三角恒等變換大的題目

1、三角恒等變換大題241.求函數(shù)y= 7 4sin xcos x+4cosx 4cosx的最大值和最小值.2.已知函數(shù)f(x) =44cosx 2cos 2x 1(i) 求f 的值；當(dāng)x 10,扌時，求g(x) = *(x) + sin 2x的最大值和最小值.I3.已知 sin(4 + 2 a sin 2 a = 4,冗2)，求 2sin2 a+ tanatan a1的值.4.已知a是第一象限角，且.,.n5sin a+ 4cos尸花，求的值.13 co2a+ 4 n5.已知 sin(2 a+ 3 = 3sin B,設(shè) tan a= x, tan y,記 y=f(x).(1)求證：tan(a+

2、B = 2tan a(2)求f(x)的解析表達式；若角a是一個三角形的最小內(nèi)角，試求函數(shù)f(x)的值域.6 .已知函數(shù)1 - 2sin(2x)f(x)4-cosx(I)求f(x)的定義域；(n)設(shè)的第四象限的角，且tan7.已知0 ：2.G 1試求sinta n2 atan 2小丄(丄、2non8已知函數(shù) f(x)= 1+ tan xsin x+ ms in x+4 si nix4 當(dāng)m= 0時，求f(x)在區(qū)間n 尹上的取值范圍；3當(dāng)tan a= 2時，f( a 5，求m的值.9.已知x R,1.xtan 2-ta nx22(1) 若o ：X ，求f x的單調(diào)的遞減區(qū)間;(2)2求x的值.1

3、0.設(shè)函數(shù) f(x) = 3sin xcos x(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 當(dāng) 0, n時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值._ 211.已知函數(shù) f(x) = 2cos 2x+ sin x 4cos x.n(1)求它)的值；(2)求 f(x)的最大值和最小值.1 . 2 -12. (1)已知 o,tan二,cos( : - ：)=,求：的值.2 2 2 10(2) 已知，：為銳角，且 tan( ： + ：)=-3,sin ：=2sin(2+J求的值.課堂活動區(qū)【例1解題導(dǎo)引 化簡的原則是形式簡單，三角函數(shù)名稱盡量少，次數(shù)盡量 低，最好不含分母，能求值的盡量求值本題要充分利用倍角公式

4、進行降幕，利 用配方變?yōu)閺?fù)合函數(shù)，重視復(fù)合函數(shù)中間變量的范圍是關(guān)鍵.解 y= 7 4si n xcos x+4coSx 4co(x=7 2sin 2x+ 4cos x(1 cos x)=7 2s in 2x+ 4cosxsi n2x2 2=7 2sin 2x+ sin 2x= (1 sin 2x) + 6，由于函數(shù)Z=(U 1)2+ 6在1,1中的最大值為Zmax= ( 1 1+ 6= 10，最 小值為 Zmin= (1 1)2+ 6= 6，故當(dāng)sin 2x= 1時，y取得最大值10, 當(dāng)sin 2x= 1時，y取得最小值6.變式遷移1解(1)f(x)2(1 + cos 2x 2 2cos 2

5、x 1sin n+ x sin42cos 2x.nnsi n4+xcos4+x2 22cos 2x2cos 2x2cos 2x，n 小cos 2xsin + 2x護=2co(2)g(x)= cos 2/2s in p+ 才) x p 2x+ 水 ，3!， 當(dāng) x= 8時，g(X)max =零2，當(dāng) x= 0 時，g(x)min = 1.【例2】解題導(dǎo)引(1)這類問題一般是先化簡再求值；化簡后目標(biāo)更明確；(2)如果能從已知條件中求出特殊值，應(yīng)轉(zhuǎn)化為特殊角，可簡化運算，對切函 數(shù)通?；癁橄液瘮?shù).nn14,解 由 sinq + 2 a sin 2 a= sin(n+卜 2 a cos(4+2 a=如

6、 n(n+ 4M = ；cos 4a= cos 4a= 2，又 a (才,2)，故2 1 . 2sin a+ tan a 1tan a.22Sin a cos a=cos 2a+ ；sin acos a2cos 2a=cos 2a+ :- sin 2 a5 n2cos75 na= 12,=co2 5n 2cos6 =摯 5n= 2 . sin6變式遷移2解（1）T a是第一象限角，cos a513, sin a %n2sin a+ 42 sin a+ cos aCOS(2 a+ 4 冗)2 I.sin a+ COS acos 2aa22_12=13.214 .cos a sin22cos a

