行列式的計(jì)算方法

1、行列式的計(jì)算方法摘要 ：行列式是一種常用的數(shù)學(xué)工具， 是線(xiàn)性代數(shù)理論中極其重要的 組成部分， 是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)基本的概念。 行列式產(chǎn)生于解線(xiàn)性方程 組中，并且也是最早應(yīng)用于解線(xiàn)性方程組中， 在數(shù)學(xué)及其他學(xué)科中都 有廣泛的應(yīng)用。 行列式也為解決實(shí)際問(wèn)題帶來(lái)了許多方便。 本文針對(duì) 行列式的計(jì)算方法這一問(wèn)題進(jìn)行了深入研究， 在利用行列式的定義及 基本性質(zhì)計(jì)算行列式的基礎(chǔ)上提出了一些更加簡(jiǎn)便的方法， 如三角形 法、利用范德蒙行列式、利用數(shù)學(xué)歸納法、利用遞推公式、降階法、 升階法、拆開(kāi)法、利用方陣特征值與行列式的關(guān)系、析因法，并結(jié)合 相應(yīng)的例題進(jìn)行更深入的分析。關(guān)鍵詞：行列式；三角形法；范德蒙行列式；

2、數(shù)學(xué)歸納法；遞推公式； 降階法；升階法；拆開(kāi)法；析因法The calculation method of determinantAbstract : Determinant is a kind of common mathematical tool,is linear algebra theory extremely important part of higher mathematics is one of the basic concepts. Determinant produced in solution system of linear equations, and is also

3、the earliest applied to solution system of linear equations, in mathematics and other subjects have a wide range of application.Determinant for solving actual problems bring a lot of convenience. In this paper the calculation method of determ inant this problem is studied, the use of determ inantdef

4、i niti on and basic properties of determ inant calculati on are put forward on the basis of some more simple methods, such as trian gle method, using van derm onde determ inant, using mathematical in ducti on,using recurs ion formula, reduced ordermethod, asce nding order method, apart method, using

5、 square matrix eige nv alues and the relatio nship betwee n the determinant, factorial method , and combined with the corresp onding examples further an alysis.Key words: Determi nant; Trian gular method; Van derm onde determ inant; Mathematical in ducti on, Recurs ion formula; The order reduction m

6、ethod; Rise of order; Apart method; Factorial method1引言行列式是線(xiàn)性代數(shù)中重要的一部分， 有著極其重要的地位。行列 式問(wèn)題在諸多數(shù)學(xué)問(wèn)題中都有所涉及，而行列式的計(jì)算往往是解決問(wèn) 題的關(guān)鍵。它的應(yīng)用范圍極其廣泛，可作為很多學(xué)科解決問(wèn)題的重要 工具。國(guó)際上一些知名的數(shù)學(xué)家如：拉普拉斯(laplace),范得蒙 (vandermonde)等都對(duì)行列式有著深入的研究，并為行列式的計(jì)算奠定了理論基礎(chǔ)。行列式的解題方法靈活多樣，技巧性強(qiáng)，本文就行列式的計(jì)算方法進(jìn)行歸納總結(jié)以及舉例分析說(shuō)明2研究問(wèn)題及成果2.1利用行列式的定義直接計(jì)算2.1.1二階行列式

7、的定義*11 *12*21 *22*11 *22*12*21例1：242.1.2D=2 j=2x 8-4 x 6=-8三階行列式的定義*12*22*32*13*23*33a11 a22 a33a12a23a31*13*21*32*13*22*31例2:0|11*12*21*33*11*23*32.41 |=0x2x 0+1 x 1 x 4+1 x 1 x 1-1 x 2x 4-1 x 1 x 0-1 x 1 02.1.3 n階行列式的定義*11*12L*1n*21*22L*2nDnLLLLj1 j2L jn*n1*n2 L*nn*11*12.*1n*21*22.*2n也就是說(shuō)n階行列式 *n1

