(完整版)有限元法的基本原理

1、1 2m1 2m第二章有限元法的基本原理有限元法吸取了有限差分法中的離散處理內(nèi)核，又繼承了變分計(jì)算中選擇試探函數(shù)并對 區(qū)域積分的合理方法。有限元法的理論基礎(chǔ)是加權(quán)余量法和變分原理，因此這里首先介紹加 權(quán)余量法和變分原理。2.1 等效積分形式與加權(quán)余量法加權(quán)余量法的原理是基于微分方程等效積分的提法，同時(shí)它也是求解線性和非線性微分 方程近似解的一種有效方法。在有限元分析中，加權(quán)余量法可以被用于建立有限元方程，但 加權(quán)余量法本身又是一種獨(dú)立的數(shù)值求解方法。2.1.1 微分方程的等效積分形式工程或物理學(xué)中的許多問題，通常是以未知場函數(shù)應(yīng)滿足的微分方程和邊界條件的形式 提出來的，可以一般地表示為未知函數(shù)

2、u 應(yīng)滿足微分方程組a (u) a(u) = a (u) =0 （在 w 內(nèi)） （2-1）域 w 可以是體積域、面積域等，如圖 2-1 所示。同時(shí)未知函數(shù) u 還應(yīng)滿足邊界條件b (u) b (u) = b (u) =0 （在g內(nèi)） （2-2）要求解的未知函數(shù)u可以是標(biāo)量場（例如壓力或溫度），也可以是幾個(gè)變量組成的向量場（例如位移、應(yīng)變、應(yīng)力等）。a，b是表示對于獨(dú)立變量（例如空間坐標(biāo)、時(shí)間坐標(biāo)等）的微分算子。微分方程數(shù)目應(yīng)和未知場函數(shù)的數(shù)目相對應(yīng)，因此，上述微分方程可以是單個(gè) 的方程，也可以是一組方程。所以在以上兩式中采用了矩陣形式。以二維穩(wěn)態(tài)的熱傳導(dǎo)方程為例，其控制方程和定解條件如下：a(

3、f) = f f( k ) + ( k ) +q =0 x x y y（在 w 內(nèi)） （2-3）1 2mb (f) =f-f=0 fk -q =0 n（在g上）f（在g 上）q（2-4）這里 f 表示溫度（在滲流問題中對應(yīng)壓力）； k 是流度或熱傳導(dǎo)系數(shù)（在滲流問題中對應(yīng)流度 k / m ）；f 和 q 是邊界上溫度和熱流的給定值（在滲流問題中分別對應(yīng)邊界上的壓力和邊界上的流速）；n是有關(guān)邊界g的外法線方向；q是源密度（在滲流問題中對應(yīng)井的產(chǎn)量）。在上述問題中，若 k 和 q 只是空間位置的函數(shù)時(shí)，問題是線性的。若k 和 q 是f 及其導(dǎo) 數(shù)的函數(shù)時(shí)，問題則是非線性的。由于微分方程組（2-1）

4、在域 w 中每一點(diǎn)都必須為零，因此就有wv t a (u )d w (v a (u ) +v a (u ) +l ) d w 01 1 2 2w（2-5）其中v v = v （2-6）其中 v 是函數(shù)向量，它是一組和微分方程個(gè)數(shù)相等的任意函數(shù)。式（2-5）是與微分方程組（2-1）完全等效的積分形式。我們可以說，若積分方程對于任意的v都能成立，則微分方程（2-1）必然在域內(nèi)任一點(diǎn)都得到滿足。同理，假如邊界條件（2-2）亦同時(shí)在邊界上每一點(diǎn)都得到滿足，對于一組任意函數(shù)，下式應(yīng)當(dāng)成立vb (u )d gg g( v b (u ) +v b (u ) +l )d g0 1 1 2 2因此積分形式gv

5、t a (u )d w +vtb (u)d g=0g對于所有的v 和v 都成立是等效于滿足微分方程（2-1）和邊界條件（2-2）。我們把（2-7） 式稱為微分方程的等效積分形式。2.1.2 等效積分的“弱”形式在一般情況下，對（2-7）式進(jìn)行分部積分得到另一種形式：ct( v)d(u ) d w +et( v )f (u) d g=0（2-8）wg其中c，d，e，f是微分算子，它們中所包含的導(dǎo)數(shù)的階數(shù)較（2-7）式的低，這樣對函數(shù)u只需要求較低階的連續(xù)性就可以了。在（2-8）式中降低連續(xù)性要求是以提高v和v的連續(xù)性要求為代價(jià)的，由于原來對v和v（在（2-7）式中）并無連續(xù)性要求，但是適當(dāng)提高對