7、sin a 13132=jt(2)cos(2 a+ 4)= cos 2 0COS4 sin 2 aiin”22(cos 2 a sin 20),n 3 2= a0,故可知2冗+吾耳n 4 sin( a+ 4)= 5,n從而 cos 2oc= sin(2 a+ 2)=2sin( cO 力込俗nsin 2 a= cos(2 a+ 2)=1 2cos ( a+ n31 250例3解題導(dǎo)引本題的關(guān)鍵是第(1)小題的恒等式證明，對于三角恒等式的 證明，我們要注意觀察、分析條件恒等式與目標(biāo)恒等式的異同，特別是分析已知 和要求的角之間的關(guān)系，再分析函數(shù)名之間的關(guān)系，則容易找到思路證明三角 恒等式的實質(zhì)就是消

8、除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡，左右歸一或變更論 證對于第(2)小題同樣要從角的關(guān)系入手，利用兩角和的正切公式可得關(guān)系第(3) 小題則利用基本不等式求解即可.(1)證明由sin(2 a+3sinB,得sin(a+B)+a=3si n( a+ B) a，即 sin(a+ Bcos a+ cos( a+ Bsin a 3sin(a+ Qcos a 3cos(a+ sin a sin(a+ Bcos a 2cos(a+ sin a，tan(a+ = 2ta n a解角 a 是 一個三角形的最小內(nèi)角, 0a n 02.2(當(dāng)且僅當(dāng) x = 2時取故函數(shù)f(x)的值域為(0，丁.變式遷移3證明因為左

9、邊a2sin xcos xsi n x+ cos x 1 s in x cos x 1 2sin xcos x=T22sin x cos x 1 2sin xcos x=22sin x cosx+ 2cos x 12sin xcos xsin x=2=2cosx+ 2cos x 1 cos xsin x 1 + cos x1cosx 1+cosxsin x 1 + cos x2 sin x1 + cos xsin x右邊.所以原等式成立. 課后練習(xí)區(qū)1. DT 0 a n, 3sin 2 a sin a,二 6si n aos a sin a,又sin a 0,-cos a6,cos( a-n

10、 cos( a) cos a1,t tTCtc2. C 因為 a+ 4+ B_4 a+ B,4 -冗所以 a+ 4 ( a+ B 所以 tan a+ tan a+ Btan a+ B tan1 + tan a+ Btan3n廠 22-41. 23. B v cos 2a 1 2sin a,-21 p .-sin a 4又.-sin a 2Ja4. Bf(x) 2tan x+1 2sin2x1 qSin x2ta n x+2cos xsin x24sin xcos x sin 2xsin 65. C 由 cos 2B+ 3cos（A+ C） + 2 = 0 化簡變形，得 2cos B 3cos

11、B+ 1 0, 1cos B =或 cos B= 1（舍）. sin B-#24243解析 因為a為第二象限的角，又sin a 3,4 sin a3所以 cos a 廠,tan a= =一 * ,5 cos a4所以2ta n a241 tan a一 7tan 2a=7. 1 2解析 t y= 2cosx+ sin 2x= sin 2x+ 1 + cos 2x sin 2x+ cos 2x+ 1 -羽si n0+ 扌 + 1,當(dāng)sin(2x+ n)= 1時，函數(shù)取得最小值1 .2.8.1解析c2.2COS 2 a_cos a Sin ai （ n=r.sin a 42 sin a cos a=

12、,2（sin a+ cos a）= ,. 1 -cos a+ sin a=9.解（1） / sin 2 a= 2sin acos a,cosasin 2 a2sin a，（2分）原式一sin 40 n 80 s in 1602sin 20 2sin 40 2 2sin 80=sin （180 20=16sin 20 丄16.（2）原式23 4cos 2a+ 2cos 2 a 12 3 + 4cos 2a+ 2cos 2 a 1（6分）（9分）(1 cos 2a)2 21 + cos 2 aatan4 a10.解 f(x) = 3sin xcos x cos xsin31=ysi n 2x qc

13、os 2x 1n 1in 2+ x 2sin1.(12 分)2x 62冗(1) T= n , 故 f(x)的最小(6分)nn n 5 n(2) 因為 owx2，所以一6w2x 6=6.所以當(dāng)2x n n即x=,f(x)有最大值0,(10分)當(dāng)2xn=- n即x=o時，f(x)有最小值3(12 分)11.解n2 n 2 nn(1)f(3)= 2cosy + sin 3 4。0虧(4分)正周期94.22(2)f(x) = 2(2cosx 1)+ (1 cos x) 4cos x=3cosx 4cosx 1(4分)= 3(cosR(10 分)3因為 cos x 1,1,所以，當(dāng)cos x= 1時，f(x)取得最大值6;2當(dāng) cos x =3 時， f (x)取(14 分)解(1)當(dāng)m=0 時，f(x)二 所以5 =黑+ 解得m= 2.12分 + 叢 sin2x21 cos 2x+ sin 2x=sin x+ sin xcos x=2sin 2x n + 1 , 3 分 :n 3 冗 18, TJ由已知x匕,，得2x才 0,扌，4分7t5分所以sin 2x6分從而得f(x)的值域為0,2m(2)f(x) = sin x+ sin xcos x cos 2x1