切線長(zhǎng)定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理

1、切線長(zhǎng)定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理以及與圓有關(guān)的比例線段學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 切線長(zhǎng)概念切線長(zhǎng)是在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度，切線長(zhǎng)”是切線 上一條線段的長(zhǎng)，具有數(shù)量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長(zhǎng)度。（PA長(zhǎng)）2. 切線長(zhǎng)定理對(duì)于切線長(zhǎng)定理，應(yīng)明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長(zhǎng)相等；（2）若已知兩條切 線平行，則圓上兩個(gè)切點(diǎn)的連線為直徑；（3）經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，連結(jié)兩個(gè)切點(diǎn)可得 到一個(gè)等腰三角形；（4）經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線的夾角與過(guò)切點(diǎn)的兩個(gè)半徑的夾角 互補(bǔ)；（5）圓外一點(diǎn)與圓心的連線，平分過(guò)這點(diǎn)向圓引的兩條切線所夾的角

2、。3弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。直線AB切00于P, PC、PD為弦，圖中幾個(gè)弦切角呢？（四個(gè)）4.弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對(duì)的圓周角。5弄清和圓有關(guān)的角：圓周角，圓心角，弦切角，圓角，圓外角。6遇到圓的切線，可聯(lián)想“角”弦切角，“線”切線的性質(zhì)定理及切線長(zhǎng)定理。7 與圓有關(guān)的比例線段定理圖形已知結(jié)論證法相交弦定O0 中，AB. CD 為弦，交 PA PB=PC PD.連結(jié)AC . BD ,證：理于P.AAPCADPB.相交弦定0 中.AB 為直徑,CD丄AB PC2=PA PB.用相交弦定理.理的推論于P（特殊情況）切割線定0 中，PT 切00 于 T,葉

3、 一PA PB連結(jié)TA、TB ,證：理割線PB交00于AAPTBAPAT切割線定PB.PD 為00 的兩條割線，PA PB=PC PD過(guò)P作PT切00于T,用理推論交00于A、C兩次切割線定理（記憶的方法方法）1圓幕定理00 中，割線 PB 交 00 于 POOPD = r2 -延長(zhǎng)P*0交O0于M,延A, CD 為弦OP長(zhǎng)0P交00于N,用相交PA PB=0P2-r2弦定理證；過(guò)P作切線用r為O0的半徑切割線定理勾股定理證&圓賽定理：過(guò)一定點(diǎn)P向O0作任一直線，交。0于兩點(diǎn)，則自定點(diǎn)P到兩交點(diǎn)的兩條線段之積 為常數(shù) （R為圓半徑），因?yàn)榻凶鳇c(diǎn)對(duì)于00的幕，所以將上述定理統(tǒng)稱為圓無(wú)定理?！镜湫?/p>

4、例題】例1.如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,以BC為直徑。在正方形作半圓0,過(guò)A作半圓切線，切點(diǎn) 為F,交CD于E,求DE： AE的值。解：由切線長(zhǎng)定理知：AF=AB=h EF=CE 設(shè)CE為x,在RtAADE中，由勾股定理例2. 00中的兩條弦AB與CD相交于E,若AE=6cm, BE=2cm, CD=7cm,那么CE=cm。圖2 解：由相交弦定理，得AE BE=CE DEVAE=6cm, BE=2cm, CD=7cm,即/. CE = 3cm 或 CE=4cm。故應(yīng)填3或4。點(diǎn)撥：相交弦定理是較重要定理，結(jié)果要注意兩種情況的取舍。例3.已知PA是圓的切線，PCB是圓的割線，則。解：VZP

5、=ZPZPAC = ZB,Z.APACAPBA,又TPA是圓的切線，PCB是圓的割線，由切割線定理，得即，故應(yīng)填PC。點(diǎn)撥：利用相似得出比例關(guān)系式后要注意變形，推出所需結(jié)論。例4如圖3, P是00外一點(diǎn)，PC切00于點(diǎn)C, PAB是00的割線，交00于A. B兩點(diǎn)，如果PA：圖3解:VPC是00的切線，PAB是00的割線，且PM PB=1： 4PB=4PA又 V PC=12cm由切割線定理，得APB=4X6=24 (cm)AAB=24-6=18 (cm) 設(shè)圓心0到AB距離為d cm, 由勾股定理，得故應(yīng)填。例5如圖4, AB為00的直徑，過(guò)B點(diǎn)作00的切線BC, 0C交00于點(diǎn)E, AE的延

6、長(zhǎng)線交BC于點(diǎn) D, (1)求證：；(2)若AB=BC=2厘米，求CE. CD的長(zhǎng)。點(diǎn)悟：要證，即要證 CEDACBEo證明：(1)連結(jié)BEEC是00的切線4乙4二ACBE公曲角0/ 二 OE n 乙4 二 ZOSAA0EA = ADSCCEQS借E =nd =CB CD CD CE眈是0訊線、AS為直徑(2)BC = 2OS = 又J.厘米。點(diǎn)撥：有切線，并需尋找角的關(guān)系時(shí)常添輔助線，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件。例6如圖5, AB為Q0的直徑，弦CDAB, AE切00于A,交CD的延長(zhǎng)線于E。求證：證明：連結(jié)BD,VAE 切)0 于 A,AZEAD=ZABDE丄AB,又 AB/ZCD,AE 丄

