兩角差的余弦公式

1、3. 1. 1兩角差的余弦公式教學(xué)設(shè)計一、教材地位和作用分析兩角和與差的余弦公式是本章最先推導(dǎo)出來的公式，是后繼內(nèi)容兩角和與差 的正弦、正切公式、二倍角公式、和差化積與積化和差公式等知識的基礎(chǔ)，為以后 三角變換、三角恒等式的證明和三角函數(shù)式的化簡、求值等三角問題的解決奠定基 礎(chǔ).本節(jié)是以一個實(shí)際問題做引子，的在于從中提出問題，引出本章的研究課 題.在用方程的思想分析題意，用解直角三角形的方法列出方程并提出問題：實(shí)際 問題中存在研究像tan(30 +)這樣的包含兩個角的三角函數(shù)的需要，以實(shí)例引入課題有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)與實(shí)際問題 的聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，同時也讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知

2、 識產(chǎn)生、發(fā)展的過程.本節(jié)是數(shù)學(xué)公式的教學(xué)，教師應(yīng)遵循公式教學(xué)的規(guī)律，應(yīng)注意以下兒點(diǎn)：1. 要使學(xué)生了解公式的由來；2. 使學(xué)生認(rèn)識公式的結(jié)構(gòu)特征，加以記憶；3. 使學(xué)生掌握公式的推導(dǎo)和證明；4. 通過例子使學(xué)生熟悉公式的應(yīng)用，靈活運(yùn)用公式進(jìn)行解答有關(guān)問題.二、學(xué)情分析在第一章中學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基本概念，對三角函數(shù)有了一個初步的了 解.但學(xué)生只是要求理解和掌握單角的三角的計算和簡單變換，沒有涉及求形如tan(a 0)(an2等和、差、倍角的三角函數(shù)的值的需要.因此，設(shè)置情境引入兩角和與差的概念會 引起學(xué)生的興趣，這一環(huán)節(jié)也是不容忽視的.三、教學(xué)目標(biāo)1、知識目標(biāo):通過讓學(xué)生探索、猜想、發(fā)現(xiàn)并

3、推導(dǎo)“兩角差的余弦公式”，了解單角與復(fù) 角的三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過強(qiáng)化訓(xùn)練，加深對兩角差的余弦公式的理 解，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力及邏輯推理能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).2、能力目標(biāo):通過兩角差的余弦公式的運(yùn)用，會進(jìn)行簡單的求值、化簡、證明，體會化歸 思想在數(shù)學(xué)當(dāng)中的運(yùn)用，使學(xué)生進(jìn)一步掌握聯(lián)系的觀點(diǎn)，自覺地利用聯(lián)系變化的觀 點(diǎn)來分析問題，提高學(xué)生分析問題，解決問題的能力.3、情感目標(biāo):通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會探究的樂趣，認(rèn)識到世間萬物的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化， 養(yǎng)成用辯證與聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題.通過創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài) 度，強(qiáng)化學(xué)生的參與意識，從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.通過觀察、

4、 對比，體會公式的線形美、對稱美.四、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：通過探究推導(dǎo)兩角差的余弦公式及公式的記憶.教學(xué)難點(diǎn)：探索過程的組織和引導(dǎo)，兩角和與差的余弦公式推導(dǎo)的嚴(yán)謹(jǐn)性分 析及其公式的靈活運(yùn)用.五、教學(xué)方法創(chuàng)設(shè)悄境有利于問題自然、流暢地提出，提出問題是為了引發(fā)思考，思考的 表現(xiàn)形式是探索嘗試探索嘗試是思維活動中最有意義的部分，激發(fā)學(xué)生積極主動 的思維活動是我們每節(jié)課都應(yīng)追求的口標(biāo).給學(xué)生的思維以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)并不會降低 學(xué)生思維的層次，反而能夠提高思維的有效性，從而體現(xiàn)教師主導(dǎo)作用和學(xué)生主體 作用的和諧統(tǒng)一.山此擬采用以下的教學(xué)方法：創(chuàng)設(shè)情境-提出問題-探索嘗試-啟發(fā) 引導(dǎo)一一解決問題.六、學(xué)法指