8、*n2.*nnx 0=-3(*)1j1幾個(gè)兀素的乘積*1 j *2j .*nj12nj jn.1*1j1*2j2 L *njn等于所有取自不同行不同列的的代數(shù)和。這里jj.Jn是1,2n的一個(gè)排列，當(dāng)j1j2.jn是偶排列時(shí),(*)式取正號(hào)，當(dāng)j1j2.jn是奇排列時(shí)(*)式取負(fù)號(hào)。定義法是計(jì)算行列式的根本方法，對(duì)任何行列式都適用，即n階行列式等于所有取自不同行不同列的 n個(gè)元素乘積的代數(shù)和。對(duì)于一個(gè)n級(jí)行列式,按定義展開(kāi)后共有n!項(xiàng)，計(jì)算它就需要做n ！(n-1)個(gè)乘法，當(dāng)n較大時(shí)，n ！是一個(gè)相當(dāng)大的數(shù)字，直接從定義來(lái)計(jì)算行列式幾乎是不可能的,因此,定義法一般適用于階數(shù)較低的行列式0 0

9、0 1例3:計(jì)算行列式d0 0 2 003002 0 0 0解：這是一個(gè)四階行列式，展開(kāi)式應(yīng)有4！ =24項(xiàng)，但由于出現(xiàn)很多零元素，所以不為零的項(xiàng)只有4823332841這一項(xiàng)，而(4321) 6,故d 1 2 3 2 12。2.2利用行列式的性質(zhì)計(jì)算性質(zhì)1.行列互換，行列式的值不變，即DT=D31131231n3113213n1321322a2na12a22an23n13n23nn31n32n3nn性質(zhì)2.交換行列式中兩行對(duì)應(yīng)元素的位置，行列式變號(hào)。推論：若一個(gè)行列式中有兩行的對(duì)應(yīng)元素相同，則這個(gè)行列式的值為J | A零。性質(zhì)3.把行列式中某一行的所有元素同乘以數(shù) k,等于用數(shù)k乘以這個(gè)行列

10、式。a11ai2ainaiiai2ai nkai1kai2kainkai1ai2ainan1an2a nnanian 2ann推論1.行列式某一行有公因子時(shí)，可以把這個(gè)公因子提到行列式的 符號(hào)外面。推論2.如果行列式某兩行的對(duì)應(yīng)元素成比例，則這個(gè)行列式為零。性質(zhì)4.如果行列式第i行的各元素都是兩元素的和，則這個(gè)行列式 等于兩個(gè)行列式之和，這兩個(gè)行列式分別以這兩個(gè)元素作為第 i行對(duì)應(yīng)位置的元素，其他位置的元素與原行列式相同(i=1,2 , n)。ai1ai2a1nana12a1n印1a12a1nb Gb2 C2bhcnb1b2bnC1C2Cnan1an2annan1an2annan1an2ann

11、性質(zhì)5.行列式某一行的各元素加上另一行對(duì)應(yīng)元素的k倍，行列式的值不變。性質(zhì)6.n階行列式D=aj|n等于它的任一行的各元素與它們對(duì)應(yīng)的代 數(shù)余子式的乘積之和，即：D=aji Ah+a)2Ai2+q門(mén)得,i=1,2，n.推論：若行列式某一行元素都等于1,則行列式等于其所有代 數(shù)余子式之和。2.3化三角形法化三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺接?jì)算的一種方法。因?yàn)槔眯辛惺降亩x容易求得上（下）三角形行 列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計(jì)算。這是計(jì)算行列式的基本方法重要方法之一。原則上，每個(gè)行列式都可利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式。但對(duì)于階數(shù)高的行列式，在一

12、般情 況下，計(jì)算往往較繁。因此，在許多情況下，總是先利用行列式的性a11上三角行列式D= ?0ai2 a22 ?0質(zhì)將其作為某種保值變形，再將其化為三角形行列式。aina2naii00下三角行列式D=a?1a22? 0?l=aiia22anian2a44例1：計(jì)算n階行列式abbLbbabLbDbbaLbLLLLLbbbLaa44ann? | =a11 a22 ann解：這個(gè)行列式的特點(diǎn)是每行（列）元素的和均相等，根據(jù)行列式的性質(zhì)，把第2,3,，n列都加到第1列上，行列式不變，得a(n1)bbbLb1bbLba(n1)babLb1abLbDa(n1)bbaLba (n 1)b1baLbLLLL

