人教版九年級數(shù)學(xué)下冊-反比例函數(shù)(基礎(chǔ))知識講解

1、反比例函數(shù)（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解反比例函數(shù)的概念和意義，能根據(jù)問題的反比例關(guān)系確定函數(shù)解析式2. 能根據(jù)解析式畫出反比例函數(shù)的圖象，初步掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)3. 會用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式，進(jìn)一步理解反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)4. 會解決一次函數(shù)和反比例函數(shù)有關(guān)的問題【要點梳理】要點一、反比例函數(shù)的定義如果兩個變量的每一組對應(yīng)值的乘積是一個不等于零的常數(shù)，那么就說這兩個變量成反比例.即 xy =k ，或表示為y =kx，其中 k 是不等于零的常數(shù).一般地，形如y =kx(k為常數(shù)， k 0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中 x 是自變量，y是函數(shù)，自變量 x 的取值范圍是不等于 0

2、 的一切實數(shù).要點詮釋：（1）在y =k k k中，自變量 x 是分式 的分母，當(dāng) x =0 時，分式 無意義， x x x所以自變量 x 的取值范圍是 數(shù)圖象與 x 軸、 y 軸無交點.，函數(shù) y 的取值范圍是 y 0 .故函（2）y =kx()可以寫成 ( )的形式，自變量 x 的指數(shù)是1，在解決有關(guān)自變量指數(shù)問題時應(yīng)特別注意系數(shù)這一條件.（3）y =kx()也可以寫成的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)的比例系數(shù) k要點二、確定反比例函數(shù)的關(guān)系式，從而得到反比例函數(shù)的解析式.確定反比例函數(shù)關(guān)系式的方法仍是待定系數(shù)法，由于反比例函數(shù)y =kx中，只有一個待定系數(shù)k，因此只需要知道一對x、y

3、的對應(yīng)值或圖象上的一個點的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式.用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)關(guān)系式的一般步驟是：（1）設(shè)所求的反比例函數(shù)為：y =kx(k 0)；（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）代入關(guān)系式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程； （3）解方程求出待定系數(shù) k 的值；（4）把求得的k值代回所設(shè)的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng) =kx中.要點三、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)yk1、 反比例函數(shù)的圖象特征：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、 四象限；反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，永遠(yuǎn)不會與x 軸、 y 軸相交，只是無限靠近兩坐 標(biāo)軸.要點詮釋：（1）若點( a，b )在反

4、比例函數(shù)y =kx的圖象上，則點( -a，-b)也在此圖象上，所以反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；（2）在反比例函數(shù) (k為常數(shù)， k 0) 中，由于，所以兩個分支都無限接近但永遠(yuǎn)不能達(dá)到 x 軸和 y 軸2、畫反比例函數(shù)的圖象的基本步驟：（1） 列表：自變量的取值應(yīng)以 o 為中心，在 0 的兩側(cè)取三對（或三對以上）互為相反 數(shù)的值，填寫 值時，只需計算右側(cè)的函數(shù)值，相應(yīng)左側(cè)的函數(shù)值是與之對應(yīng)的相反數(shù)；（2） 描點：描出一側(cè)的點后，另一側(cè)可根據(jù)中心對稱去描點；（3） 連線：按照從左到右的順序連接各點并延伸，連線時要用平滑的曲線按照自變量 從小到大的順序連接，切忌畫成折線.注意雙曲線的兩個分支是斷

5、開的，延伸部分有逐漸靠 近坐標(biāo)軸的趨勢，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交；（4） 反比例函數(shù)圖象的分布是由 k 的符號決定的：當(dāng) k 0 時，兩支曲線分別位于第 一、三象限內(nèi)，當(dāng) k 0 值隨 x 值的增大而減??；（2） 如圖 2，當(dāng) k 0 值隨 x 值的增大而增大；時，雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限，在每個象限內(nèi)，時，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，在每個象限內(nèi)，yy要點詮釋：反比例函數(shù)的增減性不是連續(xù)的，它的增減性都是在各自的象限內(nèi)的增減情 況，反比例函數(shù)的增減性都是由反比例系數(shù) k 的符號決定的；反過來，由雙曲線所在的位置 和函數(shù)的增減性，也可以推斷出 k 的符號.要點四：反比例函數(shù)

6、( )中的比例系數(shù) 的幾何意義1過雙曲線 y =kx(k 0) 上任意一點作 x 軸、 y 軸的垂線，所得矩形的面積為k.過雙曲線 y =kx(k 0) 上任意一點作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形k的面積為 .2要點詮釋：只要函數(shù)式已經(jīng)確定，不論圖象上點的位置如何變化，這一點與兩坐標(biāo)軸 的垂線和兩坐標(biāo)軸圍成的面積始終是不變的.【典型例題】類型一、反比例函數(shù)的定義1、下列函數(shù)：y=2x，y=a. 0 個 b. 1 個 【答案】c；【解析】解：y 是 x 正比例函數(shù)； y 是 x 反比例函數(shù)； y 是 x 反比例函數(shù)； y 是 x+1 的反比例函數(shù) 故選：c，y=x ，y=c. 2 個

