東南大學(xué)數(shù)模2009-2010-2A卷附問(wèn)題詳解

1、東南大學(xué)考試卷（A卷）姓名學(xué)號(hào)班級(jí)120分鐘課程名稱數(shù)學(xué)建模與實(shí)驗(yàn)考試學(xué)期09-10-2得分適用專業(yè) 各專業(yè)考試形式閉卷考試時(shí)間長(zhǎng)度一填空題：（每題2分，共10分）1.阻滯增長(zhǎng)模型竺0.5x（1 O.OOIx）的解為 dtx（0）1002. 用Matlab做常微分方程數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，常用的命令有 。3. 整數(shù) m關(guān)于模12可逆的充要條件是： 。4. 根據(jù)Malthus模型，如果自然增長(zhǎng)率為 2%,則人口數(shù)量增長(zhǎng)為初值 3倍所需時(shí)間為（假設(shè)初值為正）。135. 請(qǐng)補(bǔ)充判斷矩陣缺失的元素A。丄 29不能保證模最大特征值唯一的是30 ； C.00231.11.2A.0.200 ；B. 0.2000.400

2、0.42.判斷矩陣能通過(guò)致性檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)疋A.CR0.1B. CI0.11.在下列Leslie矩陣中3. 模28倒數(shù)表中可能出現(xiàn)的數(shù)是A. 12B.54. 線性最小二乘法得到的函數(shù)不可能為A.線性函數(shù)B.對(duì)數(shù)函數(shù)5. 關(guān)于泛函極值問(wèn)題，下面的描述正確的有C. CR 0.1C.14C.樣條函數(shù)（）0030.200；D.以上都不對(duì)00.40（）D.CR0.01（）D.7（）D.指數(shù)函數(shù)（）選擇題：（每題2分，共10 分）A.泛函J（x）在x處取極值的充要條件是泛函變分J（x ） 0 ；B.泛函J（x）在x處取極值的充分條件是泛函變分J（x ） 0 ；C.泛函J（x）在x處取極值的必要條件是泛函變分J

3、（x ） 0 ；D. A,B,C均正確三判斷題（每題2分，共10分）1. Hill密碼體系中，任意一個(gè)可逆矩陣都可以作為加密矩陣。（）2. 擬合函數(shù)不要求通過(guò)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)。（）3. Matlab軟件內(nèi)置命令程序可以直接求解一般的整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題。（）4. Volterra模型得到的周期解里，食餌與捕食者可以同時(shí)達(dá)到峰值。（）5. 一階線性齊次差分方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性由系數(shù)矩陣譜半徑?jīng)Q定。（）四.應(yīng)用題（共70 分）精彩文檔1.（ 5分）某外貿(mào)進(jìn)出口公司擬用集裝箱托運(yùn)甲乙兩種貨物，每包體積、重量、可獲利潤(rùn) 及集裝箱數(shù)目所受限制見(jiàn)下表：貨物（包）體積（立方米）重量（千克）利潤(rùn)（千兀）甲5220乙451

4、0集裝箱限制2413問(wèn)每個(gè)集裝箱中兩種貨物各裝多少包，可以使所獲利潤(rùn)最大？試對(duì)該問(wèn)題建立合適的數(shù) 學(xué)模型，不需要求出具體結(jié)果。2（ 10分）深水中的波速 v與波長(zhǎng) 、水深d、水的密度和重力加速度g有關(guān)。用量綱分析法確定與其余變量v, d, , g之間的關(guān)系。1小時(shí)時(shí)3. （15分）某種電熱水器加熱時(shí)間 x與水溫y之間有如下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù):x （分鐘）1520253035y (C )12.1613.9714.9615.4916.8試確定x與y的最佳擬合多項(xiàng)式的階數(shù)，確定該擬合函數(shù)表達(dá)式，并估計(jì)加熱 精彩文檔的溫度。4. (20分)如果在用層次分析法建模時(shí)構(gòu)造了某個(gè)判斷矩陣A 14 1 3% % 1(