13、LLLLLLa(n1)bbbLa1bbLa1bbLb0 a b0L0a (n 1)b00a bL0a(n1)b(a b)LLLLL000La b1123133795例2:計(jì)算行列式D204213571464410102解:這是一個(gè)階數(shù)不高的數(shù)值行列式,通常將它化為上（下）三角行列式來(lái)計(jì)算.2 313 214 315 41D =10000102202101230452121321000012020201123405210000-1200020-112-340-121-1-22-21123111231030410204152 400102001020001000010000260000612 .例

14、3:計(jì)算Dn分析：若直接化為三角形行列式，計(jì)算很繁瑣，所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第1列開(kāi)始；每一列與它一列中有n-1個(gè)數(shù) 是差1的，根據(jù)行列式的性質(zhì)，先從第 n-1列開(kāi)始乘以1加到第n 列，第n-2列乘以一1加到第n-1列，一直到第一列乘以一1加到第2列。然后把第1行乘以-1加到各行去，再將其化為三角形行列式,計(jì)算就簡(jiǎn)單多了解:Dn(i2,L ,n)(i2丄，n) d1 1nrnnn(n 1)21 n(n 1) n 2(n 1) n 1n2n 1(n)n( n 1)1 丁n(n1)_L1)(n2)2 _2.4利用范德蒙行列式11L1X1X2LXnD2X12X2L2Xn(為 Xj)

15、 , n2.MMMn ij 1n 1X1n 1X2Ln 1Xn例：計(jì)算行列式D11LX11X21L2XX12X2X2LMMn 1Xn 2Xn 1X2n 2X2L1Xn 12XnXnMn 1n2XnXn解：把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此類(lèi)推直到把新的第 n1行的1倍加到第n行，便得范德蒙行列式11L1X1X2LXnD22L2(XiXj)X1X2Xnn i j 1MMMn 1n 1Ln 1X1X2Xn2.5利用數(shù)學(xué)歸納法一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學(xué)歸納 法給出猜想的證明。因此，數(shù)學(xué)歸納法一般是用來(lái)證明行列式等式。 因?yàn)榻o定一個(gè)行列式，要猜想其值

16、是比較難的，所以是先給定其值， 然后再去證明例：計(jì)算n階行列式解：用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)X10L000X1L00LLLLLL000LX1anan 1an2La2q xn =2時(shí)Xa2x1a1x(xaja2a1x a2假設(shè) n = k 時(shí)，有Dk xk a1xk 1 a2xk 2 Lak 1x ak則當(dāng)n二k+1時(shí)，把D+i按第一列展開(kāi)，得Dk 1 xDkak 1x(xkk1a1xLak 1x ak )ak 1k1k2xa1x Lak 1xak xak 1由此，對(duì)任意的正整數(shù)n,有n n 12xa1xLan 2xan 1x an2.6 利用遞推公式有的話(huà),很難找出遞推關(guān)系式,例：計(jì)算n階行列式1211

17、 2 11 2 ? ?121|Dn =n|對(duì)n階行列式D找出D與Di或D與Dn-1, Du2之間的一種關(guān)系 即遞推公式（其中D, Dn-1, D2等結(jié)構(gòu)相同），再由遞推公式求出D 的方法。用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒(méi) 從而不能使用此方法|1|2解：這是三對(duì)角行列式,其遞推公式是：Dn =2Dn-1 Dn-2適當(dāng)移項(xiàng)可得關(guān)于Dn的遞推關(guān)系式Dn-Dn-i =Dn-i -?！巴?Dn-2 - Dn-3 二二。?-因 D2=4-1=3, Di =2，故 D2-Di=1,。3-。2 = 1, Dn-D n-1 =1,歸納可得 Dn =Dn-1 +仁（Dn-2 +1） +1= =