5、導(dǎo)1、要求學(xué)生做好正弦線、余弦線、同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間距離公式，特別是用 角的余弦和正弦表示終邊上特殊點(diǎn)的坐標(biāo)這些必要的知識準(zhǔn)備.(體現(xiàn)學(xué)習(xí)過程中循 序漸進(jìn)，溫故知新的認(rèn)知規(guī)律.)2、讓學(xué)生注意觀察、對比兩角和與差的余弦公式中正余弦的順序、角的順序 關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，并通過觀察體會公式的對稱美.七、教學(xué)過程(-)導(dǎo)入新課播放多媒體，出示問題:如圖，小土坡高BC約15米，在地平面上有一點(diǎn)A,測得AC兩點(diǎn)間距離約35 米，從A點(diǎn)觀測塔的視角（ZCA1）約為3（/試求該塔的高度.分析：實(shí)際問題數(shù)學(xué)化分析:卄1二15初tana設(shè)該塔高米，,則中，CD = x乙CABa15sin a =37RlM

6、Hl)tan(30 + )=x十15ABx + 15-X + 15tana15于是“15皿30。十嘰詁tana如果能山15sin a =37求得tan(30+a) 的值，那么就能得出電視發(fā)射塔的高度了.能不能山15sin a =37求得tan(30 + a)的值呢？或者說能不能山sin a把tan(30 + a)表示出來呢?更一般地說，當(dāng)a,”是任意角時，能不能用a,”的三角函數(shù)值把a(bǔ) + 0或a _卩的三角函數(shù)值表示出來呢？讓學(xué)生認(rèn)真思考，在用方程的思想分析題意、列出方程的過程中，得到： 實(shí)際問題中存在研究像tan(30 +)這樣的包含兩個角的三角函數(shù)的需要；實(shí)際問題中存在研究像 sin a

7、與tan(30 十 a)這樣的包含兩角和的三角函數(shù)與a30“單角的三角函數(shù)的關(guān)系的需要.在此基礎(chǔ)上，再一般化而提出本節(jié)的研究課題，從 而導(dǎo)入新課.(二)探究新知教學(xué)活動以問題作為向?qū)?，教師作適當(dāng)引導(dǎo)，先提出問題：我們?nèi)绾吻?cos(a-0) = ?然后圍繞以下兒個問題進(jìn)行教學(xué)活動： 請學(xué)生猜想cos(a-0) = ? 利用前面學(xué)過的單位圓上的三角函數(shù)線，如何用a、p的三角函數(shù)來表示cos(a_0)呢？ 利用向量的知識，乂能如何推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)cos(a-0) = ? 細(xì)心觀察公式的結(jié)構(gòu)，它有哪些特征？其中 角的取值范圍如何? 如何正用.逆用、靈活運(yùn)用chr公式進(jìn)行求值計算？對于問題，出示問題后，教師讓

8、學(xué)生充分發(fā)揮想象能力嘗試一下，大膽猜 想，有的同學(xué)可能就首先想到cos (a - 0)= cos a - cos 0 的結(jié)論，此時教師適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，然后讓學(xué)生曲特殊角來驗(yàn)證它的正確性.如 a = 60e,則，而,這一反例足以說明cos(a 一 0) = cos 30 =cos a 一 cos p = cos 60 - cos 30cos (a - “)工 cos a-cos/?對于問題，既然,那么cos (& - 0) h cos a-cos flcos(a_0)究竟等于什么呢?OM = cos(a 0) = cos a cos 0 十 sin a sm 0111于這里涉及的是三范數(shù)的問題,1a

9、 0這個角的余弦問題，我們能否利用單位圓上的三角函數(shù)線來探究呢?如圖，設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為90片=P，則Ox = a-B.過點(diǎn)P 作PM垂直于X軸，垂足為M,那么0M就是a-p的余弦，即OM =cos(a_0),接下來就是要用角a、P的正、余弦線來表示過點(diǎn) 作PA垂直于,垂足為A,過點(diǎn)A作AB垂直于X軸，垂足為B,過點(diǎn)P作PC垂直于AB，垂足為C.那么OA表示的是COS09AP表示sin i,并且PAC = AIOx = a,于是，OM = OB + BM = OA cos a + APsin a = cos a cos 0 + sin a sin 0所以,cos (a - 0)= co