5、1) 計(jì)算矩陣A的最大特征值(保留到小數(shù)點(diǎn)后2位，采用其它方法計(jì)算不給分)(2) 判斷該矩陣能否通過(guò)一致性檢驗(yàn)？附表 隨機(jī)一致性指標(biāo)值n 1234567891011RI 000.580.901.121.241.321.411.451.491.515. （20分）某企業(yè)根據(jù)去年（t=0）的統(tǒng)計(jì)得知，共有技術(shù)人員300名，其中技術(shù)員職稱（初級(jí)職稱）的有 140名，助理工程師（中級(jí)職稱） 100名，工程師（包括高級(jí)工程師，高級(jí)職稱）60名?，F(xiàn)規(guī)定技術(shù)員每年可以有30%晉升為助理工程師，又有 10%的技術(shù)員因各種原因調(diào)離該企業(yè)，余下60%留任原崗位，助理工程師每年要有 40%留任，30%晉升工程師，3

6、0%調(diào)離,工程師則每年有 60%留任，40%調(diào)離或退休。同時(shí)，該企 業(yè)計(jì)劃每年向社會(huì)招聘 80名大學(xué)生一補(bǔ)充技術(shù)員隊(duì)伍?，F(xiàn)要求（1）建立合適的數(shù)學(xué)模型， 以便可以預(yù)測(cè)今后若干年內(nèi)該企業(yè)中的各類技術(shù)人員的人 數(shù)分布情況；（只要求建立數(shù)學(xué)模型，不要求具體結(jié)果）（2 ）在（1 ）的基礎(chǔ)上，建立合適的數(shù)學(xué)模型，以便可以預(yù)測(cè)今后若干年內(nèi)該企業(yè)中實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案的技術(shù)人貝總量情況。（只要求建立數(shù)學(xué)模型，不要求具體結(jié)果）參考答案一 填空題：（每題2分，共10分）1.阻滯增長(zhǎng)模型 蟲(chóng) 0 5x(1 0 00lx)的解為 x(t)=1000/(1+9exp(-0.5t)。 dtx(0)1002.用Matlab做常微

7、分方程數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，常用的命令有ode45,ode23等等。（寫歐拉法等方法而非Matlab命令的不給分）（本題著重考察數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有沒(méi)有認(rèn)真做！）3. 整數(shù)m關(guān)于模12可逆的充要條件是：m和12沒(méi)有質(zhì)數(shù)公因子。4. 根據(jù)Malthus模型，如果自然增長(zhǎng)率為 2%，則人口數(shù)量增長(zhǎng)為初值 3倍所需時(shí)間為（假設(shè)初值為正）501 n3 54.931 4 95.請(qǐng)補(bǔ)充判斷矩陣缺失的元素A 3 1 41二.選擇題：（每題2分，共10分）1. C ; 2. A; 3.B;4.C.5.C三判斷題（每題2分，共10分）1.X ; 2. V; 3.X ; 4. X ; 5. X（應(yīng)考慮譜半徑=1的特殊情況） 四.應(yīng)用題

8、（共70分）1）.中間關(guān)鍵步驟不能少，否則不給分！2）開(kāi)頭計(jì)算錯(cuò)誤，但整體思路、算法正確適當(dāng)給一些分。1. （5分）解：設(shè)x1、x2分別為每個(gè)集裝箱中甲乙兩種貨物的托運(yùn)包數(shù)，f為總利潤(rùn)，則該問(wèn)題可以視為整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題，其數(shù)學(xué)模型為：max f 20x-i10x2s.t 5 x-i 4x2242為 5x213xz0,人必 Z常見(jiàn)錯(cuò)誤：沒(méi)有非負(fù)、整數(shù)約束，未寫目標(biāo)函數(shù)1分，每個(gè)約束條件各1分ILP標(biāo)準(zhǔn)形式2（ 10分）解：?jiǎn)栴}的物理量有：波速v與波長(zhǎng) 、水深d、水的密度 和重力加速度令 (，V,d, , g) 0.取 g 1= , g2= v, g3=d , g 4= , g 5= g 基本量綱

9、為M, L, T,各物理量的量綱為：g1=L,g 2=:LT-d, g3=:L,g4=M-1L-3, g 5= LT2。2分00 010M量綱矩陣為：A11 131L ,r(A)=3,2分01 002Tv dgAy 0的一個(gè)基本解系為：TTY11, 2,0,0,1 , y20, 2,1,0,1 ,2 分從而得到兩個(gè)無(wú)量綱量2 2 .1 v g, 2 v dg,2分注：此處有且僅有兩個(gè)無(wú)量綱量（形式可以有所不同），并且只有一個(gè)含有，否則后面無(wú)法求解！由Backingham定理得（,v,d, ,g） 0與某一方程 （1, 2） 0等價(jià)。2 2vV21f v dg。gg2分3. （15 分）由隱函數(shù)