7、 CDVAB為O0的直徑 ZADB=90.ZE = ZADB=90Z.AADEABADVCD/7 AB/ AD=BC ：例7如圖6, PA. PC 切O0 于 A、C, PDB 為割線。求證:AD BC=CD AB圖6點(diǎn)悟：由結(jié)論AD - BC=CD - AB得，顯然要證PADsPBA和厶PCDAPBC證明:VPA切00于兒 ZPAD= ZPBA又 ZAPD=ZBPA,AAPADAPBA 同理可證厶PCDAPBC VPA. PC分別切（DO于A、CA PA=PC A AD BC=DC AB例8.如圖7,在直角三角形ABC中，ZA=90 ,以AB邊為直徑作O0,交斜邊BC于點(diǎn)D,過(guò)D點(diǎn) 作00的

8、切線交AC于E。圖7求證:BC=20Eo點(diǎn)悟：由要證結(jié)論易想到應(yīng)證0E是AABC的中位線。而OA=OB,只須證AE=CE。證明：連結(jié)0D。TAC丄AB, AB為直徑AC為00的切線，又DE切00于DAEA=ED, 0D丄DEV0B=0D, .ZB=Z0DB在 RtAABC 中，ZC=90 -ZBJ Z0DE=90o ZC = ZEDCA ED=ECAAE=EC/.OE是ZXABC的中位線ABC=20E例9如圖8,在正方形ABCD中，AB=1,是以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧。點(diǎn)E是邊 AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），過(guò)E作所在圓的切線，交邊DC于點(diǎn)F, G為切點(diǎn)。當(dāng)ZDEF=

9、45時(shí)，求證點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)；圖8解：由 ZDEF=45 ,得9?.ZDFE=ZDEFDE=DF又 VAD=DCAAE=FC因?yàn)锳B是圓B的半徑，AD丄AB,所以AD切圓B于點(diǎn)A；同理，CD切圓B于點(diǎn)C。 又因?yàn)镋F切圓B于點(diǎn)G,所以AE=EG, FC=FG。因此EG=FG,即點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)?！灸M試題】（答題時(shí)間：40分鐘）一、選擇題1已知：PA. PB切G0于點(diǎn)A、B,連結(jié)AB,若AB=8,弦AB的弦心距3,則PA=（）A.B.2. 下列圖形一定有切圓的是（）A.平行四邊形C.菱形3. 已知：如圖1直線與00相切于C,C. 5D. 8B.矩形D.梯形AB為直徑，ZCAB=40 ,

10、則ZMCA的度數(shù)（C. 60A. 50B. 404圓兩弦相交，一弦長(zhǎng)8cm且被交點(diǎn)平分，另一弦被交點(diǎn)分為1： 4,則另一弦長(zhǎng)為（D.55。)A. 8cmB. 10cmC 12cmD. 16cm5在2ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，AD, BD=3cm, DC=4cm,如果E是AD的延長(zhǎng)線與/XABC的外 接圓的交點(diǎn)，那么DE長(zhǎng)等于（）A.B.C.D.6. PT切OO于T, CT為直徑，D為0C上一點(diǎn)，直線PD交。0于B和兒B在線段PD上，若CD=2, AD=3, BD=4,則 PB 等于（）A. 20B 10C 5D二、填空題7. AB. CD是00切線，八BCD, EF是O0的切線，它和AB.

11、CD分別交于E. F,則ZE0F = 度。8. 已知：O0和不在00上的一點(diǎn)P,過(guò)P的直線交G0于A、B兩點(diǎn)，若PA - PB=24, 0P=5,則00的半徑長(zhǎng)為。9若PA為00的切線，八為切點(diǎn),PBC割線交于B、C,若BC=20-則PC的長(zhǎng)為_(kāi)。10. IE A ABC接于00, M、N分別為AB. AC中點(diǎn)，延長(zhǎng)MN交O0于點(diǎn)D,連結(jié)BD交AC于P,則三、解答題11 如圖2, AABC dp, AC=2cm,周長(zhǎng)為8cm, F、K、N是ZkABC與切圓的切點(diǎn),DE切G0于點(diǎn)M, 且DEAC,求DE的長(zhǎng)。圖212如圖3,已知P為。0的直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切00于C, CD丄AB于D,求證：CB平分ZDCPo13如圖4,已知AD為00的直徑，AB是00的切線，過(guò)B的割線BM7交AD的延長(zhǎng)線于C,且BM=MN=NC,若 AB,求O0的半徑?！驹囶}答案】一、選擇題1. A 2. C3. A 4. B5. B 6. A二.填空題7. 909. 3010.三、解答題：11 由切線長(zhǎng)定理得A