6、其連續(xù)性的要求并不困難，因?yàn)樗鼈兪强梢赃x擇的已知函數(shù)。這種降低對函數(shù)u連續(xù)性要求的作法在近似計(jì)算中，尤其是在有限單元法中是十分重要的。（2-8）式稱為微分方程nnn（2-1）和邊界條件（2-2）式的等效積分“弱”形式。值得指出的是，從形式上看“弱”形 式對函數(shù) u 的連續(xù)性要求降低了，但對實(shí)際的物理問題卻常常較原始的微分方程更逼近真正 解，因?yàn)樵嘉⒎址匠掏鶎馓岢隽诉^分“平滑”的要求。2.1.3 加權(quán)余量法在求解域w中，若場函數(shù)u是精確解，則在域w中任一點(diǎn)都滿足微分方程（2-1）式，同時(shí)在邊界g上任一點(diǎn)都滿足邊界條件（2-2）式，此時(shí)等效積分形式（2-7）式或（2-8）式必然嚴(yán)格地得到滿足

7、。但是對于復(fù)雜的實(shí)際問題，這樣的精確解往往是很難找到的，因此 人們需要設(shè)法找到具有一定精度的近似解。對于微分方程（2-1）式和邊界條件（2-2）式所表達(dá)的物理問題，未知場函數(shù)u 可以采 用近似函數(shù)來表示。近似函數(shù)是一族帶有待定參數(shù)的已知函數(shù)，一般形式是u u =n a =nai ii =1（2-9）其中，ai是待定參數(shù)；ni是試探函數(shù)（或稱基函數(shù)、形函數(shù)），為已知函數(shù)，它取自完全的函數(shù)序列，是線性獨(dú)立的。所謂完全的函數(shù)系列是指任一函數(shù)都可以用此序列表示。近似解通常選擇使之滿足強(qiáng)制邊界條件和連續(xù)性的要求。例如當(dāng)未知函數(shù) 近似解u =n u +n u +l +n u =n u1 1 2 2 n n

8、 i ii =1u是壓力時(shí)，可取其中ai是待定參數(shù)，共有n個(gè)。顯然，在通常n取有限項(xiàng)數(shù)的情況下近似解是不能精確滿足微分方程（ 2-1）式和邊界條件（2-2）的，它們將產(chǎn)生殘差 r 及 ra( na ) =r; ba( na ) =r殘差r及r亦稱為余量。在（2-7）式中我們用個(gè)規(guī)定的函數(shù)來代替任意函數(shù) v 及 v ，即u =n u +n u +l +n u =n u1 1 2 2 n n i ii =1可以得到近似的等效積分形式ww a( na ) d w + jgw b ( na ) d g=0 j( j =1 n )（2-10）亦可以寫成余量的形式ww rd w +jgw rd g=0 j

9、( j =1 n )（2-11）（2-10）式或（2-11）式的意義是通過選擇待定系數(shù)ai，強(qiáng)迫余量在某種平均意義下等于零。wj和wj稱為權(quán)函數(shù)。余量的加權(quán)積分為零就得到了一組求解方程，用以求解近似解n n的待定系數(shù) a ，從而得到原問題的近似解答。求解方程（2-10）的展開形式是ww a( na ) d w +wb ( na ) d g=0 1 1gww a( na ) d w + 2gw b ( na ) d g=0 2l l lww a( na ) d w + ngw b ( na ) d g=0 n其中若微分方程組a的個(gè)數(shù)為m1，邊界條件b的個(gè)數(shù)為m2，則權(quán)函數(shù)w ( j =1,l ,

10、 n ) j是 m 階的函數(shù)列陣， 1w ( j =1, l , n) 是 m 階的函數(shù)列陣。 j 2當(dāng)近似函數(shù)所取試探函數(shù)的項(xiàng)數(shù)n越多，近似解的精度將越高。當(dāng)項(xiàng)數(shù)n趨于無窮時(shí)，近似解將收斂于精確解。對應(yīng)于等效積分“弱”形式（2-8）式，同樣可以得到它的近似形式wct( w )d( na) d w + jget( w )f ( na ) d g=0 j( j =1,l , n)（2-12）采用使余量的加權(quán)積分為零來求得微分方程近似解的方法稱為加權(quán)余量法。加權(quán)余量法 是求微分方程近似解的一處種有效方法。常用的權(quán)函數(shù)的選擇有以下幾種：（1）配點(diǎn)法，這種方法相當(dāng)于簡單地強(qiáng)迫余量在域內(nèi) n 個(gè)點(diǎn)上等于