10、定理可得12解：因?yàn)樽宰兞繛榈染喾植?，故采用差分表確定擬合多項(xiàng)式階數(shù)： 注：1因指定采用多項(xiàng)式形式，故其它擬合函數(shù)一律不給分！2.最佳階數(shù)應(yīng)由差分表確定！主觀認(rèn)定或散點(diǎn)圖認(rèn)定均不給分。3采用代入部分點(diǎn)求解參數(shù)的方法不給分，應(yīng)為不符合擬合原則!y 12.160013.970014.960015.490016.8000dy 1.81000.99000.53001.3100d2y -0.8200-0.46000.7800d3y 0.36001.24004 分階差分波動(dòng)為0.82，二階差分波動(dòng)為1.24,根據(jù)差分表確定最佳多項(xiàng)式的次數(shù)為1。1分假設(shè)x與y之間的關(guān)系為：y a1xa2。15 120 1A

11、 25 1 ， x30 135 112.1613.97 a1，y 14.96 a215.4916.8則ata33751251255，小1888.573.4，解此正規(guī)方程可得:0.216 x9.276故最佳多項(xiàng)式為:y 0.216x 9.276。當(dāng)加熱1小時(shí)，即x60時(shí)，代入擬合函數(shù)計(jì)算可得此時(shí)溫度22.236 C。根據(jù)最小二乘法，求解本問(wèn)題的正規(guī)方程：A Ax ATy。其中,4. （20 分）max只能作為其它算法注：本題如果采用和法、根法等 不能保證精度 的算法求解得到的 的初值，不能作為最終結(jié)果使用，否則不給分。解法一：A的特征多項(xiàng)式：f det I A 3 3 2 2.25,用牛頓迭代公

12、式，可根據(jù)根的隔離方法得出隔離區(qū)間，從中取初值，建議取為3，解出 max 3.2174 （取3.153.25均可算對(duì)），代入驗(yàn)證CR 0.190.1，所以A的不一致程度不在容許范圍之內(nèi)。解法二：A為3階矩陣，對(duì)應(yīng)的 RI=0.58由層次分析法一致性檢驗(yàn)可知，當(dāng)隨機(jī)一致性比率CR 乞 0.1時(shí)可以認(rèn)為RIA的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，其中一致性指標(biāo)CI-ax n。因此如果 A的不一n 1致程度在容許范圍之內(nèi)，則3max0.10.583 13 3.116將max的上界3.116代入A的特征多項(xiàng)式：fdet I A3 3 2 2.25,直接計(jì)算可知f 3.1161.12370,因?yàn)閒0，從而由連續(xù)函

13、數(shù)介值定理可以知道m(xù)ax 3.116，因此假設(shè)不成立，所以 A的不一致程度不在容許范圍之內(nèi)。兩問(wèn)各 10分5. （20 分）常見(jiàn)錯(cuò)誤：1. 將本模型混同為 Leslie模型。2. 不知所云，生搬硬套書上定崗定編模型，轉(zhuǎn)而求解平衡點(diǎn)、穩(wěn)定域等概念。解：假設(shè)第n年技術(shù)人貝分布情況用向量xX1,n,X2,n,X3表示，總?cè)藬?shù)為Nn3xn i ,調(diào)入企業(yè)人數(shù)為R=80,退出企業(yè)人數(shù)為i 1Wn .內(nèi)部一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為0.60.30P。00.40.3 ，調(diào)入分布向量r1,0,0 ,退出向量w0.1,0.3,0.4 .000.6則WnxnT w .關(guān)于人數(shù)分布情況的演化規(guī)律可以用下面的模型描述:Xn,10.6Xn 1,180XnXn 1P0 RrXn20.3Xn 1,10.4Xn 1,2或者由遞推法可以知道，即X。140,100,60Xn,303xn 1,206xn 1,30,1140, 0,2100, x0,360xnXn 1P) RrXn 2P0 RrP0 RrXn 2 0Rr P0 In 1