18、Di+ （n-1 ） =n+1.2.7 降階法降階法又稱(chēng)按行（列）展開(kāi)法，是按某一行（或一列）展開(kāi)行列 式，這樣可以降低一階，更一般地是用拉普拉斯定理，這樣可以降低 多階，為了使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便，往往是先利用列式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，使行列 式中有較多的零出現(xiàn)，然后再展開(kāi)。按行（列）展開(kāi)法可以將一個(gè) n 階行列式化為 n 個(gè) n-1 階行 列式計(jì)算。若繼續(xù)使用按行（列）展開(kāi)法，可以將 n 階行列式降階 直至化為許多個(gè) 2 階行列式計(jì)算， 這是計(jì)算行列式的又一基本方法。 但一般情況下，按行（列）展開(kāi)并不能減少計(jì)算量，僅當(dāng)行列式中某 一行（列）含有較多零元素時(shí)，它才能發(fā)揮真正的作用。因此，應(yīng)用 按行（列）展開(kāi)法

19、時(shí)，應(yīng)利用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為有較 多的零元素，再按該行（列）展開(kāi) 拉普拉斯定理： 設(shè)在 n 階行列式 D 中取定某 k 行，則 D 等于這 k 階子 式Nj（i=1,2,，t）與它們各自對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式Ai的乘積之和，即 D=N1 A1+N2A2 + ? + NtAt=Zt=1 NiAi,其中 t= ck 例 1: 計(jì)算 20 階行列式123IX1920212 171819=32-1 161718-201918a32C1分析：這個(gè)行列式中沒(méi)有一個(gè)零元素，若直接應(yīng)用按行（列）展開(kāi)法 逐次降階直至化許許多多個(gè)2階行列式計(jì)算，需進(jìn)行20 ! *20 - 1次加減法和乘法運(yùn)算，這人根本是無(wú)

20、法完成的，更何況是n階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對(duì)應(yīng)元素僅差 1，因此，可按下述方法計(jì)算123* * * 181920212 171832*116)7201918321|111 11302212.20)4*0!02 2200000-2100 000(7%-氣(11.-19)19201-1-1例2：計(jì)算n階行列式a00M010a0M0000aM00000M1000a解：將D按第1行展開(kāi)a00L00a0L00a0L000aL0Dna00aL0(1)n1MMMMMMMM1000La000La100L0an(1)n1(1)nn a2

21、n n 2 a a2.8升階法有時(shí)為了計(jì)算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進(jìn)行計(jì)算,這種計(jì)算行列式的方法稱(chēng)為加邊法或升階法。當(dāng)然，加邊后必須是保 值的，而且要使所得的高一階行列式較易計(jì)算。要根據(jù)需要和原行列 式的特點(diǎn)選取所加的行和列。加法適用于某一行（列）有一個(gè)相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分別為n-1個(gè)元素的倍數(shù)的情況。加邊法的一般做法是:a,例：計(jì)算n階行列式x a1a2La1xa2LDna1a2LLLLa1a2LananLxan解:Dn1a1a2L第i行減第1行1x0Li 2,L ,n110xLLLLL100L1a1 Lan0MDn0an00Lx1najj i xaia2 L

22、（箭形行列式）an00xn aj2.9拆開(kāi)法由行列式拆項(xiàng)性質(zhì)知，將已知行列式拆成若干個(gè)行列式之和，計(jì) 算其值，再得原行列式值，此法稱(chēng)為拆行（列）法。由行列式的性質(zhì) 知道，若行列式的某行（列）的元素都是兩個(gè)數(shù)之和，則該行列式可 拆成兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式的某行（列）分別以這兩數(shù)之一 為該行（列）的元素，而其他各行（列）的元素與原行列式的對(duì)應(yīng)行 （列）相同，利用行列式的這一性質(zhì)，有時(shí)較容易求得行列式的值。例:計(jì)算行列式DnaiiaiMa2a2LLMLananM解:a2Lan1a2Lan2Lan0a2 2LanMMLMMMLMa2Lann00Lanna2Lan02LanMMLM1 Dn 100Ln2Ln1 Dn1aia2nDnann ai2.10利用方陣特征值與行列式的關(guān)系例：計(jì)算(?+/G 2碼礙1g+h碼暫14並+b匕6他：偽気+方|顯然的n個(gè)特征值為b,b,bAn的n個(gè)特征值為尋aj0,0 ,