11、零；（2）子域法，該方法的實(shí)質(zhì)是強(qiáng)迫余量在n個(gè)子域wj的積分為零；（3） 最小二乘法，此方法實(shí)質(zhì)是使得近似解和權(quán)函數(shù)組成的泛函取最小值；（4） 力矩法，該方法是強(qiáng)迫余量的各次矩等于零，通常又稱此法為積分法；（5） 伽遼金法（galerkin）。加權(quán)余量法可以用于廣泛的方程類型，選擇不同的權(quán)函數(shù)，可以產(chǎn)生不同的加權(quán)余量法； 通過采用等效積分的“弱”形式，可以降低對近似函數(shù)連續(xù)性要求當(dāng)近似函數(shù)滿足連續(xù)性和 完備性要求、試探函數(shù)的項(xiàng)數(shù)不斷增加時(shí)，近似解可趨近于精確解。由于 galerkin 具有廣泛 的適用性，因此，下面簡單介紹其基本原理：取w =njj，在邊界上w =-w =-nj jj，即簡單地

12、利用近似解的試探函數(shù)序列作為權(quán)函數(shù)。近似積分形式可以寫成wnjt a (n a ) d w +n t b ( n a ) d g=0i i j i igi =1 i =1( j =1,l , n)（2-13）由（2-9）式，可以定義近似解 u%的變分 du%為du%=n da +n da +l +n da 1 1 2 2 nn其中 da 是完全任意的。（2-13）式可更簡潔地表示為 iwdu%ta (u%)d w +du%tb(u%)dg=0g對于近似積分的“弱”形式（2-12）式則有ct(du%)d(u%)d w +et(du%)f(u%)d g=0wg我們將會看到，在很多情況下，采用伽遼金

13、法得到的求解方程的系數(shù)矩陣是對稱的，這 是在用加權(quán)余量法建立有限元格式時(shí)幾乎毫無例外地采用伽遼金法的主要原因，而且當(dāng)存在 相應(yīng)的泛函時(shí)，伽遼金法與變分法往往導(dǎo)致同樣的結(jié)果。2.2 變分原理討論一個(gè)連續(xù)介質(zhì)問題的變分原理首先要建立一個(gè)標(biāo)量泛函 ，它由積分形式確定=w u f u, , l xd w +g u e u , ,l xd g（2-14）其中，u是未知函數(shù)，f和e是特定的算子，w是求解域，g是w的邊界。稱為未知函數(shù)的泛函，它隨函數(shù)u的變化而變化。連續(xù)介質(zhì)問題的解u使泛函 對于微小的變化du取駐值，即泛函的“變化”等于零d =0（2-15）這種求得連續(xù)介質(zhì)問題解的方法稱為變分原理或變分法。

14、如前所述，連續(xù)介質(zhì)問題中經(jīng)常存在著和微分方程及邊界條件不同的，但卻是等價(jià)的表 達(dá)形式，變分原理是另一種表達(dá)連續(xù)介質(zhì)問題的積分表達(dá)形式。在用微分公式表達(dá)時(shí)，問題 的求解過程是對具有已知邊界條件的微分方程或微分方程組進(jìn)行積分。在經(jīng)典的變分原理表 達(dá)中，問題的求解過程是尋求使得具有一定已知邊界條件的泛函（或泛函系）取駐值的未知 函數(shù)（或函數(shù)系）。這兩種表達(dá)形式是等價(jià)的，一方面滿足微分方程及邊界條件的函數(shù)將使 泛函取極值或駐值，另一方面從變分的角度來看，使泛函取極值或駐值的函數(shù)正是滿足問題 的控制微分方程和邊界條件的解。應(yīng)注意到，經(jīng)常有些物理問題可以直接用變分原理的形式來敘述，如表述力學(xué)體系平衡 問題