10、s a cos 0+sin a sin 0教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，以上的推理過程中，角a、卩、a_P是有條件限制的，即a、卩、a_卩均為銳角，且a0,如果要說明此結(jié)果是否對任意角7、/3都成立，還要做不少推廣工作，并且這項(xiàng)推廣工作的過程比較繁瑣，由同學(xué)們課后 動手試一試.注：山于本推導(dǎo)過程比較繁瑣，技巧性很強(qiáng)，做到非常嚴(yán)謹(jǐn)不是一件容易的 事情對于學(xué)生基礎(chǔ)不是很好的班級，以上環(huán)節(jié)可以跳過，直接從問題入手.至于 問題的方法可以讓學(xué)生課后自山閱讀.對于問題，教師引導(dǎo)學(xué)生，可否利用剛學(xué)過的向量知識來探究這個問題如圖，在平面直角坐標(biāo)系y0呢？內(nèi)作單位圓 ,以O(shè)x為始邊作角a、p,它們的終邊與單位圓 o

11、的交點(diǎn)分別為A B,則_Ozf = (cosa,sina)9=(cos0,sin 0)ZAOBO由數(shù)量積的定義有刃西=|刃阿COS0 = COS&9山數(shù)量積的坐標(biāo)表示，乂有OA ()B = ( cos % sin a )(cos 0. sin 0 ) = cos a cos 0+sin a sin 0于是，從圖中可知,或9（為什么？）于是有cos 0 = cos a cos /?+sin a sin fla = p + /? + 2k 兀a =+ 2k 兀kZa_ fi = 2k兀土e Zcos(a - fl) = cosO由此可知，對任意角 p 都有cos (a - 0) = cos a c

12、os 0+sin a sin 0注：我們發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用向量工具進(jìn)行探究推導(dǎo)，過程相當(dāng)簡潔特別是當(dāng)角a-p符合條件0 Vq-0,以上結(jié)論顯然成立.由于 7、/3都是任意角，a-p也是任意角，因此，我們還要通過嚴(yán)謹(jǐn)性分析，找到 a-p與0的關(guān)系，這是一個難點(diǎn).此公式給出了任意角 a、P的正弦、余弦值與其差角 a-p的余弦值之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡記chr有了公式c以后，我們只要知道cos a、cos 0、sin a、sin 0的值，就可以求得cos(a_0)的值了.對于問題，教師引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察公式的結(jié)構(gòu)特征，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)公式左邊是“兩角差的余弦”,右邊是“這兩個角的 余弦積與正弦積的和”

13、 可讓學(xué)生結(jié)合推導(dǎo)過程及結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行記憶，特別是運(yùn)算 符號，左“”右“十對于問題，關(guān)于公式的正用比較簡單，關(guān)鍵在于“湊角”的技巧，而公式 的逆用則需要學(xué)生的逆向思維的靈活性，特別是變形應(yīng)用，這就需要學(xué)生具有較強(qiáng) 的觀察能力和熟練的運(yùn)算技巧，如：cos 75 cos 45 + sin 75 sin 45= cos(75 -45) = cos30cos (a + 0)cos0 + sin (a + 0)sin 0=cos(a + 0) - 0 = cos a（三）例題講評例1利用差角余弦公式求cos 1 5 的值.解法一:cos 15 = cos(45 一 30) = =解法二:cos 15 = cos(60 一 45) = =注：這是通過應(yīng)用理解公式的比較基礎(chǔ)的練習(xí)，求解過程可山學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行. 通過本例，使學(xué)生對三角變換有了一定的認(rèn)識，教師再作適當(dāng)點(diǎn)評：1三角變換關(guān)注角的拆分；拆分的多樣性決定變換的多樣性.例2 已知sin.J5是第三象限的角，求的值.cos(a_0)解：由乂山cos 二