18（ b）（ d）所示，這樣便可使兩圖的重疊部分相互抵消，而余下部分即為我們所要 求的剪力圖和彎矩圖。但這時圖中劃分正負號部分的底線（如圖4-18（ b）中的斜線 ab 和圖 4-18（ d）中的曲線 acde），b已不一定是與軸線平行的直線了，若將

34、其改成以水平線為 底線的圖，即得我們所需要的剪力圖和彎矩圖，如圖4-18（ c）、（e）所示。bacddeeecd ecdedced cececeaceabdbdaBCP2q2lMmax= qlmax=4Mmax= ql 2max = 8圖4-18 按疊加原理作梁的剪力圖和彎矩圖17 / 25思考題4-1 什么是 “平面彎曲 ”？試就日常生活所見，列舉幾個平面彎曲梁的例子。4-2 用截面法求梁的內力后，怎樣才能由左段梁和右段梁外荷載互接求得梁某一截面上 的內力值？4-3 試判斷下列各組中二梁的內力圖是否相同，為什么？b思考題 4-3圖4-4圖中所示的梁，集中荷載 P作用在固定于截面 C的倒 L

35、剛臂上。在求梁的反力時， 是否可將力 P 沿其作用線直接作用于梁上？在求梁的剪力和彎矩時，是否也可這樣作？為 什么？試作出圖示梁的剪力圖和彎矩圖。思考題 4-4圖4-5 圖中二梁上所受的荷載大小相同（都是20kN ），它們的剪力圖和彎矩圖是否相同？試加以比較、討論。4-6 試用第 4 節(jié)中的方法，推導在下列二情況下荷載、剪力、彎矩之間的關系：（a）在所截微段梁上作用有集中力 P 時；（b）在所截微段梁上作用有集中力偶m時。18 / 25q=20kN/m思考題 4-5圖Q(x)M(x)mnOmnM(x)+dM(x)Q(x)+dQ(x)b思考題 4-6圖4-7 試判斷圖示各梁的彎矩圖是否正確？如有

36、錯誤，指出發(fā)生錯誤的原因并加以改正。Pl思考題 4-7圖4-8 什么是疊加原理，應用疊加原理的前提是什么？習題4-1 試求圖示各梁在點C和D 處截面上的剪力和彎矩。m=60kN.mAq=10kN/m P=10kN120kN/mC(c)A題4-1圖19 / 254-2 列出圖示各梁的剪力、彎矩方程，作出剪力圖和彎矩圖并求出max與MmaxoAPBAm=ql 2CC2PAfgCBAAqBCP=qlqBACcP=10kNm=12kN.mB題4-2圖4-3 根據(jù) q(x)，Q(x)，M(x)間的微分關系作下列各梁的剪力圖和彎矩圖。10kN.mqP=qa qC2kN/m2kN1kN/m2kN.m2kND

37、EAB2qaq2qqa2題4-3圖4-4 圖示為起吊自重為 q(N/m)的等截面梁，問起吊點的合理位置x應為多少，才能使梁在吊點處和中點處的正、負彎矩絕對值相等。20 / 25ql題4-4圖4-5根據(jù) q、Q、M 間微分關系改正下列剪力、彎矩圖錯誤。m=qa 2qqqaqaQqlqQqam= q2l2Q283ql2qaqa2qa qaqa2qa22283 ql283 ql2M q4a2454qa2474qa題4-5圖4-6 試判斷圖示各梁的彎矩圖是否正確。如有錯誤，指出產生錯誤的原因并加以改正。Pa PaPl題4-6圖4-7 圖（ a）表示某混凝土大壩前的人行道支承梁，它承受的荷載為人群、蓋板

38、重和梁的自重等，其計算簡圖如圖（ b）所示。試求此梁的剪力、彎矩圖。21 / 25人群荷載題4-7圖120kN160kN4-8 試作圖示斜梁的內力圖。P=20kN B14kN/mAC題4-8圖D圖1kN10kN1kN3kN3kN題4-9圖40kN.m題4-10圖8P2P2題4-11圖qP=qlPP22題4-12圖22 / 254-9 梁剪力圖如圖所示，已知梁上無集中力偶，作梁的荷載圖與彎矩圖。4-10 梁彎矩圖如圖示，試作梁的荷載圖和剪力圖。4-11 用疊加原理作下列梁的彎矩圖。4-12 作圖示（ a）、（b）、（ c）三組梁的彎矩圖，并比較其最大彎矩值，從中可得出什么 結論？題4-13 圖題

39、4-14 圖4-14 圖示吊車梁，受吊車輪壓 P 如圖示，問吊車在何位置時： （ 1）梁有最大彎矩，其 值為多少？（ 2）梁有最大反力或最大剪力，其值各為多少？答案4-1 （a）QC 0,M C 60kN m,QD17.5kN ,M D 45kN m(b) Qc 125.7kN , M c 61.9kN m，QD2 6 2.k9N M,D2 5kN5. m2(c) QC左34.5kN,QC右 16kN,MC 73. 0k5N m ,MD86kN mD,Q4-2 (a) Qmax2P, MmaxPl(b) QmaxP, MmaxPl(c) Qmax3ql,M8max128ql(d) Qqlmax

40、,Mmaxql(e) Qqlmax,Mmaxql(f) Qmax 16kN, M max 52kN m(g) Qmax q3ol ,M max 0.064qol24-4 x 0.207l23 / 25左右4-8 (a) M C 15kN m,QC左 8.66kN ,QC右8.66kNa)PA 10kN( ),qAB 5kN /m( ),PC 10kN( ),MC10kN m4-104-12QA QD 10kN, PA 10kN( ),(a)MD 10kN m,PD 10kN( )QA 0,QB QC 20kN, M A 40kN m, (b)PB 20kN( ),PC 20kN( ),PD 0l d P d 2(1) x 2 2,Mmax 2l (l 2)Pd Pd(2) x