15、的最小位能原理和最小余能原理等，但是并非所有以微分方程表達(dá)的連續(xù)介質(zhì)問題都存 在這種變分原理。研究表明，原問題等效積分的 galerkin 提法等效于它的變分原理，即原問題的微分方程 和邊界條件等效于泛函的變分等于零，亦即泛函取駐值。反之，如果泛函取駐值則等效于滿 足問題的微分方程和邊界條件，而泛函可以通過原問題的等效積分的 galerkin 提法而得到。 galerkin 法的適用性比變分原理要強(qiáng)，原因是對于有的微分方程很難找到。對應(yīng)的泛函或根本找不到泛函，這時(shí)變分原理不適用，但 galerkin 法仍然適用。 如前所述，無論是加權(quán)余量法還是變分原理，雖然可以得到微分程的近似解，但是由于它是

16、在全求解域中定義近似函數(shù)，因此實(shí)際應(yīng)用中會遇到兩方面的困難（1） 在求解域比較復(fù)雜的情況下，選取滿足邊界條件的試探函數(shù)，往往會產(chǎn)生難以克 制的困難，甚至有時(shí)做不到。（2） 為了提高近似解的精度，需要增加待定參數(shù)，即增加試探函數(shù)的項(xiàng)數(shù)，這就增加 了求解的繁雜性。而且由于試探函數(shù)定義于全域，因此不可能根據(jù)問題的要求，在求解域的 不同部位對試探函數(shù)提出不同精度的要求，往往由于局部精度的要求使整個(gè)問題的求解增加 許多困難。變分有限元法和加權(quán)余量有限元法就是分別以變分原理和加權(quán)余量法為理論基礎(chǔ)，通過 對求解區(qū)域進(jìn)行單元剖分，把整個(gè)的求解區(qū)域剖分成有限的小區(qū)域子域，然后在子域內(nèi)定義 近似函數(shù)（近似解），因

17、此稱為變分有限元法和加權(quán)余量有限元法。變分有限元法和加權(quán)余 量有限元法雖然在本質(zhì)上與變分法和加權(quán)余量法是類似的，但由于近似函數(shù)在子域（單元） 上定義，因此可以克服上述兩方面的困難，并由于和現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的結(jié)合，使得有限元法 成為對物理、力學(xué)以及其它科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域問題進(jìn)行分析、求解的有效工具。2.3 有限元方法的一般步驟在有限元法中，把所研究的連續(xù)介質(zhì)表示為一些小部分（稱為有限元）的集合。這些單 元可認(rèn)為是一些稱為結(jié)點(diǎn)的指定結(jié)合點(diǎn)處彼此連接的。這些結(jié)點(diǎn)通常是置于單元的邊界上， 并認(rèn)為相鄰單元就是在這些邊界上與它相連接的。由于不知道連續(xù)介質(zhì)內(nèi)部的場變量（在固 體力學(xué)中如位移、應(yīng)力，在滲流問題中如壓力

18、、飽和度）真實(shí)的變化，因此，我們假設(shè)有限 元內(nèi)場變量的變化可以用一種簡單的函數(shù)來近似。這些近似函數(shù)（也稱為插值模式）可由場 變量在結(jié)點(diǎn)處的值確定。當(dāng)對整個(gè)連續(xù)介質(zhì)寫出場方程組（如平衡方程組）時(shí)，新的未知量 就是場變量的結(jié)點(diǎn)值。求解場方程組（通常以矩陣方程形式表示），即得到場變量的結(jié)點(diǎn)值。 一旦知道了這些結(jié)點(diǎn)值，則可由近似函數(shù)確定整個(gè)單元集合體的場變量。有限元法求解一般的連續(xù)介質(zhì)問題時(shí)，總是依次逐步進(jìn)行的。以與時(shí)間無關(guān)的物理問題 為例，說明有限元法的基本步驟見圖 2-2。（1） 結(jié)構(gòu)或求解域的離散化。有限元法的第一步，是把求解域分割成許多小部分或稱 為單元，因而對于一個(gè)具體的有限元分析問題，首先要用適當(dāng)?shù)挠邢拊呀Y(jié)構(gòu)進(jìn)行剖分，并 確定單元的數(shù)量、類型、大小和布置。（2） 選擇適當(dāng)?shù)牟逯的Ｊ?。由于在任意給定的約束作用下，問題的準(zhǔn)確解為未知，因 此，我們假設(shè)用單元內(nèi)的一些適當(dāng)解來近似未知解。從計(jì)算的觀點(diǎn)看，假設(shè)的解必須簡單， 而且應(yīng)當(dāng)滿足一定的收斂性要求。通常，把