7、其中，是反比例函數(shù)的有（ ）. d. 3 個【總結(jié)升華】 本題考查了反比例函數(shù)的定義，重點是將一般y =kx( k0）轉(zhuǎn)化為 y=kx 1（k0）的形式類型二、確定反比例函數(shù)的解析式2、已知 y 與 x 成反比例，且當(dāng) x=3 時，y=4，則當(dāng) x=6 時，y 的值為 【思路點撥】根據(jù)待定系數(shù)法，可得反比例函數(shù)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答 案【答案】2【解析】解：設(shè)反比例函數(shù)為 y= ，當(dāng) x=3，y=4 時，4=，解得 k=12反比例函數(shù)為 y=當(dāng) x=6 時，y=2，故答案為：2【總結(jié)升華】本題考查了反比例函數(shù)的定義，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵 舉一反三：【變式】已知y

8、與x成反比，且當(dāng)x =-6時，y =4，則當(dāng)x =2時，y值為多少？【答案】k解：設(shè) y = ，當(dāng) x =-6時， y =4 ， x所以4 =k-6，則k24，所以有y =-24x當(dāng) x =2 時， y =-242=-12類型三、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)3、在函數(shù)y =-a2x-1（ a 為常數(shù)）的圖象上有三點(x ，y1 1)，(x ，y22)，(x ，y3 3)，且x x 0 x ，則 y ，y ，y 1 2 3 1 2 3的大小關(guān)系是（ ）ay y y 2 3 1by y y 3 2 1cy y y 1 2 3dy y y 3 12【答案】d； 【解析】解：因為k =-a2 -1 =-(a

9、 2 +1) 0，所以函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)，且在第二、四象限內(nèi)， y 隨 x 的增大而增大因為x x ，所以 y y 因為 ( x , y ) 1 2 1 2 3 3在第四象限，而( x , y ) 1 1，( x , y ) 2 2在第二象限，所以y y3 1所以y y y 3 12【總結(jié)升華】 已知反比例函數(shù)y =kx，當(dāng)k0，x0 時，y隨x的增大而減小，需要強(qiáng)調(diào)的是 x 0；當(dāng) k 0， x 0 時， y 隨 x 的增大而減小，需要強(qiáng)調(diào)的是 x 0這里不能說成當(dāng) k 0， y 隨 x 的增大而減小例如函數(shù)y =2x，當(dāng) x 1 時， y 2，當(dāng) x 1時，y2，自變量由1 到 1，

10、函數(shù)值y由2 到 2，增大了所以，只能說：當(dāng)k0 時，在第一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小舉一反三：【變式 1】已知y =( m -3) xm -2的圖象是雙曲線，且在第二、四象限，(1)求m的值(2)若點(2， y )、(1， y )、(1， y )都在雙曲線上，試比較 y 、 y 、 y 的大小1 2 3 1 2 3【答案】解：(1)由已知條件可知：此函數(shù)為反比例函數(shù)，且 2y =-(2)由(1)得此函數(shù)解析式為：xm -2 =-1 m -3 0，m =1. (2，y1)、(1，y2)在第二象限，21，0 y y12而(1，y3)在第四象限，y 03y y y 3 12【變式 2】對于函數(shù) y

11、= ，下列說法錯誤的是（ ）a. 它的圖象分布在一、三象限；b. 它的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點；c. 它的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；d. 當(dāng) x0 時，y 的值隨 x 的增大而增大.【答案】d；解：a、k=20，圖象位于一、三象限，正確；b、因為 x、y 均不能為 0，所以它的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點，正確； c、它的圖象關(guān)于 y=x 成軸對稱，關(guān)于原點成中心對稱，正確； d，當(dāng) x0 時，y 的值隨 x 的增大而減小，故選：d類型四、反比例函數(shù)綜合4、已知點 a(0，2)和點 b(0，2)，點 p 在函數(shù)y =-1x的圖象上，如果pab 的面積是 6，求 p 點的坐標(biāo)【思路點撥】由已知的

12、點 a、b 的坐標(biāo)，可求得 ab4，再由pab 的面積是 6，可知 p點到 y 軸的距離為 3，因此可求 p 的橫坐標(biāo)為3，由于點 p 在y =-1x的圖象上，則由橫坐標(biāo)為3 可求其縱坐標(biāo)【答案與解析】解：如圖所示，不妨設(shè)點 p 的坐標(biāo)為( x , y ) 0 0，過 p 作 pc y 軸于點 c0000p 3, - 或 p -3,3312 abcaaa aax a(0，2)、b(0，2)， ab4又pc =| x | 0且spab=6，12| x | g 4 =6 0，| x |=3 0，x =30又p ( x , y ) 0 0在曲線y =-1 1 1 上， 當(dāng) x =3 時，y =- ；當(dāng) x =-3時，y =x 3 3 p 的坐標(biāo)為 1 1 【總結(jié)升華】 通過三角形面積建立關(guān)于 x 的方程求解，同時在直角坐標(biāo)系中，點到坐標(biāo)軸0的距離等于相應(yīng)坐標(biāo)的絕對值舉一反三：【變式】已知：如圖所示，反比例函數(shù)y =kx的圖象與正比例函數(shù)y =mx的圖象交于 a、b，作 ac y 軸于 c，連 bc，則abc 的面積為 3，求反比例函數(shù)的解析式【答案